Υπολογισμός μερικών παραγώγων δευτέρου βαθμού στο (0,0)

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

lefsk
Δημοσιεύσεις: 131
Εγγραφή: Τετ Μαρ 02, 2016 9:17 pm

Υπολογισμός μερικών παραγώγων δευτέρου βαθμού στο (0,0)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από lefsk » Δευ Μαρ 25, 2019 10:44 pm

Έχουμε \displaystyle{f(x,y)=\left\{\begin{matrix} 
xy\frac{x^{2}-2y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & (x,y)\neq (0,0)\\  
0 & (x,y)=(0,0) 
\end{matrix}\right. } Υπολογίστε  f_{xy} (0,0), f_{yx}(0,0) .

- Βρήκα f_{x} και για την f_{xy}(0,0) πήρα το όριο:
\displaystyle{f_{xy}(0,0) =\lim_{y\rightarrow 0}\frac{f_{x}(0,y)-f_{x}(0,0)}{y-0}}
Για  f_{x}(0,0) πήρα επίσης το όριο:
\displaystyle{f_{x}(0,0) =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}}
Προέκυψε f_{x}(0,0) = 0 και f_{x}(0,y) = -2y , άρα \displaystyle{f_{xy}(0,0) = -2}
- Παρόμοια πράγματα έκανα και στην f_{yx}(0,0) και βγήκε \displaystyle{f_{yx}(0,0) = 0 }

Υπάρχει περίπτωση να είμαι σωστός;
Ευχαριστώ εκ των προτέρων!



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3017
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Υπολογισμός μερικών παραγώγων δευτέρου βαθμού στο (0,0)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Μαρ 25, 2019 11:38 pm

lefsk έγραψε:
Δευ Μαρ 25, 2019 10:44 pm
Έχουμε \displaystyle{f(x,y)=\left\{\begin{matrix} 
xy\frac{x^{2}-2y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & (x,y)\neq (0,0)\\  
0 & (x,y)=(0,0) 
\end{matrix}\right. } Υπολογίστε  f_{xy} (0,0), f_{yx}(0,0) .

- Βρήκα f_{x} και για την f_{xy}(0,0) πήρα το όριο:
\displaystyle{f_{xy}(0,0) =\lim_{y\rightarrow 0}\frac{f_{x}(0,y)-f_{x}(0,0)}{y-0}}
Για  f_{x}(0,0) πήρα επίσης το όριο:
\displaystyle{f_{x}(0,0) =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}}
Προέκυψε f_{x}(0,0) = 0 και f_{x}(0,y) = -2y , άρα \displaystyle{f_{xy}(0,0) = -2}
- Παρόμοια πράγματα έκανα και στην f_{yx}(0,0) και βγήκε \displaystyle{f_{yx}(0,0) = 0 }

Υπάρχει περίπτωση να είμαι σωστός;
Ευχαριστώ εκ των προτέρων!
Δεν έχω ελέγξει τις πράξεις σου αλλά δεν υπάρχει κάτι που να δείχνει ότι δεν είσαι σωστός.

Γενικά μπορεί να συμβαίνει ότι

\displaystyle{f_{yx}(0,0) \neq f_{xy}(0,0)   }


lefsk
Δημοσιεύσεις: 131
Εγγραφή: Τετ Μαρ 02, 2016 9:17 pm

Re: Υπολογισμός μερικών παραγώγων δευτέρου βαθμού στο (0,0)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από lefsk » Δευ Μαρ 25, 2019 11:53 pm

Άρα η διαδικασία που έχω ακολουθήσει είναι σωστή; Φτάνει μόνο να επαληθεύσω αν έχω κάνει σωστά τις πράξεις;


stranger
Δημοσιεύσεις: 189
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: Υπολογισμός μερικών παραγώγων δευτέρου βαθμού στο (0,0)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τρί Μαρ 26, 2019 6:06 am

Ναι, η διαδικασία της λύσης σου είναι απόλυτα σωστή.Αν υπάρχει λάθος θα είναι στις πράξεις τις οποίες δεν έκατσα να τις κάνω.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
lefsk
Δημοσιεύσεις: 131
Εγγραφή: Τετ Μαρ 02, 2016 9:17 pm

Re: Υπολογισμός μερικών παραγώγων δευτέρου βαθμού στο (0,0)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από lefsk » Τρί Μαρ 26, 2019 11:45 am

Η f_{yx}(0,0) κάνει 1 και όχι 0. Κατά τα άλλα οι πράξεις πρέπει να είναι σωστές! Ευχαριστώ!


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3017
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Υπολογισμός μερικών παραγώγων δευτέρου βαθμού στο (0,0)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Μαρ 26, 2019 12:04 pm

lefsk έγραψε:
Τρί Μαρ 26, 2019 11:45 am
Η f_{yx}(0,0) κάνει 1 και όχι 0. Κατά τα άλλα οι πράξεις πρέπει να είναι σωστές! Ευχαριστώ!
Εκανα και εγώ τις πράξεις.

Με f_{yx}(0,0)=1 και f_{xy}(0,0)=-2

όλα είναι εντάξει


stranger
Δημοσιεύσεις: 189
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: Υπολογισμός μερικών παραγώγων δευτέρου βαθμού στο (0,0)

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τετ Μαρ 27, 2019 1:05 am

Εδώ αξίζει να πούμε ότι το μόνο σημείο που ενδέχεται f_{xy} \neq f_{yx} είναι το (0,0). Αυτό γιατί η συνάρτηση που είπες είναι C^{\infty} στο \mathbb{R}^2-\{(0,0)\}.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης