Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης
Συντονιστής: chris_gatos
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης
Για τους πραγματικούς αριθμούς ισχύει:
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή που μπορεί να λάβει το .
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή που μπορεί να λάβει το .
Χρήστος Κυριαζής
Λέξεις Κλειδιά:
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης
Καλημέρα σε όλους. Χρησιμοποιώ τη μέθοδο "της προς στιγμήν σταθεράς", όπως την περιγράφουν οι Ιησουίτες στη γεωμετρία τους (έκδοση 1912)
και ο Γιώργος Τσαπακίδης σε άρθρο του στον Ευκλείδη Β (λ.α., τ. 2 σσ.28-32).
Θα ήθελα να δω πληροφορίες και γνώμες για τη μέθοδο αυτή.
Είναι
Θεωρώντας το θετικό και «προς στιγμήν σταθερό», η ελάχιστη τιμή του προκύπτει όταν , οπότε είναι ,
άρα , οπότε η δεύτερη ισότητα γίνεται ,
άρα η ελάχιστη τιμή για το είναι .
Οι τιμές αυτές επαληθεύουν τις αρχικές ισότητες.
Αν τότε , οπότε δεν έχουμε ελάχιστο.
Ομοίως αν θεωρήσουμε το θετικό και σταθερό, οπότε κ.ο.κ.
και ο Γιώργος Τσαπακίδης σε άρθρο του στον Ευκλείδη Β (λ.α., τ. 2 σσ.28-32).
Θα ήθελα να δω πληροφορίες και γνώμες για τη μέθοδο αυτή.
Είναι
Θεωρώντας το θετικό και «προς στιγμήν σταθερό», η ελάχιστη τιμή του προκύπτει όταν , οπότε είναι ,
άρα , οπότε η δεύτερη ισότητα γίνεται ,
άρα η ελάχιστη τιμή για το είναι .
Οι τιμές αυτές επαληθεύουν τις αρχικές ισότητες.
Αν τότε , οπότε δεν έχουμε ελάχιστο.
Ομοίως αν θεωρήσουμε το θετικό και σταθερό, οπότε κ.ο.κ.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης
Καλημέρα σε όλους. Ο Χρήστος Κυριαζής μού υπέδειξε ότι μπορεί να βρεθεί καλύτερο ελάχιστο (αυτό που δίνω παρακάτω).
Ξαναδοκίμασα το πρόβλημα και βρίσκω το εξής:
Τετραγωνίζω τις ισότητες και προσθέτω
Αφού θα είναι με το ίσον όταν
, οπότε
Αν , τότε , με το ελάχιστο όταν .
Αν , τότε
Άρα έχει ελάχιστο , που επαληθεύει την αρχική, αφού το σύστημα
είναι συμβιβαστό (δίνει πράγματι ).
ΕΡΩΤΗΜΑ: (αναπάντητο) Μπορεί κάποιος να εντοπίσει το αδύνατο σημείο της προηγούμενης ανάρτησής μου με τη μέθοδο "της προς στιγμήν σταθεράς"; (την οποίαν αφήνω για να συνεχιστεί η συζήτηση).
Ευχαριστώ τον Σταύρο Παπαδόπουλο που μού υπέδειξε μια τυπογραφική διόρθωση και έναν προβληματισμό για το πώς από την ελάχιστη τιμή του αθροίσματος μεταβαίνουμε στο ελάχιστο του . Αφήνω, βεβαίως, την ανάρτησή μου με τα κενά της ώστε να συμπληρωθεί, αν γίνεται, ή αλλιώς να αποτελέσει αφορμή για συζήτηση.
Ξαναδοκίμασα το πρόβλημα και βρίσκω το εξής:
Τετραγωνίζω τις ισότητες και προσθέτω
Αφού θα είναι με το ίσον όταν
, οπότε
Αν , τότε , με το ελάχιστο όταν .
Αν , τότε
Άρα έχει ελάχιστο , που επαληθεύει την αρχική, αφού το σύστημα
είναι συμβιβαστό (δίνει πράγματι ).
ΕΡΩΤΗΜΑ: (αναπάντητο) Μπορεί κάποιος να εντοπίσει το αδύνατο σημείο της προηγούμενης ανάρτησής μου με τη μέθοδο "της προς στιγμήν σταθεράς"; (την οποίαν αφήνω για να συνεχιστεί η συζήτηση).
Ευχαριστώ τον Σταύρο Παπαδόπουλο που μού υπέδειξε μια τυπογραφική διόρθωση και έναν προβληματισμό για το πώς από την ελάχιστη τιμή του αθροίσματος μεταβαίνουμε στο ελάχιστο του . Αφήνω, βεβαίως, την ανάρτησή μου με τα κενά της ώστε να συμπληρωθεί, αν γίνεται, ή αλλιώς να αποτελέσει αφορμή για συζήτηση.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Δευ Απρ 15, 2019 3:08 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Re: Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης
Ουσιαστικά θέλουμε να βρούμε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης κάτω από τις συνθήκες
και , όπου και .
Δεν μπορούμε όμως να χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω πρόταση γιατί η δεν είναι κυκλικά συμμετρική ως προς , και .
Μπορούμε όμως να χρησιμοποιήσουμε πολλαπλασιαστές Lagrange.
και , όπου και .
Δεν μπορούμε όμως να χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω πρόταση γιατί η δεν είναι κυκλικά συμμετρική ως προς , και .
Μπορούμε όμως να χρησιμοποιήσουμε πολλαπλασιαστές Lagrange.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης
Συμπληρώνω την λύση του Γιώργου.
(το αρχικό κομμάτι είναι αντιγραφή)
Τετραγωνίζω τις ισότητες και προσθέτω
Αφού θα είναι
Είναι φανερό ότι το ελάχιστο είναι όταν
Ετσι έχουμε ότι
Η
μπορεί να γραφεί
και λόγω της μονοτονίας της
Ετσι παίρνουμε ελάχιστη τιμή για το
οταν είναι
αλλά
η τελευταία δίνει
λύνοντας παίρνουμε
(αφού θέλουμε αρνητικό)
Μάλιστα βλέπουμε ότι
(το αρχικό κομμάτι είναι αντιγραφή)
Τετραγωνίζω τις ισότητες και προσθέτω
Αφού θα είναι
Είναι φανερό ότι το ελάχιστο είναι όταν
Ετσι έχουμε ότι
Η
μπορεί να γραφεί
και λόγω της μονοτονίας της
Ετσι παίρνουμε ελάχιστη τιμή για το
οταν είναι
αλλά
η τελευταία δίνει
λύνοντας παίρνουμε
(αφού θέλουμε αρνητικό)
Μάλιστα βλέπουμε ότι
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης
Για να δούμε μια διαφορετική αντιμετώπιση καθαρά γεωμετρική.
Θέτουμε
Τα διανύσματα είναι μοναδιαία και
Το διάνυσμα θα πρέπει να βόσκει στον κύκλο
και να βρίσκεται πάνω η μέσα στον κύκλο
.
Αυτοί οι κύκλοι τέμνονται σε δύο σημεία.
Ειναι φανερό από το σχήμα (αν μπορεί ας το κάνει κάποιος)
ότι το γίνεται ελάχιστο όταν το
είναι το σημείο
τομής με την μεγαλύτερητετμημένη.
Ετσι
Υπολογίζοντας βρίσκουμε ότι αυτό το σημείο είναι το
τότε το
δηλαδή
συμπλήρωμα.Εκανα διόρθωση.Μπέρδεψα την τετμημένη με την τεταγμένη.
Θέτουμε
Τα διανύσματα είναι μοναδιαία και
Το διάνυσμα θα πρέπει να βόσκει στον κύκλο
και να βρίσκεται πάνω η μέσα στον κύκλο
.
Αυτοί οι κύκλοι τέμνονται σε δύο σημεία.
Ειναι φανερό από το σχήμα (αν μπορεί ας το κάνει κάποιος)
ότι το γίνεται ελάχιστο όταν το
είναι το σημείο
τομής με την μεγαλύτερητετμημένη.
Ετσι
Υπολογίζοντας βρίσκουμε ότι αυτό το σημείο είναι το
τότε το
δηλαδή
συμπλήρωμα.Εκανα διόρθωση.Μπέρδεψα την τετμημένη με την τεταγμένη.
τελευταία επεξεργασία από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ σε Τρί Απρ 16, 2019 8:57 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης
Αναρτώ το σχήμα για την τελευταία γεωμετρική λύση του Σταύρου.
Το σημείο είναι το σημείο τομής με τη μεγαλύτερη τετμημένη.
edit: Έκανα τις διορθώσεις.
(Αν ήμουν προληπτικός θα έλεγα ότι υπάρχουν ασκήσεις που είναι φτιαγμένες για να μας βασανίζουν... )
Το σημείο είναι το σημείο τομής με τη μεγαλύτερη τετμημένη.
edit: Έκανα τις διορθώσεις.
(Αν ήμουν προληπτικός θα έλεγα ότι υπάρχουν ασκήσεις που είναι φτιαγμένες για να μας βασανίζουν... )
- Συνημμένα
-
- 16-04-2019 Γεωμετρία.ggb
- (22.48 KiB) Μεταφορτώθηκε 27 φορές
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Τρί Απρ 16, 2019 9:25 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης
Ευχαριστώ Γιώργο.Αλλά όπως θα δεις και παραπάνω μπέρδεψα την τετμημένη με την τεταγμένη.Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑Τρί Απρ 16, 2019 8:35 pmΑναρτώ το σχήμα για την τελευταία γεωμετρική λύση του Σταύρου.
Το σημείο είναι το σημείο τομής με τη μεγαλύτερη τετμημένη.
16-04-2019 Γεωμετρία.png
Αν δεν σου κάνει κόπος διόρθωσε στο σχήμα το σημείο.Είναι το άλλο.
συμπλήρωμα.Γιώργο μπέρδεψες την τετμημένη με την τεταγμένη.
Το σημείο με την μεγαλύτερη τετμημένη είναι το άλλο.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης
Θα δώσω και μια αλγεβρική λύση που στην ουσία είναι ίδια με την παραπάνω
γεωμετρική που έδωσα.
Θέτουμε
Εχουμε ότι
Από αυτές τις δύο παίρνουμε ότι
(1)
Για να βρούμε το ελάχιστο του αρκεί να βρούμε το μέγιστο του .
Η (1) δίνει
η
μεγαλύτερη τιμή για το δίνει η δεύτερη που γράφεται
μπορούμε να υποθέσουμε ότι
οπότε υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνουμε
Κατά τα γνωστά το είναι μέγιστο.
κλπ
γεωμετρική που έδωσα.
Θέτουμε
Εχουμε ότι
Από αυτές τις δύο παίρνουμε ότι
(1)
Για να βρούμε το ελάχιστο του αρκεί να βρούμε το μέγιστο του .
Η (1) δίνει
η
μεγαλύτερη τιμή για το δίνει η δεύτερη που γράφεται
μπορούμε να υποθέσουμε ότι
οπότε υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνουμε
Κατά τα γνωστά το είναι μέγιστο.
κλπ
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες