Σε κανονικό επτάγωνο!

#1

Δίνεται κανονικό επτάγωνο πλευράς $\displaystyle{a}$ και ας είναι $\displaystyle{b,c}$ τα μήκη των διαγωνίων του ( $\displaystyle{b<c}$ ).

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις

$\displaystyle{K=\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}}$

και

$\displaystyle{L=\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}}$ .

Tolaso J Kos · #2

Γεια σου Θάνο, δε ξέρω τι θεωρείται δεδομένο σε αυτό το επίπεδο και τι όχι. Από δω έχουμε τα εξής:

Αν a, b, c

είναι η πλευρά του πολυγώνου και b, c

οι διαγώνιοι αυτού,τότε:

$\displaystyle{\begin{matrix} b^2-a^2 &= & ac && (1) \\ c^2-b^2 & = &ab && (2) \\ a^2-c^2 & = & -bc& &(3) \\ \displaystyle \frac{c}{a} + \frac{a}{b} -\frac{b}{c} &= &2 & & (4) \end{matrix}}$
Η (4)

έρχεται από τον τύπο Vieta αφού τα $\frac{c}{a} \;, \; \frac{a}{b} \; , \;-\frac{b}{c}$ είναι ρίζες της εξίσωσης t^3-2t^2-t+1=0

. Τότε έχουμε διαδοχικά χρησιμοποιώντας τις σχέσεις $(1)\; , \; (2) \; , (3) \; , \; (4)$ :

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{L} &= \frac{b^2}{a^2} + \frac{c^2}{b^2} + \frac{a^2}{c^2} \\ &=\frac{b^2-a^2+a^2}{a^2}+ \frac{c^2-b^2+b^2}{b^2}+ \frac{a^2-c^2+c^2}{c^2} \\ &=\left ( \frac{b^2-a^2}{a^2} + \frac{a^2}{a^2} \right ) + \left (\frac{c^2-b^2}{b^2}+\frac{b^2}{b^2} \right ) + \left ( \frac{a^2-c^2}{c^2}+ \frac{c^2}{c^2} \right ) \\ &= \left (\frac{ac}{a^2}+ 1 \right ) + \left ( \frac{ab}{b^2} + 1 \right ) + \left ( -\frac{bc}{c^2}+ 1 \right ) \\ &= \frac{c}{a} + \frac{a}{b} -\frac{b}{c}+ 3 \\ &=2 + 3 \\ &=5 \end{aligned}}$
Παρόμοια δουλεύουμε και για τη $\mathcal{K}$ . Έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{K} &= \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2} + \frac{c^2}{a^2} \\ &= \left (\frac{ab-bc}{b^2}+1 \right ) + \left ( \frac{ac-bc}{c^2}+1 \right ) + \left ( \frac{ab+ac}{a^2}+1 \right )\\ &=\frac{a-c}{b} + \frac{a-b}{c} + \frac{b+c}{a} + 3 \\ &= \underbrace{\left ( \frac{a}{b} + \frac{c}{a} - \frac{b}{c} \right )}_{2} + \underbrace{\left ( \frac{b}{a} + \frac{a}{c}- \frac{c}{b} \right ) }_{1}+ 3\\ &=6 \end{aligned}}$
Οι τύποι Vieta βρίσκονται εδώ.

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 07, 2019 10:24 pm

Αν είναι η πλευρά του πολυγώνου και οι διαγώνιοι αυτού,τότε:

$\displaystyle{\begin{matrix} b^2-a^2 &= & ac && (1) \\ c^2-b^2 & = &ab && (2) \\ a^2-c^2 & = & -bc& &(3) \\ \displaystyle \frac{c}{a} + \frac{a}{b} -\frac{b}{c} &= &2 & & (4) \end{matrix}}$

Να πούμε δυο λόγια για το πώς προέκυψαν οι τρεις πρώτοι τύποι.

: 7γωνο.png (12.5 KiB) Προβλήθηκε 782 φορές

Οι δύο πρώτοι βγαίνουν από γνωστή πρόταση που έχει χρησιμοποιηθεί επανειλημμένως στο

: $\boxed{\widehat B = 2\widehat A \Leftrightarrow {b^2} = {a^2} + ac}$
Εδώ έχουμε $\widehat B=2\widehat A$ και $\widehat C=2\widehat B .$

Ο τρίτος τύπος προκύπτει από την ισοδυναμία: $\boxed{\widehat C = 90^\circ + \frac{{\widehat A}}{2} \Leftrightarrow {a^2} = {c^2} - cb}$ έχει αποδειχθεί εδώ (#11,#12, #13)

Tolaso J Kos · #4

Καλημέρα Γιώργο!

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 08, 2019 10:04 am
Να πούμε δυο λόγια για το πώς προέκυψαν οι τρεις πρώτοι τύποι.

Και από Πτολεμαίο.

: ptolemy-heptagon.png (29.22 KiB) Προβλήθηκε 778 φορές

Για παράδειγμα από το τετράπλευρο A'' B' A C'

παίρνουμε τη σχέση a^2-c^2=-bc

. Όμοια παράγονται και οι άλλες δύο σχέσεις. Το τελευταίο τετράπλευρο μας δίδει μια σημαντική σχέση που ισχύει στο επτάγωνο , γνωστή και ως optic equation ,

$\displaystyle{\frac{1}{a} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}$

Σε κανονικό επτάγωνο!

Σε κανονικό επτάγωνο!

Re: Σε κανονικό επτάγωνο!

Re: Σε κανονικό επτάγωνο!

Re: Σε κανονικό επτάγωνο!

Μέλη σε σύνδεση