SEEMOUS 2019 / 1

Συντονιστής: Demetres

Απάντηση
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3600
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

SEEMOUS 2019 / 1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Μαρ 18, 2019 10:05 am

Μία ακολουθία (x_{n})
λέγεται ''Devin'' αν έχει τις ιδιότητες
1)0\leq x_{i}\leq 1,i=1,2,...
2)Για κάθε συνεχή f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}
ισχύει
\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})=\int_{0}^{1}f(x)dx

Να δείξετε ότι μια ακολουθία (x_{n}) είναι ''Devin''
αν και μόνο αν
για κάθε k=0,1,2,....
ισχύει
\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{k}=\frac{1}{k+1}


Λέξεις Κλειδιά:
συνεχής
ακολουθία
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8989
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Demetres

Re: SEEMOUS 2019 / 1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Μαρ 19, 2019 2:51 pm

Το «μόνο αν» είναι προφανές εφαρμόζοντας για k=0,1,2,\ldots την (2) στη συνάρτηση f(x) = x^k.

Το «αν» είναι σχεδόν προφανές από το προσεγγιστικό θεώρημα Weierstrass.

Αν έχουμε f συνεχή και \varepsilon > 0 τότε μπορούμε να βρούμε πολυώνυμο p ώστε |p(x) - f(x)| \leqslant \varepsilon για κάθε x \in [0,1]. Τότε θα έχουμε και

\displaystyle \left|\int_0^1 p(x)\, \mathrm{d}x - \int_0^1 f(x)\, \mathrm{d}x \right| \leqslant \int_0^1 |p(x)-f(x)|\, \mathrm{d}x \leqslant \varepsilon.

Έστω ότι p(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_rx^r. Τότε υπάρχει N ώστε αν n > N και k=0,1,\ldots,r θα έχουμε

\displaystyle \left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_kx_i^k - \frac{a_k}{k+1}\right| < \frac{\varepsilon}{r+1}

Τότε θα έχουμε και

\displaystyle \left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n p(x_i) - \int_0^1 p(x) \, \mathrm{d}x\right| < \varepsilon

Άρα

\displaystyle \displaystyle{\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i) - \int_0^1 f(x)\, \mathrm{d}x\right| \leqslant \left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i) - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n p(x_i)\right|+\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n p(x_i) - \int_0^1 p(x)\, \mathrm{d}x\right|+\left|\int_0^1 p(x)\, \mathrm{d}x - \int_0^1 f(x)\, \mathrm{d}x\right| \leqslant 3\varepsilon}.


Κορυφή
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 838
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: SEEMOUS 2019 / 1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Μαρ 20, 2019 3:42 pm

Στο \Leftarrow μπορουμε να δειξουμε επιπλέον ότι το συμπέρασμα ισχυει για οποιαδήποτε ολοκληρώσιμη κατα Riemann. Bλέπε Νεγρεπόντη, τρίτος τόμος, ισοκατανεμημένες ακολουθίες.


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης