BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία
G1. Έστω οξυγώνιο τρίγωνο και έστω το μέσο της πλευράς . Έστω και τα παράκεντρα των τριγώνων και αντίστοιχα ως προς το σημείο . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει την ευθεία στα σημεία και . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει την ευθεία στα σημεία και . Να δειχθεί ότι .
G2. Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο . Έστω το ορθόκεντρο του και το μέσο της . Η εφαπτομένη του στο τέμνει τη μεσοκάθετο της στο και η εφαπτομένη του στο τέμνει τη μεσοκάθετο της στο . Να δειχθεί ότι οι και τέμνονται κάθετα.
G3. Έστω σημείο μέσα σε τρίγωνο . Έστω τα μήκη των πλευρών του και έστω η ημιπερίμετρός του. Να βρεθεί η μέγιστη δυνατή τιμή του
λαμβάνοντας υπόψη όλες τις διαφορετικές επιλογές τριγώνου και σημείου .
G4. Αυτό ήταν το πρόβλημα 1 της Βαλκανιάδας.
G5. Έστω οξυγώνιο τρίγωνο με και έστω σημείο στην προέκταση του από τη μεριά του . Ο κύκλος με κέντρο το και ακτίνα τέμνει τις ευθείας και στα και αντίστοιχα. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει ξανά τις ευθείας και στα σημεία και αντίστοιχα. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει ξανά τις ευθείας και στα σημεία και αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι τα τετράπλευρα και είναι κυκλικά με τα κέντρα των περιγεγραμμένων κύκλων τους να συμπίπτουν.
G6. Έστω τρίγωνο με με περιγεγραμμένο κύκλο και περίκεντρο . Έστω σημείο στην προέκταση της από την πλευρά του . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει την ευθεία και τον κύκλο στα σημεία και αντίστοιχα. Το σημείο είναι τέτοιο ώστε το τετράπλευρο να είναι παραλληλόγραμμό. Η ευθεία τέμνει τον κύκλο ξανά στο σημείο . Η κάθετη από το στη τέμνει τον ξανά στο και η κάθετη από το στη τέμνει τον ξανά στο . Να δειχθεί ότι τα είναι ομοκυκλικά.
G2. Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο . Έστω το ορθόκεντρο του και το μέσο της . Η εφαπτομένη του στο τέμνει τη μεσοκάθετο της στο και η εφαπτομένη του στο τέμνει τη μεσοκάθετο της στο . Να δειχθεί ότι οι και τέμνονται κάθετα.
G3. Έστω σημείο μέσα σε τρίγωνο . Έστω τα μήκη των πλευρών του και έστω η ημιπερίμετρός του. Να βρεθεί η μέγιστη δυνατή τιμή του
λαμβάνοντας υπόψη όλες τις διαφορετικές επιλογές τριγώνου και σημείου .
G4. Αυτό ήταν το πρόβλημα 1 της Βαλκανιάδας.
G5. Έστω οξυγώνιο τρίγωνο με και έστω σημείο στην προέκταση του από τη μεριά του . Ο κύκλος με κέντρο το και ακτίνα τέμνει τις ευθείας και στα και αντίστοιχα. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει ξανά τις ευθείας και στα σημεία και αντίστοιχα. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει ξανά τις ευθείας και στα σημεία και αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι τα τετράπλευρα και είναι κυκλικά με τα κέντρα των περιγεγραμμένων κύκλων τους να συμπίπτουν.
G6. Έστω τρίγωνο με με περιγεγραμμένο κύκλο και περίκεντρο . Έστω σημείο στην προέκταση της από την πλευρά του . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει την ευθεία και τον κύκλο στα σημεία και αντίστοιχα. Το σημείο είναι τέτοιο ώστε το τετράπλευρο να είναι παραλληλόγραμμό. Η ευθεία τέμνει τον κύκλο ξανά στο σημείο . Η κάθετη από το στη τέμνει τον ξανά στο και η κάθετη από το στη τέμνει τον ξανά στο . Να δειχθεί ότι τα είναι ομοκυκλικά.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 219
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Re: BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία
Aφού θα ισχύει Αρκεί να δείξουμε πως το ανήκει στο ριζικό άξονα των 2 κύκλων ή ισοδύναμα πως τέμνονται για 2η φορά πάνω στην . Oνομάζουμε τους κύκλους με το σημεία .Demetres έγραψε: ↑Κυρ Μάιος 05, 2019 11:19 amG1. Έστω οξυγώνιο τρίγωνο και έστω το μέσο της πλευράς . Έστω και τα παράκεντρα των τριγώνων και αντίστοιχα ως προς το σημείο . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει την ευθεία στα σημεία και . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει την ευθεία στα σημεία και . Να δειχθεί ότι .
Έχουμε Άρα Oμοίως και από την άλλη πλευρά και καταλήγουμε στο Όμως άρα ξανατέμνονται πάνω στην KAI όπως είπα πιο πάνω θα ισχύει
Re: BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία
Να πω εδώ ότι το G2 είναι του περυσινού υπαρχηγού στην ΒΜΟ, Μιχάλη Σαράντη.
Το G5 είναι του Βαγγέλη Ψύχα και το G6 είναι του Θεόκλητου Παραγυιού από την Κύπρο.
Το G5 είναι του Βαγγέλη Ψύχα και το G6 είναι του Θεόκλητου Παραγυιού από την Κύπρο.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Re: BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία
Για το G3:
Εστω αρχικά σταθεό τρίγωνο , το έγκεντρο και οι προβολές του στις .
Τότε
Εστω ότι οι απολλώνιοι κύκλοι των τμημάτων με λόγους αντίστοιχα τέμνονται σε σημείο εντός του .
Τότε
Αρα
Θα δείξω ότι για το συγκεκριμένο τρίγωνο είναι
Εστω οι προβολές του στις
Τότε το εντός ή σε πλευρά/ες ενός τουλάχιστον από τα τετράπλευρα , έστω στο πρώτο.
Τότε και άρα .
Αρα
Εστω τώρα τυχαίο τρίγωνο με τα ίδια σημεία.
Επειδή , μια από τις γωνίες είναι μεγαλύτερη ή ίση με , έστω η .
Τότε
.
Εστω ότι μεταξύ των .
Τότε, .
Αρα το ζητούμενο μέγιστο είναι και πιάνεται για ισόπλευρο με το έγκεντρο του.
Η λύση χάνει στο ότι θεώρησα αυθαίρετα στην αρχή ότι οι δύο απολλώνιοι κύκλοι τέμνονται , και μάλιστα σε σημείο εντός του τριγώνου .Αυτό , αν και προφανές, χρειάζεται απόδειξη. Θα ήταν ενδιαφερον να ξέραμε πόσες μονάδες θα έχανε κάποιος για αυτήν την παράλειψη αν ήταν θέμα στο διαγωνισμό.
Εστω αρχικά σταθεό τρίγωνο , το έγκεντρο και οι προβολές του στις .
Τότε
Εστω ότι οι απολλώνιοι κύκλοι των τμημάτων με λόγους αντίστοιχα τέμνονται σε σημείο εντός του .
Τότε
Αρα
Θα δείξω ότι για το συγκεκριμένο τρίγωνο είναι
Εστω οι προβολές του στις
Τότε το εντός ή σε πλευρά/ες ενός τουλάχιστον από τα τετράπλευρα , έστω στο πρώτο.
Τότε και άρα .
Αρα
Εστω τώρα τυχαίο τρίγωνο με τα ίδια σημεία.
Επειδή , μια από τις γωνίες είναι μεγαλύτερη ή ίση με , έστω η .
Τότε
.
Εστω ότι μεταξύ των .
Τότε, .
Αρα το ζητούμενο μέγιστο είναι και πιάνεται για ισόπλευρο με το έγκεντρο του.
Η λύση χάνει στο ότι θεώρησα αυθαίρετα στην αρχή ότι οι δύο απολλώνιοι κύκλοι τέμνονται , και μάλιστα σε σημείο εντός του τριγώνου .Αυτό , αν και προφανές, χρειάζεται απόδειξη. Θα ήταν ενδιαφερον να ξέραμε πόσες μονάδες θα έχανε κάποιος για αυτήν την παράλειψη αν ήταν θέμα στο διαγωνισμό.
Κώστας
-
- Δημοσιεύσεις: 219
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Re: BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία
Μετά την κατασκευή του περιγεγραμμένου κύκλου () του που είναι και συνηθισμένη τα πράγματα γίνονται πιο απλά. τα ίχνη των ύψων των του αρχικού τριγώνου. Από λόγο μέσων υπάρχει ομοιοθεσία με κέντρο που στέλνει τον κύκλο στον Άρα συνευθειακά όπου το κέντρο .(Είναι γνωστό ότι το μέσο είναι το κέντρο του κύκλου ). Επείσης παρατηρούμε αν η τομή των εφαπτομένων άρα ΑΝ τότε Άρα αρκεί Και αυτό μας οδηγεί στους ριζικούς άξονες. ριζικά κέντρα
οπότε
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία
Demetres έγραψε: ↑Κυρ Μάιος 05, 2019 11:19 am
G6. Έστω τρίγωνο με με περιγεγραμμένο κύκλο και περίκεντρο . Έστω σημείο στην προέκταση της από την πλευρά του . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει την ευθεία και τον κύκλο στα σημεία και αντίστοιχα. Το σημείο είναι τέτοιο ώστε το τετράπλευρο να είναι παραλληλόγραμμό. Η ευθεία τέμνει τον κύκλο ξανά στο σημείο . Η κάθετη από το στη τέμνει τον ξανά στο και η κάθετη από το στη τέμνει τον ξανά στο . Να δειχθεί ότι τα είναι ομοκυκλικά.
Θα δείξουμε πως
Πράγματι έστω σημείο με ,τότε τα τρίγωνα έχουν άρα είναι ίσα ,δηλαδή άρα παραλληλόγραμμο και
Έστω .Είναι άρα εγγράψιμο ,δηλαδή
Άρα μέσο του τόξου .
Είναι ( σταθερό).
Έχουμε
Αφού λοιπόν το κέντρο του περίκυκλου του θα είναι
Έτσι θα είναι
Άρα διχοτόμος της
Για να είναι εγγράψιμο αρκεί λοιπόν
Μεταφερόμαστε επομένως στο παρακάτω πρόβλημα:
Αν ισοσκελές με , σημείο της και τότε όπου η τομή της μεσοκαθέτου του και του περίκυκλου του και σταθερό σημείο του περίκυκλου του με
Αρχικά θα δείξουμε ότι .Έστω η τομή της με τον κύκλο
Άρα συνευθειακά.
Έστω τώρα σημείο του κύκλου με .Το OADN' είναι ισοσκελές τραπέζιο και το παραλληλόγραμμο.Τα τρίγωνα έχουν άρα είναι ίσα και ,
Έστω τώρα ότι ο κύκλος τέμνει τον στο .Επειδή και είναι μεσοκάθετη του άρα και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
-
- Δημοσιεύσεις: 219
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Re: BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία
Θα γράψω την λύση λίγο ποιο περιληπτικά μιας και είμαι από κινητο.Demetres έγραψε: ↑Κυρ Μάιος 05, 2019 11:19 am
G5. Έστω οξυγώνιο τρίγωνο με και έστω σημείο στην προέκταση του από τη μεριά του . Ο κύκλος με κέντρο το και ακτίνα τέμνει τις ευθείας και στα και αντίστοιχα. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει ξανά τις ευθείας και στα σημεία και αντίστοιχα. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει ξανά τις ευθείας και στα σημεία και αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι τα τετράπλευρα και είναι κυκλικά με τα κέντρα των περιγεγραμμένων κύκλων τους να συμπίπτουν.
Πρώτα θα ασχοληθούμε με το . Παρατηρούμε ότι συνευθειακά το οποίο θα αποδείξουμε.
και
επίσης με
Οπότε έχουμε οπότε
Ως αποτέλεσμα A,H,I συνευθειακά και ομοίως A,K,J συνευθειακά οπότε έχουμε
άρα KHIJ εγγράψιμο
Τώρα θα ασχοληθούμε με το παρατηρούμε ότι συνευθειακά το οποίο θα δείξουμε
Άρα Α,I',H' συνευθειακά αφού ανήκουν στη διχοτόμου της
Εύκολα δείχνουμε και ότι K',J' ανήκουν στη διχοτόμος της GAD άρα A,K'J' συνευθειακά (αν υπάρχει θέμα στην απόδειξη μπορείτε να μου στείλετε για να την γράψω που δεν το νομίζω).
οπότε K'H'I'J' εγγράψιμο
Τα τμήματα που θα χρεισιμοποιήσουμε είναι τόξα για τον κύκλο c3
Το οποίο μας δείνει ότι είναι ισοσκελές τραπέζιο άρα τα τμήματα τα οποία είναι διαγώνιες στα εγρράψιμα που θέλουμε μοιράζονται την ίδια μεσοκάθετη. Λόγο των τόξων KK' και II' έχουμε άρα και το ισοσκελές τραπέζιο άρα και το δεύτερο ζεύγος Διαγωνίων των εγγράψιμων μοιράζεται την ίδια μεσοκάθετη οπότε τα εγγράψιμα
Έχουν κοινά κέντρα
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: BMO Shortlist 2018 - Γεωμετρία
Για το G5 τα εγγράψιμα προκύπτουν αμέσως ως εξής(βάζω και το σχήμα για να υπάρχει):
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 23 επισκέπτες