Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Πρόβλημα 1
(α) Αν είναι θετικός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε ότι:
(β) Αν είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι:
Πρόβλημα 2
Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο , όπου . Πάνω στην πλευρά του παίρνουμε σημείο , τέτοιο ώστε και πάνω στην ημιευθεία σημείο , τέτοιο ώστε . Από το σημείο φέρουμε παράλληλη προς την , η οποία τέμνει την ευθεία στο σημείο . Ονομάζουμε το σημείο τομής των ευθειών και . Να αποδείξετε ότι:
(α)
(β) Τα σημεία και ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
Πρόβλημα 3
Σε ένα τουρνουά καλαθόσφαιρας συμμετέχουν ομάδες μόνο από τη Λεμεσό και τη Λευκωσία. Οι ομάδες της Λευκωσίας είναι περισσότερες από αυτές της Λεμεσού. Κάθε δύο ομάδες συναντήθηκαν για παιχνίδι μεταξύ τους ακριβώς μια φορά. Η νικήτρια ομάδα πήρε πόντο, η χαμένη ομάδα πόντους, ενώ δεν υπήρξαν ισοπαλίες. Όλες οι ομάδες από τη Λευκωσία μαζί συγκέντρωσαν φορές περισσότερους πόντους από όλες τις ομάδες της Λεμεσού μαζί. Να βρείτε ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός αριθμός των νικών της πιο επιτυχημένης ομάδας από τη Λεμεσό.
Πρόβλημα 4
Να βρεθούν διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί, οι οποίοι να διαιρούν τον αριθμό .
(α) Αν είναι θετικός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε ότι:
(β) Αν είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι:
Πρόβλημα 2
Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο , όπου . Πάνω στην πλευρά του παίρνουμε σημείο , τέτοιο ώστε και πάνω στην ημιευθεία σημείο , τέτοιο ώστε . Από το σημείο φέρουμε παράλληλη προς την , η οποία τέμνει την ευθεία στο σημείο . Ονομάζουμε το σημείο τομής των ευθειών και . Να αποδείξετε ότι:
(α)
(β) Τα σημεία και ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
Πρόβλημα 3
Σε ένα τουρνουά καλαθόσφαιρας συμμετέχουν ομάδες μόνο από τη Λεμεσό και τη Λευκωσία. Οι ομάδες της Λευκωσίας είναι περισσότερες από αυτές της Λεμεσού. Κάθε δύο ομάδες συναντήθηκαν για παιχνίδι μεταξύ τους ακριβώς μια φορά. Η νικήτρια ομάδα πήρε πόντο, η χαμένη ομάδα πόντους, ενώ δεν υπήρξαν ισοπαλίες. Όλες οι ομάδες από τη Λευκωσία μαζί συγκέντρωσαν φορές περισσότερους πόντους από όλες τις ομάδες της Λεμεσού μαζί. Να βρείτε ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός αριθμός των νικών της πιο επιτυχημένης ομάδας από τη Λεμεσό.
Πρόβλημα 4
Να βρεθούν διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί, οι οποίοι να διαιρούν τον αριθμό .
Σωτήρης Λοϊζιάς
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Εύκολα βλέπουμε ότι το έχει παράγοντα το . Ο πρώτος παράγοντας δείχνει ότιSoteris έγραψε: ↑Σάβ Απρ 20, 2019 12:25 pmΠρόβλημα 4[/color]
Να βρεθούν διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί, οι οποίοι να διαιρούν τον αριθμό .
ο διαιρεί τον δοθέντα. Με λίγο χαρτί και μολύβι (και κριτήρια διαιρετότητας) εύκολα βρίσκουμε τους πρώτους παράγοντες . Ο τρίτος μας δίνει τον από όπου τσιμπάμε τους .
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
(α) Το είναι παραλληλόγραμμο, άρα και Οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα καιSoteris έγραψε: ↑Σάβ Απρ 20, 2019 12:25 pm
Πρόβλημα 2
Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο , όπου . Πάνω στην πλευρά του παίρνουμε σημείο , τέτοιο ώστε και πάνω στην ημιευθεία σημείο , τέτοιο ώστε . Από το σημείο φέρουμε παράλληλη προς την , η οποία τέμνει την ευθεία στο σημείο . Ονομάζουμε το σημείο τομής των ευθειών και . Να αποδείξετε ότι:
(α)
(β) Τα σημεία και ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
(β) Από τη ισότητα των τριγώνων προκύπτει ότι οι γωνίες είναι συμπληρωματικές, άρα οπότε
το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, δηλαδή (ως εντός εναλλάξ). Αλλά και το
είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε που σημαίνει ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Καλησπέρα.
i) που αληθεύει αφού προφανώς η αρχική σχέση δεν ισχύει για
Η ισότητα ισχύει για
τελευταία επεξεργασία από Prødigy σε Σάβ Απρ 20, 2019 9:38 pm, έχει επεξεργασθεί 6 φορές συνολικά.
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
α)
Για αρκεί που ισχύει ,όμοια και για
H ισότητα είναι για
β)
Από α αρκεί που ισχύει.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1787
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Ας δούμε άλλη μια λύση σε αυτό το πρόβλημα, εκτός πνεύματος "junior" μεν, χρήσιμη δε σε άλλα προβλήματα.
Η ανισότητα γράφεται ισοδύναμα
Εξετάζουμε το πολυώνυμο του οποίου οι συντελεστές , κατά φθίνουσα σειρά δυνάμεων, αλλάζουν πρόσημο δυο φορές. Άρα από το κανόνα των προσήμων του Descartes το θα έχει το πολύ δυο θετικές ρίζες
Παρατηρούμε ότι το είναι ρίζα του . Επίσης, και . Επόμενως το είναι διπλή ρίζα του πολυωνύμου. Οπότε σύμφωνα με το παραπάνω κανόνα άλλες θετικές ρίζες δεν υπάρχουν.
Διαλέγοντας κάποια θετική τιμή, π.χ. το παρατηρούμε ότι και εφόσον δεν υπάρχουν άλλες ρίζες πέραν του θα διατηρείται το πρόσημο. Τελικά έχουμε , με την ισότητα μόνο για .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Prodigy, εύγε που ασχολήθηκες αλλά κάτι δεν καταλαβαίνω εδώ:
Μπορείς να εξηγήσεις; Επίσης δεν καταλαβαίνω τον συλλογισμό
Αν δεν ισχύει, τότε τι πάμε να αποδείξουμε;
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Για την 4 μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε ότι ο διαιρεί τον . Επίσης από μικρό θεώρημα Fermat έχουμε ότι και για . (Πρέπει να ελεγχθεί ότι οι και δεν διαιρούνται με κανένα από αυτούς τους πρώτους.)
Η διαφορά μου με την απάντηση του Μιχάλη είναι ότι έχω τον αντί του .
Η διαφορά μου με την απάντηση του Μιχάλη είναι ότι έχω τον αντί του .
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Απρ 20, 2019 7:35 pmΑς δούμε άλλη μια λύση σε αυτό το πρόβλημα, εκτός πνεύματος "junior" μεν, χρήσιμη δε σε άλλα προβλήματα.
Η ανισότητα γράφεται ισοδύναμα
Το οποίο θα μπορούσαμε να παραγοντοποιήσουμε ως:
που προφανώς είναι μη αρνητικό.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Έστω οι ομάδες της Λεμεσού, της Λευκωσίας. Έστω ακόμη, οι πόντοι των ομάδων της Λεμεσού, και οι πόντοι των ομάδων της Λευκωσίας.Soteris έγραψε: ↑Σάβ Απρ 20, 2019 12:25 pm
Πρόβλημα 3
Σε ένα τουρνουά καλαθόσφαιρας συμμετέχουν ομάδες μόνο από τη Λεμεσό και τη Λευκωσία. Οι ομάδες της Λευκωσίας είναι περισσότερες από αυτές της Λεμεσού. Κάθε δύο ομάδες συναντήθηκαν για παιχνίδι μεταξύ τους ακριβώς μια φορά. Η νικήτρια ομάδα πήρε πόντο, η χαμένη ομάδα πόντους, ενώ δεν υπήρξαν ισοπαλίες. Όλες οι ομάδες από τη Λευκωσία μαζί συγκέντρωσαν φορές περισσότερους πόντους από όλες τις ομάδες της Λεμεσού μαζί. Να βρείτε ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός αριθμός των νικών της πιο επιτυχημένης ομάδας από τη Λεμεσό.
Συνολικά, παίχτηκαν παιχνίδια, οπότε οι συνολικοί πόντοι είναι .
Συνεπώς, .
Ο είναι περιττός, οπότε , οπότε .
Επομένως, , και άρα .
Στα μεταξύ τους παιχνίδια, οι ομάδες της Λεμεσού συγκέντρωσαν πόντους, άρα .
Όμως, .
Αν , τότε οι ομάδες της Λευκωσίας είναι , και συγκέντρωσαν πόντους, ενώ της Λεμεσού είναι , συγκεντρώνοντας πόντους.
Στα μεταξύ τους παιχνίδια, οι ομάδες της Λεμεσού συγκέντρωσαν πόντους, οπότε στα παιχνίδια με ομάδες της Λευκωσίας, συγκέντρωσαν πόντους.
Προφανώς, η πιο επιτυχημένη ομάδα της Λεμεσού, είναι η ομάδα με τις πιο πολλές νίκες (αφού δεν υπάρχει ισοπαλία, και η ήττα δεν δίνει πόντο), οπότε ο μέγιστος αριθμός νικών που μπορεί να επιτύχει ομάδα της Λεμεσού είναι (αν η συγκεκριμένη ομάδα νικήσει τις ομάδες της Λευκωσίας και όλες τις ομάδες της Λεμεσού).
Αν , όμοια παίρνουμε σαν μέγιστο αριθμό νικών τις .
Τελικά, η απάντηση είναι νίκες, και είναι εύκολο να κατασκευαστεί κατάλληλο παράδειγμα.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες