Μία ακριβώς ρίζα
Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μία ακριβώς ρίζα
Ισοδύναμα . Αφού η είναι γνήσια αύξουσα (άμεσο), έχει το πολύ μία ρίζα. Όμως έχει τουλάχιστον μία ρίζα αφού, για τον ίδιο λόγο, . Και λοιπά.
-
- Δημοσιεύσεις: 15
- Εγγραφή: Παρ Απρ 06, 2018 4:22 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
Re: Μία ακριβώς ρίζα
Mία σχετικά απλή λύση που έχω να προτείνω, είναι η εξής:
Ζητάμε ρίζα (μοναδική) της εξίσωσης στο διάστημα .
Αρχικά βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της , η οποία είναι η , που σημαίνει ότι η συνάρτησή μας είναι γνησίως αύξουσα στο σύνολο .
Για είναι , οπότε στο , άρα και στο ζητούμενο διάστημα, είναι , λόγω της μονοτονίας.
Ισχύει . Τα είναι θετικοί αριθμοί, οπότε με απλές πράξεις διάταξης προκύπτει ότι ή αλλιώς .
Αν τώρα θεωρήσουμε τη συνάρτηση , παρατηρούμε ότι η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής στο διάστημα που μας ενδιαφέρει και επιπλέον , όπως προκύπτει από τα παραπάνω. Η , δηλαδή, ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών στο διάστημα . Έτσι, για τον αριθμό που, σύμφωνα με την , βρίσκεται μεταξύ των και , υπάρχει τουλάχιστον ένας τέτοιος, ώστε ή
Για να δείξουμε ότι η ρίζα αυτή είναι μοναδική, θα βρούμε τη μονοτονία της συνάρτησης . Είναι στο συγκεκριμένο διάστημα, δηλαδή η είναι γνησίως αύξουσα, άρα και , οπότε η εξίσωση , που είναι η , έχει μόνο μία ρίζα, την και αυτή βρίσκεται στο διάστημα .
Ζητάμε ρίζα (μοναδική) της εξίσωσης στο διάστημα .
Αρχικά βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της , η οποία είναι η , που σημαίνει ότι η συνάρτησή μας είναι γνησίως αύξουσα στο σύνολο .
Για είναι , οπότε στο , άρα και στο ζητούμενο διάστημα, είναι , λόγω της μονοτονίας.
Ισχύει . Τα είναι θετικοί αριθμοί, οπότε με απλές πράξεις διάταξης προκύπτει ότι ή αλλιώς .
Αν τώρα θεωρήσουμε τη συνάρτηση , παρατηρούμε ότι η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής στο διάστημα που μας ενδιαφέρει και επιπλέον , όπως προκύπτει από τα παραπάνω. Η , δηλαδή, ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών στο διάστημα . Έτσι, για τον αριθμό που, σύμφωνα με την , βρίσκεται μεταξύ των και , υπάρχει τουλάχιστον ένας τέτοιος, ώστε ή
Για να δείξουμε ότι η ρίζα αυτή είναι μοναδική, θα βρούμε τη μονοτονία της συνάρτησης . Είναι στο συγκεκριμένο διάστημα, δηλαδή η είναι γνησίως αύξουσα, άρα και , οπότε η εξίσωση , που είναι η , έχει μόνο μία ρίζα, την και αυτή βρίσκεται στο διάστημα .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μία ακριβώς ρίζα
Μπορούμε και χωρίς παραγώγους, απλά παρατηρώντας ότι οι είναι γνήσια αύξουσες (π.χ. διότι η βάση είναι ). Όμοια η , και λοιπά. Ούτως ή άλλως είναι ευκολότερο να εργαστούμε με την αντί της , οπότε γλιτώνουμε την μισή δουλειά.Βαγγέλης Κωστούλας έγραψε: ↑Πέμ Απρ 25, 2019 5:23 pmΑρχικά βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της , η οποία είναι η , που σημαίνει ότι η συνάρτησή μας είναι γνησίως αύξουσα στο σύνολο .
-
- Δημοσιεύσεις: 15
- Εγγραφή: Παρ Απρ 06, 2018 4:22 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
Re: Μία ακριβώς ρίζα
Πράγματι, ίσως είναι μια πιο γρήγορη πορεία. Προσπάθησα να κάνω μια προσομοίωση των εξετάσεων, μιας και πλησιάζει ο καιρός, και έτσι έδωσα την απάντηση που πρώτη μου ήρθε στο νου. Ίσως να ήμουν λιγάκι υπεραναλυτικός. Ευχαριστώ πάντως για την παρατήρηση.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Μία ακριβώς ρίζα
Δείτε και εδώ... πριν χρόνια. Πώς περνάν τα χρόνια!!
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες