Τριπλή ισότητα εμβαδών

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 775
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Τριπλή ισότητα εμβαδών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Τετ Μάιος 01, 2019 9:44 pm

GEOMETRIA231=FB1923.jpg
GEOMETRIA231=FB1923.jpg (34.97 KiB) Προβλήθηκε 413 φορές
Επειδή, καθώς φαίνεται, παραβίασα τον όρο του μαθητικού 24ώρου, ορίστε μια για μαθητές

\bigstar Στο δοσμένο σχήμα το ABC είναι ισόπλευρο,

τα N, L είναι τα μέσα των AB, AC,

το M είναι το μέσον του ελάσσονος τόξου \overset {\frown}{BC} και

KL είναι διάμετρος του έγκυκλου του ABC

Δείξτε ότι, τα τρία έγχρωμα χωρία, είναι ισεμβαδικά

σημ. το μικτόγραμμο χωρίο ANL είναι κυκλικός τομέας


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 770
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τριπλή ισότητα εμβαδών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Μάιος 01, 2019 11:30 pm

sakis1963 έγραψε:
Τετ Μάιος 01, 2019 9:44 pm
GEOMETRIA231=FB1923.jpg
Επειδή, καθώς φαίνεται, παραβίασα τον όρο του μαθητικού 24ώρου, ορίστε μια για μαθητές

\bigstar Στο δοσμένο σχήμα το ABC είναι ισόπλευρο,

τα N, L είναι τα μέσα των AB, AC,

το M είναι το μέσον του ελάσσονος τόξου \overset {\frown}{BC} και

KL είναι διάμετρος του έγκυκλου του ABC

Δείξτε ότι, τα τρία έγχρωμα χωρία, είναι ισεμβαδικά

σημ. το μικτόγραμμο χωρίο ANL είναι κυκλικός τομέας
Χριστός Ανέστη,

Έστω AB=BC=AC=a
Επειδή τα A,M ανήκουν στην μεσοκάθετη του BC τα A,M,O με O το κέντρο του έγκυκλου του ABC θα είναι συνευθειακά .

Επειδή έχουμε ισόπλευρο θα είναι ON\perp AB,OL\perp AC

Επίσης το OBM είναι ισόπλευρο αφού ABM ισοσκελές με \widehat{BAM}=30^{\circ}

Οπότε σύμφωνα με τα παραπάνω
  • E_{red}=\pi AL^2\cdot \dfrac{\widehat{A}}{360^{\circ}}=\pi \cdot \dfrac{a^2}{4}\cdot \dfrac{1}{6}=\dfrac{\pi a^2}{24}
  • E_{yellow}=\pi \cdot OL^2\dfrac{180}{360}=\dfrac{\pi OL^2}{2}
    Επειδή στο ισόπλευρο το βαρύκεντρο ταυτίζεται με το έγκεντρο και το ύψος είναι \dfrac{a\sqrt{3}}{2} έχουμε

    E_{yellow}=\dfrac{\pi\cdot \left ( \dfrac{1}{3}BL \right )^2}{2}=\dfrac{\pi\left ( \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right )^2}{2}=\dfrac{\pi a^2}{24}
E_{blue}=\left ( \overset{\frown }{OBM} \right )-\left ( \overset{\frown }{NOK} \right )=\dfrac{\pi R^2}{8}=\dfrac{\pi a^2}{24}

Άρα ισοεμβαδικά.
Συνημμένα
Capture34.PNG
Capture34.PNG (46.16 KiB) Προβλήθηκε 388 φορές


Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 775
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Re: Τριπλή ισότητα εμβαδών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Παρ Μάιος 03, 2019 3:46 pm

GEOMETRIA231=FB1923sol.jpg
GEOMETRIA231=FB1923sol.jpg (35.52 KiB) Προβλήθηκε 312 φορές
Ξεφεύγοντας λίγο από τον φάκελο, έχουμε:

Από το θεώρημα Mamikon, τα χωρία (b)lue=(r)ed αφού η εφαπτομένη NB "σαρώνει" το (b)lue χωρίο, για γωνία 60^o,

ενώ η ακτίνα AN(=NB) "σαρώνει" το (r)ed χωρίο (κυκλικό τομέα), για γωνία επίσης 60^o.

Είναι προφανές ότι τα χωρία (b)lue=(g)reen και λόγω συμμετρίας 3(b+g)=\pi(R^2-\rho^2)

και αφού ως γνωστόν R=2\rho, προκύπτει 2b=\pi\rho^2, δηλαδή (b)lue=(g)reen


για περισσότερα περί Mamikon και sweep tangents, εδώ και εδώ , ή εδώ New Horizons in Geometry


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες