EGMO 2019
Συντονιστής: spyros
-
- Δημοσιεύσεις: 789
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
EGMO 2019
Σήμερα ξεκινάει η EGMO 2019 στην οποία η Ελλάδα συμμετέχει για δεύτερη φορά. Να ευχηθούμε καλή επιτυχία στην Ελληνική ομάδα ( Ειρηνούλα θέλω χρυσό ) καθώς και στην Κυπριακή στην οποία leader είναι ο "δικός μας" Δημήτρης Χριστοφίδης!!!
Υ.γ: Αν μπορέσω να βρω τα θέματα θα προσπαθήσω να τα ανεβάσω !
Υ.γ: Αν μπορέσω να βρω τα θέματα θα προσπαθήσω να τα ανεβάσω !
Λέξεις Κλειδιά:
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: EGMO 2019
Ξεκινώ με τα θέματα της 1ης μέρας! Ευχαριστώ τον Αρχηγό της Ελληνικής Αποστολής Αχιλλέα Συνεφακόπουλο που μου τα έστειλε.
Εύχομαι καλή αρχή στην Ελληνική και Κυπριακή Αποστολή!
Πρόβλημα 1
Να βρεθούν όλες οι τριάδες πραγματικών αριθμών τέτοιων ώστε και
Πρόβλημα 2
Έστω ένας θετικός ακέραιος. Τοποθετούνται ντόμινο σε ένα πίνακα με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε κελί του πίνακα να είναι γειτονικό με ακριβώς ένα κελί το οποίο να καλύπτεται από ένα ντόμινο. Για κάθε , να προσδιοριστεί το μέγιστο πλήθος των ντόμινο που μπορούν να τοποθετηθούν με αυτόν τον τρόπο.
(Ένα ντόμινο είναι ένα πλακίδιο διαστάσεων ή . Τα ντόμινο τοποθετούνται στον πίνακα με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε ντόμινο να καλύπτει ακριβώς δύο κελιά του πίνακα, και τα ντόμινο να μην αλληλοεπικαλύπτονται. Δύο κελιά ονομάζονται γειτονικά εάν είναι διαφορετικά και έχουν μία κοινή πλευρά).
Πρόβλημα 3
Έστω τρίγωνο τέτοιο ώστε , και έστω το έγκεντρό του. Έστω σημείο στο τμήμα τέτοιο ώστε . Έστω ο κύκλος ο οποίος εφάπτεται της στο και διέρχεται από το Έστω το δεύτερο σημείο τομής του με τον περιγεγγραμμένο κύκλο του Να αποδειχθεί ότι οι διχοτόμοι των γωνιών και τέμνονται σε σημείο της ευθείας
Αλέξανδρος
Εύχομαι καλή αρχή στην Ελληνική και Κυπριακή Αποστολή!
Πρόβλημα 1
Να βρεθούν όλες οι τριάδες πραγματικών αριθμών τέτοιων ώστε και
Πρόβλημα 2
Έστω ένας θετικός ακέραιος. Τοποθετούνται ντόμινο σε ένα πίνακα με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε κελί του πίνακα να είναι γειτονικό με ακριβώς ένα κελί το οποίο να καλύπτεται από ένα ντόμινο. Για κάθε , να προσδιοριστεί το μέγιστο πλήθος των ντόμινο που μπορούν να τοποθετηθούν με αυτόν τον τρόπο.
(Ένα ντόμινο είναι ένα πλακίδιο διαστάσεων ή . Τα ντόμινο τοποθετούνται στον πίνακα με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε ντόμινο να καλύπτει ακριβώς δύο κελιά του πίνακα, και τα ντόμινο να μην αλληλοεπικαλύπτονται. Δύο κελιά ονομάζονται γειτονικά εάν είναι διαφορετικά και έχουν μία κοινή πλευρά).
Πρόβλημα 3
Έστω τρίγωνο τέτοιο ώστε , και έστω το έγκεντρό του. Έστω σημείο στο τμήμα τέτοιο ώστε . Έστω ο κύκλος ο οποίος εφάπτεται της στο και διέρχεται από το Έστω το δεύτερο σημείο τομής του με τον περιγεγγραμμένο κύκλο του Να αποδειχθεί ότι οι διχοτόμοι των γωνιών και τέμνονται σε σημείο της ευθείας
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Re: EGMO 2019
Πρόβλημα 1. Να βρεθούν όλες οι τριάδες πραγματικών αριθμών τέτοιων ώστε και
********************************************************************
Λύση: Έχουμε
κι έτσι
Ομοίως, έχουμε
Αν , τότε παίρνουμε και , που δίνουν , ή .
Ομοίως, εάν , τότε , ή , ενώ αν , τότε , ή
Έτσι, ας υποθέσουμε ότι . Τότε
Προσθέτοντας τες, παίρνουμε
και χρησιμοποιώντας τη σχέση , παίρνουμε
Συνεπώς,
κι έτσι , οπότε .
Συνεπώς, οι λύσεις είναι , , , , , ,
Φιλικά,
Αχιλλέας
********************************************************************
Λύση: Έχουμε
κι έτσι
Ομοίως, έχουμε
Αν , τότε παίρνουμε και , που δίνουν , ή .
Ομοίως, εάν , τότε , ή , ενώ αν , τότε , ή
Έτσι, ας υποθέσουμε ότι . Τότε
Προσθέτοντας τες, παίρνουμε
και χρησιμοποιώντας τη σχέση , παίρνουμε
Συνεπώς,
κι έτσι , οπότε .
Συνεπώς, οι λύσεις είναι , , , , , ,
Φιλικά,
Αχιλλέας
Re: EGMO 2019
Πρόβλημα 3. Έστω τρίγωνο τέτοιο ώστε , και έστω το έγκεντρό του. Έστω σημείο στο τμήμα τέτοιο ώστε . Έστω ο κύκλος ο οποίος εφάπτεται της στο και διέρχεται από το Έστω το δεύτερο σημείο τομής του με τον περιγεγγραμμένο κύκλο του Να αποδειχθεί ότι οι διχοτόμοι των γωνιών και τέμνονται σε σημείο της ευθείας
********************************************************************
Λύση: Παρατηρούμε ότι
Έστω ότι οι και τέμνονται στο . Τότε .
Επίσης, έχουμε , αφού ο εφάπτεται στην στο . Επομένως,
(η απόλυτη τιμή εξαρτάται από το αν ή όχι) που σημαίνει ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, δηλ. το ανήκει στον
Έστω ότι η ευθεία τέμνει την στο . (Αν , τότε η "εκφυλίζεται" στην εφαπτόμενη στον στο )
Παρατηρούμε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, αφού
Έχουμε και . Έτσι
Αυτό σημαίνει ότι η είναι διχοτόμος της Έπειτα, έστω το σημείο τομής των και Τότε
κι έτσι η παραπληρωματική της γωνία ισούται με
κι άρα τα βρίσκονται στον Έπειτα, έχουμε
κι άρα τα είναι ομοκυκλικά. Έτσι,
Άρα η είναι διχοτόμος της , όπως θέλαμε!
Φιλικά,
Αχιλλέας
********************************************************************
Λύση: Παρατηρούμε ότι
Έστω ότι οι και τέμνονται στο . Τότε .
Επίσης, έχουμε , αφού ο εφάπτεται στην στο . Επομένως,
(η απόλυτη τιμή εξαρτάται από το αν ή όχι) που σημαίνει ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, δηλ. το ανήκει στον
Έστω ότι η ευθεία τέμνει την στο . (Αν , τότε η "εκφυλίζεται" στην εφαπτόμενη στον στο )
Παρατηρούμε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, αφού
Έχουμε και . Έτσι
Αυτό σημαίνει ότι η είναι διχοτόμος της Έπειτα, έστω το σημείο τομής των και Τότε
κι έτσι η παραπληρωματική της γωνία ισούται με
κι άρα τα βρίσκονται στον Έπειτα, έχουμε
κι άρα τα είναι ομοκυκλικά. Έτσι,
Άρα η είναι διχοτόμος της , όπως θέλαμε!
Φιλικά,
Αχιλλέας
- Συνημμένα
-
- egmo_3_mathematica.png (44.59 KiB) Προβλήθηκε 2387 φορές
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: EGMO 2019
Βάζω μια λύση για τη 2. (Συμπλήρωσα τώρα και την κατασκευή.) Η λύση μου είναι διαφορετική από την επίσημη (η οποία δεν έχει ακόμη αναρτηθεί).
Έστω ότι έχουμε γωνιακά ντόμινο, πλευρικά, για τα οποία το ένα κελί είναι πλευρικό και το άλλο όχι, και τα οποία δεν έχουν κανένα κελί στο πλευρό.
Όλα αυτά καλύπτουν συνολικά κελιά. Επίσης, κοιτάζοντας τα κελιά στον περίγυρο, βλέπουμε ότι .
Άρα:
αφού . Άρα χρησιμοποιήσαμε το πολύ ντόμινο.
Η κατασκευή για είναι απλή. Αν έχουμε την κατασκευή για θα δείξουμε πως παίρνουμε την κατασκευή για . Ξεκινάμε από τον πίνακα και στον περίγυρο εναλλάξ είτε τοποθετούμε ντόμινο σε δύο κελιά είτε τα αφήνουμε κενά όπως στο πιο κάτω σχήμα. Όλα τα κελιά στον περίγυρο έχουν την ζητούμενη ιδιότητα. Μας μένει ένας πίνακας στον περίγυρο του οποίου δεν θα τοποθετήσουμε κανένα ντόμινο. Στο σχήμα έχουμε σημειώσει τα κελιά τα οποία ακόμη δεν έχουν τη ζητούμενη ιδιότητα. Αυτά είναι ακριβώς τα κελιά τα οποία δεν είναι γωνιακά και είναι γειτονικά σε κελιά του αρχικού περίγυρου στα οποία δεν τοποθετήθηκε ντόμινο. (Με τα γωνιακά κελιά είμαστε πάντα εντάξει.) Μπορούμε τώρα να δούμε ότι μπορούμε να τοποθετήσουμε ντόμινο εναλλάξ στον περίγυρο του εσωτερικού πίνακα ώστε να καλύπτουν ακριβώς τα ακάλυπτα κελιά του περίγυρου του πίνακα. Η κάλυψη του πίνακα συμπληρώνεται επαγωγικά.
Σημείωση: Οι περιπτώσεις περιττός και άρτιος έχουν λίγο διαφορετικό σχήμα αλλά τίποτα το ουσιαστικά διαφορετικό.
Έστω ότι έχουμε γωνιακά ντόμινο, πλευρικά, για τα οποία το ένα κελί είναι πλευρικό και το άλλο όχι, και τα οποία δεν έχουν κανένα κελί στο πλευρό.
Όλα αυτά καλύπτουν συνολικά κελιά. Επίσης, κοιτάζοντας τα κελιά στον περίγυρο, βλέπουμε ότι .
Άρα:
αφού . Άρα χρησιμοποιήσαμε το πολύ ντόμινο.
Η κατασκευή για είναι απλή. Αν έχουμε την κατασκευή για θα δείξουμε πως παίρνουμε την κατασκευή για . Ξεκινάμε από τον πίνακα και στον περίγυρο εναλλάξ είτε τοποθετούμε ντόμινο σε δύο κελιά είτε τα αφήνουμε κενά όπως στο πιο κάτω σχήμα. Όλα τα κελιά στον περίγυρο έχουν την ζητούμενη ιδιότητα. Μας μένει ένας πίνακας στον περίγυρο του οποίου δεν θα τοποθετήσουμε κανένα ντόμινο. Στο σχήμα έχουμε σημειώσει τα κελιά τα οποία ακόμη δεν έχουν τη ζητούμενη ιδιότητα. Αυτά είναι ακριβώς τα κελιά τα οποία δεν είναι γωνιακά και είναι γειτονικά σε κελιά του αρχικού περίγυρου στα οποία δεν τοποθετήθηκε ντόμινο. (Με τα γωνιακά κελιά είμαστε πάντα εντάξει.) Μπορούμε τώρα να δούμε ότι μπορούμε να τοποθετήσουμε ντόμινο εναλλάξ στον περίγυρο του εσωτερικού πίνακα ώστε να καλύπτουν ακριβώς τα ακάλυπτα κελιά του περίγυρου του πίνακα. Η κάλυψη του πίνακα συμπληρώνεται επαγωγικά.
Σημείωση: Οι περιπτώσεις περιττός και άρτιος έχουν λίγο διαφορετικό σχήμα αλλά τίποτα το ουσιαστικά διαφορετικό.
Re: EGMO 2019
Και μια λίγο διαφορετική σκέψη γι' αυτό.
Αν κάποιος είναι μηδέν, ας πούμε , τότε από την πρώτη συνθήκη και από τη δεύτερη,
άρα ή .
Αλλιώς, κάνω ομογενή τη δεύτερη συνθήκη, χρησιμοποιώντας την πρώτη:
Επειδή τώρα έχουμε υποθέσει ότι όλοι είναι διάφοροι του μηδενός, παίρνουμε .
Παίρνοντας κυκλικά τις άλλες δύο σχέσεις και προσθέτοντας έχουμε , οπότε .
Σιλουανός Μπραζιτίκος
-
- Δημοσιεύσεις: 789
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: EGMO 2019
Πρόβλημα 4: Έστω τρίγωνο με έγκεντρο . Ο κύκλος ο οποίος διέρχεται από το και εφάπτεται της στο τέμνει ξανά την πλευρά στο Ο κύκλος ο οποίος διέρχεται από το και εφάπτεται της στο τέμνει ξανά την πλευρά στο Να αποδειχθεί ότι η εφάπτεται στον εγγεγραμμένο κύκλο του
Πρόβλημα 5: Έστω ένας ακέραιος, και έστω θετικοί ακέραιοι. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν θετικοί ακέραιοι οι οποίοι να ικανοποιούν τις ακόλουθες τρεις συνθήκες:
(Α) για ,
(Β) τα υπόλοιπα των όταν διαιρεθούν με τον είναι ανά δύο διαφορετικά, και
(Γ)
(Εδώ, το συμβολίζει το ακέραιο μέρος του πραγματικού αριθμού , δηλαδή, τον μεγαλύτερο ακέραιο ο οποίος δεν υπερβαίνει τον .)
Πρόβλημα 6:
Σε έναν κύκλο η Αλίνα σχεδιάζει χορδές, τα άκρα των οποίων είναι όλα διαφορετικά. Ένα σημείο θεωρείται σημαδεμένο εάν είναι είτε
(i) ένα από τα άκρα των χορδών, είτε
(ii) ένα σημείο τομής τουλάχιστον δύο χορδών.
Η Αλίνα βάζει έναν αριθμό σε κάθε σημαδεμένο σημείο. Από τα σημεία τα οποία ικανοποιούν το κριτήριο (i), η Αλίνα βάζει σε σημεία το και στα υπόλοιπα σημεία το
Σε κάθε σημείο το οποίο ικανοποιεί το κριτήριο (ii) βάζει έναν αυθαίρετο ακέραιο (όχι απαραίτητα θετικό).
Κατά μήκος κάθε χορδής, η Αλίνα θεωρεί τα τμήματα τα οποία συνδέουν δύο διαδοχικά σημαδεμένα σημεία. (Μια χορδή με σημαδεμένα σημεία έχει τέτοια τμήματα.) Σε κάθε τέτοιο τμήμα βάζει μια κίτρινη ετικέτα με το άθροισμα των αριθμών των άκρων του και μια μπλε ετικέτα με την απόλυτη τιμή της διαφοράς των αριθμών των άκρων του.
Η Αλίνα παρατηρεί ότι οι κίτρινες ετικέτες λαμβάνουν κάθε μια από τις τιμές ακριβώς μια φορά. Να αποδειχθεί ότι η τιμή τουλάχιστον μιας μπλε ετικέτας είναι πολλαπλάσιο του .
(Χορδή είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα το οποίο συνδέει δύο διαφορετικά σημεία ενός κύκλου.)
Πρόβλημα 5: Έστω ένας ακέραιος, και έστω θετικοί ακέραιοι. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν θετικοί ακέραιοι οι οποίοι να ικανοποιούν τις ακόλουθες τρεις συνθήκες:
(Α) για ,
(Β) τα υπόλοιπα των όταν διαιρεθούν με τον είναι ανά δύο διαφορετικά, και
(Γ)
(Εδώ, το συμβολίζει το ακέραιο μέρος του πραγματικού αριθμού , δηλαδή, τον μεγαλύτερο ακέραιο ο οποίος δεν υπερβαίνει τον .)
Πρόβλημα 6:
Σε έναν κύκλο η Αλίνα σχεδιάζει χορδές, τα άκρα των οποίων είναι όλα διαφορετικά. Ένα σημείο θεωρείται σημαδεμένο εάν είναι είτε
(i) ένα από τα άκρα των χορδών, είτε
(ii) ένα σημείο τομής τουλάχιστον δύο χορδών.
Η Αλίνα βάζει έναν αριθμό σε κάθε σημαδεμένο σημείο. Από τα σημεία τα οποία ικανοποιούν το κριτήριο (i), η Αλίνα βάζει σε σημεία το και στα υπόλοιπα σημεία το
Σε κάθε σημείο το οποίο ικανοποιεί το κριτήριο (ii) βάζει έναν αυθαίρετο ακέραιο (όχι απαραίτητα θετικό).
Κατά μήκος κάθε χορδής, η Αλίνα θεωρεί τα τμήματα τα οποία συνδέουν δύο διαδοχικά σημαδεμένα σημεία. (Μια χορδή με σημαδεμένα σημεία έχει τέτοια τμήματα.) Σε κάθε τέτοιο τμήμα βάζει μια κίτρινη ετικέτα με το άθροισμα των αριθμών των άκρων του και μια μπλε ετικέτα με την απόλυτη τιμή της διαφοράς των αριθμών των άκρων του.
Η Αλίνα παρατηρεί ότι οι κίτρινες ετικέτες λαμβάνουν κάθε μια από τις τιμές ακριβώς μια φορά. Να αποδειχθεί ότι η τιμή τουλάχιστον μιας μπλε ετικέτας είναι πολλαπλάσιο του .
(Χορδή είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα το οποίο συνδέει δύο διαφορετικά σημεία ενός κύκλου.)
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Τετ Απρ 10, 2019 3:23 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: EGMO 2019
Πρόβλημα 4. Έστω τρίγωνο με έγκεντρο . Ο κύκλος ο οποίος διέρχεται από το και εφάπτεται της στο τέμνει ξανά την πλευρά στο Ο κύκλος ο οποίος διέρχεται από το και εφάπτεται της στο τέμνει ξανά την πλευρά στο Να αποδειχθεί ότι η εφάπτεται στον εγγεγραμμένο κύκλο του
************************************************************
Λύση: Από τη δύναμη σημείου ως προς κύκλο παίρνουμε
Έτσι, το είναι εγγράψιμο, κι έτσι,
Έστω το περίκεντρο του και έστω το περίκεντρο του . Τότε η είναι κάθετη στην στο
Έστω το σημείο τομής της με την Τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο , έχουμε
και από το θεώρημα εξωτερικής γωνίας στο , έχουμε
Έτσι
Επομένως, αφού η εφάπτεται στον περίκεντρο του στο έχουμε
Αφού , έχουμε
επίσης. Άρα το βρίσκεται στη διχοτόμο της , και άρα θα ισαπέχει από τις πλευρές της. Έτσι, η απόσταση του από το ισούται με την ακτίνα του εγγεγραμένου κύκλου στο
Συνεπώς, η εφάπτεται στον εγγεγραμμένο κύκλο του
************************************************************
Λύση: Από τη δύναμη σημείου ως προς κύκλο παίρνουμε
Έτσι, το είναι εγγράψιμο, κι έτσι,
Έστω το περίκεντρο του και έστω το περίκεντρο του . Τότε η είναι κάθετη στην στο
Έστω το σημείο τομής της με την Τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο , έχουμε
και από το θεώρημα εξωτερικής γωνίας στο , έχουμε
Έτσι
Επομένως, αφού η εφάπτεται στον περίκεντρο του στο έχουμε
Αφού , έχουμε
επίσης. Άρα το βρίσκεται στη διχοτόμο της , και άρα θα ισαπέχει από τις πλευρές της. Έτσι, η απόσταση του από το ισούται με την ακτίνα του εγγεγραμένου κύκλου στο
Συνεπώς, η εφάπτεται στον εγγεγραμμένο κύκλο του
- Συνημμένα
-
- egmo_4_mathematica.png (25.97 KiB) Προβλήθηκε 2157 φορές
Re: EGMO 2019
Πρόβλημα 5. Έστω ένας ακέραιος, και έστω θετικοί ακέραιοι. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν θετικοί ακέραιοι οι οποίοι να ικανοποιούν τις ακόλουθες τρεις συνθήκες:
(i) για ,
(ii) τα υπόλοιπα των όταν διαιρεθούν με τον είναι ανά δύο διαφορετικά, και
(iii)
****************************
Λύση: Θέτουμε . Ορίζουμε τα επαγωγικά ως εξής: ας υποθέσουμε ότι έχουμε κατασκευάσει τα για κάποια ώστε να ικανοποιούν τις συνθήκες. Παρατηρούμε ότι τουλάχιστον ένας από τους ακέραιους αφήνει διαφορετικό υπόλοιπο στη διαίρεση του με το από το υπόλοιπο που αφήνουν οι Θέτουμε να είναι ο ελάχιστος από αυτούς τους αριθμούς. Έτσι
for .Τότε οι πρώτες δύο συνθήκες ικανοποιούνται από την κατασκευή μας. Για την τρίτη συνθήκη, προσθέτοντας τις παρακάτω σχέσεις κατά μέλη
παίρνουμε
Το αριστερό μέλος της παραπάνω ανισότητας είναι πολλαπλάσιο του από τη συνθήκη (ii). Διαιρώντας με , αφού , παίρνουμε
Το αριστερό μέλος της παραπάνω ανισότητας είναι ακέραιος, οπότε παίρνοντας το ακέραιο μέρος και των δυο μελών έχουμε
όπως θέλαμε.
Φιλικά,
Αχιλλέας
(i) για ,
(ii) τα υπόλοιπα των όταν διαιρεθούν με τον είναι ανά δύο διαφορετικά, και
(iii)
****************************
Λύση: Θέτουμε . Ορίζουμε τα επαγωγικά ως εξής: ας υποθέσουμε ότι έχουμε κατασκευάσει τα για κάποια ώστε να ικανοποιούν τις συνθήκες. Παρατηρούμε ότι τουλάχιστον ένας από τους ακέραιους αφήνει διαφορετικό υπόλοιπο στη διαίρεση του με το από το υπόλοιπο που αφήνουν οι Θέτουμε να είναι ο ελάχιστος από αυτούς τους αριθμούς. Έτσι
for .Τότε οι πρώτες δύο συνθήκες ικανοποιούνται από την κατασκευή μας. Για την τρίτη συνθήκη, προσθέτοντας τις παρακάτω σχέσεις κατά μέλη
παίρνουμε
Το αριστερό μέλος της παραπάνω ανισότητας είναι πολλαπλάσιο του από τη συνθήκη (ii). Διαιρώντας με , αφού , παίρνουμε
Το αριστερό μέλος της παραπάνω ανισότητας είναι ακέραιος, οπότε παίρνοντας το ακέραιο μέρος και των δυο μελών έχουμε
όπως θέλαμε.
Φιλικά,
Αχιλλέας
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: EGMO 2019
2η (και τελευταία μέρα του διαγωνισμού). Εύχομαι καλά αποτελέσματα στις ομάδες μας!
Πρόβλημα 4
Έστω τρίγωνο με έγκεντρο . Ο κύκλος ο οποίος διέρχεται από το και εφάπτεται της στο τέμνει ξανά την πλευρά στο Ο κύκλος ο οποίος διέρχεται από το και εφάπτεται της στο τέμνει ξανά την πλευρά στο Να αποδειχθεί ότι η εφάπτεται στον εγγεγραμμένο κύκλο του
Πρόβλημα 5
Έστω ένας ακέραιος, και έστω θετικοί ακέραιοι. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν θετικοί ακέραιοι οι οποίοι να ικανοποιούν τις ακόλουθες τρεις συνθήκες:
(Α) για ,
(Β) τα υπόλοιπα των όταν διαιρεθούν με τον είναι ανά δύο διαφορετικά, και
(Γ)
(Εδώ, το συμβολίζει το ακέραιο μέρος του πραγματικού αριθμού , δηλαδή, τον μεγαλύτερο ακέραιο ο οποίος δεν υπερβαίνει τον .)
Πρόβλημα 6
Σε έναν κύκλο η Αλίνα σχεδιάζει χορδές, τα άκρα των οποίων είναι όλα διαφορετικά. Ένα σημείο θεωρείται σημαδεμένο εάν είναι είτε
(i) ένα από τα άκρα των χορδών, είτε
(ii) ένα σημείο τομής τουλάχιστον δύο χορδών.
Η Αλίνα βάζει έναν αριθμό σε κάθε σημαδεμένο σημείο. Από τα σημεία τα οποία ικανοποιούν το κριτήριο (i), η Αλίνα βάζει σε σημεία το και στα υπόλοιπα σημεία το
Σε κάθε σημείο το οποίο ικανοποιεί το κριτήριο (ii) βάζει έναν αυθαίρετο ακέραιο (όχι απαραίτητα θετικό).
Κατά μήκος κάθε χορδής, η Αλίνα θεωρεί τα τμήματα τα οποία συνδέουν δύο διαδοχικά σημαδεμένα σημεία. (Μια χορδή με σημαδεμένα σημεία έχει τέτοια τμήματα.) Σε κάθε τέτοιο τμήμα βάζει μια κίτρινη ετικέτα με το άθροισμα των αριθμών των άκρων του και μια μπλε ετικέτα με την απόλυτη τιμή της διαφοράς των αριθμών των άκρων του.
Η Αλίνα παρατηρεί ότι οι κίτρινες ετικέτες λαμβάνουν κάθε μια από τις τιμές ακριβώς μια φορά. Να αποδειχθεί ότι η τιμή τουλάχιστον μιας μπλε ετικέτας είναι πολλαπλάσιο του .
(Χορδή είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα το οποίο συνδέει δύο διαφορετικά σημεία ενός κύκλου.)
Πρόβλημα 4
Έστω τρίγωνο με έγκεντρο . Ο κύκλος ο οποίος διέρχεται από το και εφάπτεται της στο τέμνει ξανά την πλευρά στο Ο κύκλος ο οποίος διέρχεται από το και εφάπτεται της στο τέμνει ξανά την πλευρά στο Να αποδειχθεί ότι η εφάπτεται στον εγγεγραμμένο κύκλο του
Πρόβλημα 5
Έστω ένας ακέραιος, και έστω θετικοί ακέραιοι. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν θετικοί ακέραιοι οι οποίοι να ικανοποιούν τις ακόλουθες τρεις συνθήκες:
(Α) για ,
(Β) τα υπόλοιπα των όταν διαιρεθούν με τον είναι ανά δύο διαφορετικά, και
(Γ)
(Εδώ, το συμβολίζει το ακέραιο μέρος του πραγματικού αριθμού , δηλαδή, τον μεγαλύτερο ακέραιο ο οποίος δεν υπερβαίνει τον .)
Πρόβλημα 6
Σε έναν κύκλο η Αλίνα σχεδιάζει χορδές, τα άκρα των οποίων είναι όλα διαφορετικά. Ένα σημείο θεωρείται σημαδεμένο εάν είναι είτε
(i) ένα από τα άκρα των χορδών, είτε
(ii) ένα σημείο τομής τουλάχιστον δύο χορδών.
Η Αλίνα βάζει έναν αριθμό σε κάθε σημαδεμένο σημείο. Από τα σημεία τα οποία ικανοποιούν το κριτήριο (i), η Αλίνα βάζει σε σημεία το και στα υπόλοιπα σημεία το
Σε κάθε σημείο το οποίο ικανοποιεί το κριτήριο (ii) βάζει έναν αυθαίρετο ακέραιο (όχι απαραίτητα θετικό).
Κατά μήκος κάθε χορδής, η Αλίνα θεωρεί τα τμήματα τα οποία συνδέουν δύο διαδοχικά σημαδεμένα σημεία. (Μια χορδή με σημαδεμένα σημεία έχει τέτοια τμήματα.) Σε κάθε τέτοιο τμήμα βάζει μια κίτρινη ετικέτα με το άθροισμα των αριθμών των άκρων του και μια μπλε ετικέτα με την απόλυτη τιμή της διαφοράς των αριθμών των άκρων του.
Η Αλίνα παρατηρεί ότι οι κίτρινες ετικέτες λαμβάνουν κάθε μια από τις τιμές ακριβώς μια φορά. Να αποδειχθεί ότι η τιμή τουλάχιστον μιας μπλε ετικέτας είναι πολλαπλάσιο του .
(Χορδή είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα το οποίο συνδέει δύο διαφορετικά σημεία ενός κύκλου.)
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Re: EGMO 2019
Λίγο διαφορετικά.Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑Τετ Απρ 10, 2019 3:05 pmΠρόβλημα 4: Έστω τρίγωνο με έγκεντρο . Ο κύκλος ο οποίος διέρχεται από το και εφάπτεται της στο τέμνει ξανά την πλευρά στο Ο κύκλος ο οποίος διέρχεται από το και εφάπτεται της στο τέμνει ξανά την πλευρά στο Να αποδειχθεί ότι η εφάπτεται στον εγγεγραμμένο κύκλο του
Aπό τις γωνίες χορδής και εφαπτομένης έχουμε
Όμως το είναι και στη διχοτόμο της γωνίας , οπότε από τις δύο σχέσεις το είναι το παράκεντρο του .
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: EGMO 2019
Αν δει κανείς το από τη σωστή οπτική γωνία η λύση είναι απλή και σύντομη. Μόνο που μου πήρε αρκετή ώρα να τη βρω...
Υποθέτω ότι δεν υπάρχει μπλε ετικέτα με τιμή πολλαπλάσιο του .
Για κάθε χορδή ορίζω το διάνυσμα όπου είναι το πλήθος των τμημάτων με άθροισμα άκρων . Αν τα άκρα της χορδής είναι ίδια, ισχυρίζομαι ότι . Αν τα άκρα της χορδής έχουν διαφορετικούς αριθμούς (δηλαδή και ) ισχυρίζομαι ότι . Αυτό είναι άμεσο αν η χορδή δεν έχει σημαδεμένο εσωτερικό σημείο (δηλαδή τα άκρα της είναι και ) ή αν έχει ένα σημαδεμένο εσωτερικό σημείο με αριθμό . (Δηλαδή έχουμε τις περιπτώσεις όπου κατά σειρά τα σημεία έχουν τους αριθμούς ή ή ή .) Για το επαγωγικό βήμα, βρίσκω ένα εσωτερικό σημείο ίσο με ή (δεν μπορεί να είναι όλα ) και σπάω τη χορδή σε δύο χορδές στις οποίες ισχύει το ζητούμενο από την επαγωγική υπόθεση. Ένας απλός έλεγχος περιπτώσεων δείχνει ότι το ζητούμενο ισχύει και για ολόκληρη τη χορδή.
Προσθέτω τώρα όλα τα διανύσματα όλων τον χορδών. Θα έχω περιττό πλήθος από χορδές με διαφορετικούς αριθμούς. Άρα αν το άθροισμα είναι τότε θα έχω . Όμως κοιτάζοντας τις κίτρινες ετικέτες πρέπει ή , άτοπο.
Υποθέτω ότι δεν υπάρχει μπλε ετικέτα με τιμή πολλαπλάσιο του .
Για κάθε χορδή ορίζω το διάνυσμα όπου είναι το πλήθος των τμημάτων με άθροισμα άκρων . Αν τα άκρα της χορδής είναι ίδια, ισχυρίζομαι ότι . Αν τα άκρα της χορδής έχουν διαφορετικούς αριθμούς (δηλαδή και ) ισχυρίζομαι ότι . Αυτό είναι άμεσο αν η χορδή δεν έχει σημαδεμένο εσωτερικό σημείο (δηλαδή τα άκρα της είναι και ) ή αν έχει ένα σημαδεμένο εσωτερικό σημείο με αριθμό . (Δηλαδή έχουμε τις περιπτώσεις όπου κατά σειρά τα σημεία έχουν τους αριθμούς ή ή ή .) Για το επαγωγικό βήμα, βρίσκω ένα εσωτερικό σημείο ίσο με ή (δεν μπορεί να είναι όλα ) και σπάω τη χορδή σε δύο χορδές στις οποίες ισχύει το ζητούμενο από την επαγωγική υπόθεση. Ένας απλός έλεγχος περιπτώσεων δείχνει ότι το ζητούμενο ισχύει και για ολόκληρη τη χορδή.
Προσθέτω τώρα όλα τα διανύσματα όλων τον χορδών. Θα έχω περιττό πλήθος από χορδές με διαφορετικούς αριθμούς. Άρα αν το άθροισμα είναι τότε θα έχω . Όμως κοιτάζοντας τις κίτρινες ετικέτες πρέπει ή , άτοπο.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: EGMO 2019
Βγήκαν τα τελικά αποτελέσματα.
Η Κύπρος είχε ένα χάλκινο με την Ειρήνη Ιωάννου. (Το πρώτο μας σε EGMO.)
Η Ελλάδα είχε δύο χάλκινα με τις Ειρήνη Μηλιώρη και Άρτεμις Σάββα. Είχε επίσης δύο εύφημες μνείες με τις Κωνσταντίνα Ρασβάνη και Δανάη Αβδελά.
Συγχαρητήρια σε όλες!
Η Κύπρος είχε ένα χάλκινο με την Ειρήνη Ιωάννου. (Το πρώτο μας σε EGMO.)
Η Ελλάδα είχε δύο χάλκινα με τις Ειρήνη Μηλιώρη και Άρτεμις Σάββα. Είχε επίσης δύο εύφημες μνείες με τις Κωνσταντίνα Ρασβάνη και Δανάη Αβδελά.
Συγχαρητήρια σε όλες!
-
- Δημοσιεύσεις: 789
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: EGMO 2019
Συγχαρητήρια σε όλα τα κορίτσια της Ελληνικής και Κυπριακής αποστολής για τη συμμετοχή και τις διακρίσεις τους αλλά και στους αρχηγούς/υπαρχηγούς, που πάλεψαν για το καλύτερο δυνατό αποτέλεσμα!
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 50
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 23, 2018 11:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: EGMO 2019
Πολλά συγχαρητήρια στα κορίτσια!!!
Δινω μια άλλη λυση για το πρόβλημα 1
(1)
Ισχύει ακόμη ότι
(2)
(3)
Από τις σχέσεις (1)-(2)-(3) έχουμε:
Επίσης (4)
Από την (4) και την παίρνουνε
Όποτε:
Άρα (5)
Αν για να ισχύει η σχεση (5) πρέπει
Η ισότητα ισχύει για
ή (6)
Αν τοτε από την εξίσωση προκύπτει ότι
Πρέπει ή
Εσυ οι δυνατές τριάδες σε αυτήν την περίπτωση είναι (7)
Αντίστοιχα αν :
(8)
Αν:
ή(9)
Οι σχέσεις (6)-(7)-(8)-(9) δίνουν τις τριάδες που ικανοποιούν τις εξισώσεις της άσκησης
Δινω μια άλλη λυση για το πρόβλημα 1
(1)
Ισχύει ακόμη ότι
(2)
(3)
Από τις σχέσεις (1)-(2)-(3) έχουμε:
Επίσης (4)
Από την (4) και την παίρνουνε
Όποτε:
Άρα (5)
Αν για να ισχύει η σχεση (5) πρέπει
Η ισότητα ισχύει για
ή (6)
Αν τοτε από την εξίσωση προκύπτει ότι
Πρέπει ή
Εσυ οι δυνατές τριάδες σε αυτήν την περίπτωση είναι (7)
Αντίστοιχα αν :
(8)
Αν:
ή(9)
Οι σχέσεις (6)-(7)-(8)-(9) δίνουν τις τριάδες που ικανοποιούν τις εξισώσεις της άσκησης
Τσούρα Χριστίνα
-
- Δημοσιεύσεις: 50
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 23, 2018 11:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: EGMO 2019
Βάζω μια λυση και για το 4
Έστω ,, οι προβολές από το στις πλευρές του τριγώνου
Το είναι ο ριζικός άξονας των και
Όποτε
Από το θεώρημα του έχουμε:
Οι και διχοτομουν τις γωνιές
και αντίστοιχα
Όποτε και
Άρα παράκεντρο(από το Α) του
Το εγκεντρο του είναι το παρακεντρο του ,σχεση από την οποία προκύπτει το ζητούμενο
Έστω ,, οι προβολές από το στις πλευρές του τριγώνου
Το είναι ο ριζικός άξονας των και
Όποτε
Από το θεώρημα του έχουμε:
Οι και διχοτομουν τις γωνιές
και αντίστοιχα
Όποτε και
Άρα παράκεντρο(από το Α) του
Το εγκεντρο του είναι το παρακεντρο του ,σχεση από την οποία προκύπτει το ζητούμενο
Τσούρα Χριστίνα
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 15 επισκέπτες