Μέγιστο εμβαδόν

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10856
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο εμβαδόν

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Μάιος 08, 2019 1:29 pm

Μέγιστο  εμβαδόν.png
Μέγιστο εμβαδόν.png (12.02 KiB) Προβλήθηκε 410 φορές
Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x)=\dfrac{a}{x^2+1} , a>0 σε σημείο της S ,

τέμνει τους άξονες x'x , y'y στα σημεία A ,B . Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου OAB .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8416
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο εμβαδόν

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μάιος 08, 2019 5:11 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Μάιος 08, 2019 1:29 pm
Μέγιστο εμβαδόν.pngΗ εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x)=\dfrac{a}{x^2+1} , a>0 σε σημείο της S ,

τέμνει τους άξονες x'x , y'y στα σημεία A ,B . Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου OAB .
Έστω \displaystyle S\left( {t,\frac{a}{{{t^2} + 1}}} \right). Η εξίσωση της εφαπτομένης στο S είναι:
Μέγιστο εμβαδόν.KARKAR..png
Μέγιστο εμβαδόν.KARKAR..png (10.39 KiB) Προβλήθηκε 369 φορές
\displaystyle y - \frac{a}{{{t^2} + 1}} =  - \frac{{2at}}{{{{({t^2} + 1)}^2}}}(x - t) και τέμνει τους άξονες στα σημεία \displaystyle A\left( {\frac{{3{t^2} + 1}}{{2t}},0} \right) και \displaystyle B\left( {0,\frac{{a(3{t^2} + 1)}}{{{{({t^2} + 1)}^2}}}} \right)

\displaystyle (OAB) = E(t) = \frac{{a{{(3{t^2} + 1)}^2}}}{{4|t|{{({t^2} + 1)}^2}}}, με παράγωγο \displaystyle E'(t) = \frac{{at({t^2} - 1)(1 - 9{t^4})}}{{4|t{|^3}{{({t^2} + 1)}^3}}}

Η συνάρτηση λοιπόν E(t) παρουσιάζει για \boxed{t =  \pm 1} τοπικό μέγιστο ίσο με \boxed{E(-1)=E(1)=a} (Το B ταυτίζεται με το K).

Επεξεργασία: Πρόσθεσα τη λέξη τοπικό με κόκκινα γράμματα.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Πέμ Μάιος 09, 2019 9:18 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11477
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μέγιστο εμβαδόν

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Μάιος 08, 2019 6:26 pm

Έτσι ξεκίνησα και ο ίδιος την άσκηση αλλά την εγκατέλειψα ως άσκηση ρουτίνας αλλά με επίπονες πράξεις. Επισημαίνω εδώ ότι μπορεί τέτοιες ασκήσεις τελικά να διώχνουν τους μαθητές από τα Μαθηματικά, παρ' όλες τις αρετές της για εμάς τους ... φανατικούς.

Για να εξηγούμαι. Αφού βρούμε το εμβαδόν \displaystyle (OAB) = E(t) = \frac{{a{{(3{t^2} + 1)}^2}}}{{4|t|{{({t^2} + 1)}^2}}}, και από εκεί την παράγωγο μετά από πολλές πράξεις, καταλήγουμε μετά επιπρόσθετη δουλειά στην παραγοντοποίηση \displaystyle E'(t) = \frac{{at({t^2} - 1)(1 - 9{t^4})}}{{4|t{|^3}{{({t^2} + 1)}^3}}}. Έτσι καταλήγουμε ότι έχουμε τέσσερα σημεία που μηδενίζεται, τα \pm 1, \pm \sqrt 3/3. Έχουμε τώρα και άλλη κοπιαστική διαδικασία (ιδίως να πάμε με δεύτερη παράγωγο) για να βρούμε ποια δίνουν (τοπικό) μέγιστο και ποια ελάχιστο.

Και εδώ εμφανίζεται άλλο πρόβλημα:

Η συνάρτηση E(t) για t \approx 0 είναι  E(t) \approx \frac {1}{4t}, δηλαδή δεν υπάρχει μέγιστο εμβαδόν. Απειρίζεται. Χμμμμ.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10856
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μέγιστο εμβαδόν

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Μάιος 08, 2019 8:34 pm

Η σημαντική παρατήρηση του Μιχάλη , είναι ασφαλώς η δεύτερη . Το θέμα διορθώνεται ,

αν απαιτήσουμε το S να κινείται στο τμήμα της καμπύλης στο οποίο αυτή είναι κυρτή .

Για την πρώτη παρατήρηση : Όντως οι πράξεις είναι ενοχλητικές ( δεν κάνει για θέμα εξετάσεων) ,

το αποτέλεσμα όμως μας αποζημιώνει αφού το ακρότατο και η θέση στην οποία αυτό

εμφανίζεται , είναι -νομίζω - εντυπωσιακά ...


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11477
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μέγιστο εμβαδόν

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Μάιος 08, 2019 8:48 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Μάιος 08, 2019 8:34 pm
το αποτέλεσμα όμως μας αποζημιώνει αφού το ακρότατο και η θέση στην οποία αυτό

εμφανίζεται , είναι -νομίζω - εντυπωσιακά ...
Σωστά. Ας επισημάνω για όσους δεν το παρατήρησαν, το μεν B είναι στην κορυφή K (όπως ήδη έγραψε ο Γιώργος) και το S είναι το μέσον του AB.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8416
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο εμβαδόν

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μάιος 09, 2019 9:22 am

Πράγματι, η συνάρτηση E(x) δεν έχει ολικά ακρότατα, όπως φαίνεται στην παρακάτω γραφική παράσταση.
Μέγιστο εμβαδόν.KARKAR.ΙΙ.png
Μέγιστο εμβαδόν.KARKAR.ΙΙ.png (8.97 KiB) Προβλήθηκε 286 φορές
Μέγιστο εμβαδόν.KARKAR.ΙΙI.png
Μέγιστο εμβαδόν.KARKAR.ΙΙI.png (9.99 KiB) Προβλήθηκε 258 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης