Μια εξίσωση.

#1

Να λύσετε την εξίσωση: $5^{x}-3^{x}=8\sqrt{2x}$ για $x\ge 0$ .

#2

Η συνάρτηση $\displaystyle{5^x-3^x-8\sqrt{2x}, x\geq 0}$ είναι κυρτή, οπότε έχει το πολύ δύο ρίζες. Αυτές είναι οι $\displaystyle{0,2.}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

chris_gatos έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 09, 2019 9:25 pm
Να λύσετε την εξίσωση: $5^{x}-3^{x}=8\sqrt{2x}$ για $x\ge 0$ .

Θέτουμε $f(x)=5^{x}-3^{x}-8\sqrt{2x}$
Είναι για x>0

$f'(x)=5^{x}\ln 5-3^{x}\ln3-4\sqrt{2}x^{-\frac{1}{2}}$

και

$f''(x)=5^{x}(\ln 5)^{2}-3^{x}(\ln3)^{2}+2\sqrt{2}x^{-\frac{3}{2}}$

Επειδή $5^{x}>3^{x}$ για x>0

είναι για

Αρα η

είναι κυρτή στο $[0,\infty )$

Κατά τα γνωστά η εξίσωση f(x)=0

έχει το πολύ δύο ρίζες στο $[0,\infty )$ .

Προφανείς ρίζες τα

και

.

Αρα τελικά οι ρίζες είναι αυτές.

Συμπλήρωμα.
Βλέπω με πρόλαβε ο Θάνος.
Γράφοντας μόνο την ουσία βγήκε πρώτος.

Μια εξίσωση.

Μια εξίσωση.

Re: Μια εξίσωση.

Re: Μια εξίσωση.

Μέλη σε σύνδεση