Ακραία μεγιστοποίηση
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
Ακραία μεγιστοποίηση
Το ύψος τέμνει τη διάμεσο στο σημείο ενώ η κάθετη από το προς την ,
τέμνει την υποτείνουσα στο σημείο . Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ακραία μεγιστοποίηση
Στο τρίγωνο το είναι ορθόκεντρο και άρα η είναι ο φορέας του τρίτου ύψους , οπότε αν η τομή των θα είναι .
Αν το μέσο του ο κύκλος διαμέτρου διέρχεται από τα .
Ας είναι το απόστημα στη χορδή . Προφανώς το μέγιστο μήκος επιτυγχάνεται όταν το απόστημα γίνει ελάχιστο δηλαδή
Από την άλλη μεριά το μέγιστο μήκος προκύπτει όταν η ευθεία ταυτιστεί με το μικρό άξονα της έλλειψης που διαγράφει το , μέσο του .
Το ότι το μέσο του καθέτου, στην , τμήματος διαγράφει έλλειψη με μεγάλο άξονα την μπορούμε να το δείξουμε με Αναλυτική Γεωμετρία
Εν κατακλείδι οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου μεγιστοποιούνται όταν είναι κάθετες μεταξύ τους και μεγιστοποιείται το εμβαδόν .
Τότε το είναι βαρύκεντρο του το δε μέσο του .
Re: Ακραία μεγιστοποίηση
Στην εξαιρετική λύση του Doloros θα ήθελα να προσθέσω μια τεκμηρίωση για την ταυτόχρονη μεγιστοποίηση των .
Δείχθηκε ότι τo όταν αυτή διέρχεται από το μέσο της . Τότε και η είναι μεν κάθετη στην . Είναι όμως και μέγιστη ;
Είναι γνωστό (;) ότι σε ορθογώνιο τρίγωνο η όταν ισχύει ότι κάτι που εδώ ισχύει. Επομένως η χορδή γίνεται επίσης μέγιστη (σταθερός κύκλος ) ταυτόχρονα με την .
Αρα εκεί έχουμε και το ζητούμενο μέγιστο εμβαδό.
Δείχθηκε ότι τo όταν αυτή διέρχεται από το μέσο της . Τότε και η είναι μεν κάθετη στην . Είναι όμως και μέγιστη ;
Είναι γνωστό (;) ότι σε ορθογώνιο τρίγωνο η όταν ισχύει ότι κάτι που εδώ ισχύει. Επομένως η χορδή γίνεται επίσης μέγιστη (σταθερός κύκλος ) ταυτόχρονα με την .
Αρα εκεί έχουμε και το ζητούμενο μέγιστο εμβαδό.
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες