Τριπλή ισότητα εμβαδών

sakis1963 · #1

: GEOMETRIA231=FB1923.jpg (34.97 KiB) Προβλήθηκε 391 φορές

Επειδή, καθώς φαίνεται, παραβίασα τον όρο του μαθητικού 24ώρου, ορίστε μια για μαθητές

$\bigstar$ Στο δοσμένο σχήμα το ABC

είναι ισόπλευρο,

τα N, L

είναι τα μέσα των AB, AC

,

το

είναι το μέσον του ελάσσονος τόξου $\overset {\frown}{BC}$ και

είναι διάμετρος του έγκυκλου του ABC

Δείξτε ότι, τα τρία έγχρωμα χωρία, είναι ισεμβαδικά

σημ. το μικτόγραμμο χωρίο ANL

είναι κυκλικός τομέας

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

sakis1963 έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 01, 2019 9:44 pm
GEOMETRIA231=FB1923.jpg
Επειδή, καθώς φαίνεται, παραβίασα τον όρο του μαθητικού 24ώρου, ορίστε μια για μαθητές

$\bigstar$ Στο δοσμένο σχήμα το είναι ισόπλευρο,

τα είναι τα μέσα των ,

το είναι το μέσον του ελάσσονος τόξου $\overset {\frown}{BC}$ και

είναι διάμετρος του έγκυκλου του

Δείξτε ότι, τα τρία έγχρωμα χωρία, είναι ισεμβαδικά

σημ. το μικτόγραμμο χωρίο είναι κυκλικός τομέας

Χριστός Ανέστη,

Έστω AB=BC=AC=a

Επειδή τα

ανήκουν στην μεσοκάθετη του

τα

με

το κέντρο του έγκυκλου του ABC

θα είναι συνευθειακά .

Επειδή έχουμε ισόπλευρο θα είναι $ON\perp AB,OL\perp AC$

Επίσης το OBM

είναι ισόπλευρο αφού ABM

ισοσκελές με $\widehat{BAM}=30^{\circ}$

Οπότε σύμφωνα με τα παραπάνω

$E_{red}=\pi AL^2\cdot \dfrac{\widehat{A}}{360^{\circ}}=\pi \cdot \dfrac{a^2}{4}\cdot \dfrac{1}{6}=\dfrac{\pi a^2}{24}$

$E_{yellow}=\pi \cdot OL^2\dfrac{180}{360}=\dfrac{\pi OL^2}{2}$
Επειδή στο ισόπλευρο το βαρύκεντρο ταυτίζεται με το έγκεντρο και το ύψος είναι $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ έχουμε

$E_{yellow}=\dfrac{\pi\cdot \left ( \dfrac{1}{3}BL \right )^2}{2}=\dfrac{\pi\left ( \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right )^2}{2}=\dfrac{\pi a^2}{24}$