Γνωστή απάντηση

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7025
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Γνωστή απάντηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Μάιος 04, 2019 9:49 pm

Γνωστή απάντηση.png
Γνωστή απάντηση.png (14.87 KiB) Προβλήθηκε 612 φορές
Το τρίγωνο ABC είναι ισόπλευρο και SB = ST. Να υπολογιστεί το τμήμα , AT = x

Αποκλειστικά μόνο για μαθητές ,για 24 ώρες. Όλες οι λύσεις δεκτές.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 651
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Γνωστή απάντηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Μάιος 04, 2019 10:49 pm

Doloros έγραψε:
Σάβ Μάιος 04, 2019 9:49 pm
Γνωστή απάντηση.png

Το τρίγωνο ABC είναι ισόπλευρο και SB = ST. Να υπολογιστεί το τμήμα , AT = x

Αποκλειστικά μόνο για μαθητές ,για 24 ώρες. Όλες οι λύσεις δεκτές.
Έστω \widehat{SBA}=\theta

Με νόμο ημιτόνων στο SAB
\dfrac{7}{\sin\theta }=\dfrac{12}{\sin(120-\theta )}\Rightarrow 12\sin\theta =7\left ( \dfrac{\sqrt{3}\cos\theta +\sin\theta }{2} \right )\Leftrightarrow 7\sqrt{3}\cos\theta =17\sin\theta \Leftrightarrow 49\cdot ...3\left ( 1-\sin^2\theta \right )=289\sin^2\theta \Leftrightarrow \sin\theta =\dfrac{7\sqrt{3}}{\sqrt{436}},\cos\theta =\dfrac{17}{\sqrt{436}}.

Πάλι με νόμο ημιτόνων στο ίδιο τρίγωνο είναι \dfrac{BS}{\sin60}=\dfrac{7}{\sin\theta }\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow BS=\dfrac{\sqrt{436}}{2}

Με νόμο συνημιτόνων στο ATS

49=x^2+\dfrac{436}{4}-2\cdot \dfrac{17}{\sqrt{436}}\cdot x\cdot \dfrac{\sqrt{436}}{2}\Leftrightarrow x^2-17x+60=0\Leftrightarrow x=5,x=12

Κρατάμε μόνο την \boxed{x=5} αφού 24> \sqrt{436}


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3270
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Γνωστή απάντηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Σάβ Μάιος 04, 2019 11:02 pm

Doloros έγραψε:
Σάβ Μάιος 04, 2019 9:49 pm

Το τρίγωνο ABC είναι ισόπλευρο και SB = ST. Να υπολογιστεί το τμήμα , AT = x

Αποκλειστικά μόνο για μαθητές ,για 24 ώρες. Όλες οι λύσεις δεκτές.
Μια που απαντήθηκε...
shape.png
shape.png (15.33 KiB) Προβλήθηκε 588 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 115
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Γνωστή απάντηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Κυρ Μάιος 05, 2019 12:02 am

Απο το S φέρω SK\parallel AB .
Το τρίγωνο SKC είναι ισόπλευρο, άρα SK=SC=5 . Τα τρίγωνα AKC και
BSC έχουν KC=SC=5, AC=BC=12 και \widehat{C} κοινή, άρα ίσα, οπότε
BS=AK=KS και \widehat{CBS}=\widehat{KAC}=60-\vartheta δηλαδή \widehat{BAK}= 
\vartheta , άρα έχουμε AK\parallel = TS\Rightarrow ATSK παραλληλόγραμμο, άρα x=5 .
Συνημμένα
Γνωστή απάντηση.PNG
Γνωστή απάντηση.PNG (36.27 KiB) Προβλήθηκε 575 φορές


Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 115
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Γνωστή απάντηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Κυρ Μάιος 05, 2019 11:27 am

Άν μου επιτρέπει και ο κύριος Μιχάλης, θα δείξω χρησιμοποιώντας την σκέψη του στο #3 ότι το δεδομένο AS=7 θα μπορούσε να παραληφθεί.
Είναι: x=MT-AM

MT=a-\dfrac{a-5}{2}=\dfrac{2a-a+5}{2}=\dfrac{a+5}{2}

Άρα τώρα είναι x=\dfrac{a+5}{2}-\dfrac{a-5}{2}=\dfrac{a+5-a+5}{2}=5


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8933
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γνωστή απάντηση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μάιος 05, 2019 12:41 pm

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε:
Κυρ Μάιος 05, 2019 11:27 am
Άν μου επιτρέπει και ο κύριος Μιχάλης, θα δείξω χρησιμοποιώντας την σκέψη του στο #3 ότι το δεδομένο AS=7 θα μπορούσε να παραληφθεί.
Είναι: x=MT-AM

MT=a-\dfrac{a-5}{2}=\dfrac{2a-a+5}{2}=\dfrac{a+5}{2}

Άρα τώρα είναι x=\dfrac{a+5}{2}-\dfrac{a-5}{2}=\dfrac{a+5-a+5}{2}=5
Μετά την εύστοχη παρατήρηση του Θεοδόση :coolspeak: δίνω, αν μου επιτρέπει ο Νίκος, την παρακάτω γενίκευση:
Γνωστή απάντηση.α.png
Γνωστή απάντηση.α.png (8.34 KiB) Προβλήθηκε 534 φορές
Αν S είναι τυχαίο σημείο της πλευράς AC ισοπλεύρου τριγώνου ABC και SB=ST

(T σημείο στην προέκταση του BA), να δείξετε ότι AT=SC.


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3270
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Γνωστή απάντηση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Κυρ Μάιος 05, 2019 7:32 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Μάιος 05, 2019 12:41 pm
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε:
Κυρ Μάιος 05, 2019 11:27 am
Άν μου επιτρέπει και ο κύριος Μιχάλης, θα δείξω χρησιμοποιώντας την σκέψη του στο #3 ότι το δεδομένο AS=7 θα μπορούσε να παραληφθεί.
Είναι: x=MT-AM

MT=a-\dfrac{a-5}{2}=\dfrac{2a-a+5}{2}=\dfrac{a+5}{2}

Άρα τώρα είναι x=\dfrac{a+5}{2}-\dfrac{a-5}{2}=\dfrac{a+5-a+5}{2}=5
Μετά την εύστοχη παρατήρηση του Θεοδόση :coolspeak: δίνω, αν μου επιτρέπει ο Νίκος, την παρακάτω γενίκευση:
Αν S είναι τυχαίο σημείο της πλευράς AC ισοπλεύρου τριγώνου ABC και SB=ST

(T σημείο στην προέκταση του BA), να δείξετε ότι AT=SC.
:clap2:
shape2.png
shape2.png (17.83 KiB) Προβλήθηκε 492 φορές
Φέρω SM \bot BT και θέτω AT = x,\,AS = 2a. Τα υπόλοιπα στο σχήμα…


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8933
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γνωστή απάντηση

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μάιος 06, 2019 10:38 am

george visvikis έγραψε:
Κυρ Μάιος 05, 2019 12:41 pm

Αν S είναι τυχαίο σημείο της πλευράς AC ισοπλεύρου τριγώνου ABC και SB=ST

(T σημείο στην προέκταση του BA), να δείξετε ότι AT=SC.
Γνωστή απάντηση.png
Γνωστή απάντηση.png (11.37 KiB) Προβλήθηκε 459 φορές
Αν PS||BC, από την προφανή ισότητα των αμβλυγώνιων τριγώνων ATS, PBS είναι \boxed{AT=PB=SC}


Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 115
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Γνωστή απάντηση

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Δευ Μάιος 06, 2019 5:00 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Μάιος 05, 2019 12:41 pm

... Αν S είναι τυχαίο σημείο της πλευράς AC ισοπλεύρου τριγώνου ABC και SB=ST

(T σημείο στην προέκταση του BA), να δείξετε ότι AT=SC.
Φέρω την SK\parallel AB. Όπως και πριν λοιπόν, σχηματίζεται το ισόπλευρο τρίγωνο SKC και το παραλληλόγραμμο ATSK
οπότε AT=SC.
Συνημμένα
Capture.PNG
Capture.PNG (29.04 KiB) Προβλήθηκε 431 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες