Διπλάσιο τμήμα !
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Διπλάσιο τμήμα !
Ένα τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (C) και ας είναι ένα από τα ύψη του.
Αν είναι το βαρύκεντρο του και η ευθεία τέμνει τον (C) στο , να αποδειχθεί ότι .
Αν είναι το βαρύκεντρο του και η ευθεία τέμνει τον (C) στο , να αποδειχθεί ότι .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Διπλάσιο τμήμα !
Δεν είναι άμεσο από την αρνητική ομοιοθεσία κέντρου G που στέλνει τον κύκλο Euler στον περιγεγγραμμένο;Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 31, 2019 8:24 pmΈνα τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (C) και ας είναι ένα από τα ύψη του.
Αν είναι το βαρύκεντρο του και η ευθεία τέμνει τον (C) στο , να αποδειχθεί ότι .
thmima2019.PNG
Bye :')
-
- Δημοσιεύσεις: 9
- Εγγραφή: Κυρ Ιαν 20, 2019 8:46 am
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: Διπλάσιο τμήμα !
Καλό μήνα σε όλους !
Είστε ...τσακάλια και σας θαυμάζω!
Όντως από τον προκριματικό του 18 απέσπασα το ερώτημα.
Η ομοιοθεσία είναι προφανώς η έμπνευση της άσκησης για τον προκριματικό.Είναι εξαιρετικό Λήμμα. Κάποτε είχαμε αρχίσει να μαζεύουμε χρήσιμα λήμματα, αλλά αυτή τη στιγμή δεν έχω χρόνο να τα αναζητήσω για να το προσθέσω και αυτό.
Ας αναζητήσουμε και μια απόδειξη χωρίς αυτή την εξαιρετική μέθοδο των μετασχηματισμών.
Είστε ...τσακάλια και σας θαυμάζω!
Όντως από τον προκριματικό του 18 απέσπασα το ερώτημα.
Η ομοιοθεσία είναι προφανώς η έμπνευση της άσκησης για τον προκριματικό.Είναι εξαιρετικό Λήμμα. Κάποτε είχαμε αρχίσει να μαζεύουμε χρήσιμα λήμματα, αλλά αυτή τη στιγμή δεν έχω χρόνο να τα αναζητήσω για να το προσθέσω και αυτό.
Ας αναζητήσουμε και μια απόδειξη χωρίς αυτή την εξαιρετική μέθοδο των μετασχηματισμών.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Διπλάσιο τμήμα !
Καλό μήνα!Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 31, 2019 8:24 pmΈνα τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (C) και ας είναι ένα από τα ύψη του.
Αν είναι το βαρύκεντρο του και η ευθεία τέμνει τον (C) στο , να αποδειχθεί ότι .
thmima2019.PNG
Αρκεί να δείξω ότι Αντιστρέφω λοιπόν το πρόβλημα και θεωρώ και ορίζω το ως το σημείο
τομής του με τη διάμεσο Τώρα, αρκεί να δείξω ότι το είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου Φέρνω κι επειδή το είναι ισοσκελές τραπέζιο, θα είναι το μέσο του Άρα:
και το ζητούμενο έπεται.
Re: Διπλάσιο τμήμα !
Το λήμμα αυτό χρησιμοποιείται και για να λύσει το ακόλουθο πρόβλημα από την Shortlist της ΙΜΟ του 2011. (βλέπε πόστ 12 για παράδειγμα)
https://artofproblemsolving.com/communi ... 29p2739327
https://artofproblemsolving.com/communi ... 29p2739327
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Re: Διπλάσιο τμήμα !
Αγνοώ προσωρινά το τμήμα . Ας είναι το άλλο σημείο τομής της με το κύκλο και το μέσο του .Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 31, 2019 8:24 pmΈνα τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (C) και ας είναι ένα από τα ύψη του.
Αν είναι το βαρύκεντρο του και η ευθεία τέμνει τον (C) στο , να αποδειχθεί ότι .
thmima2019.PNG
Η τέμνει το ύψος στο ορθόκεντρο , του , και έτσι έχω ταυτόχρονα:
. Φέρνω τη διάμετρο και άρα στο το
είναι κι εδώ βαρύκεντρο , άρα η διέρχεται από το και προφανώς με
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες