Ελάχιστο εμβαδόν

KARKAR · #1

: Ελάχιστο εμβαδόν.png (75.09 KiB) Προβλήθηκε 392 φορές

Από σημείο

του πρώτου τεταρτημορίου , της καμπύλης με εξίσωση $f(x)=e^{x^2}$ , φέρουμε εφαπτομένη

και κάθετη στον x'x

, σχηματίζοντας το ορθογώνιο τρίγωνο AOS

. Δείξτε ότι το ελάχιστο εμβαδόν αυτού

του τριγώνου επιτυγχάνεται , όταν πράγματι η εφαπτομένη διέρχεται από την αρχή των αξόνων .

#2

Έστω $\displaystyle A\left( {a,\;{e^{{a^2}}}} \right),\;a > 0$ το σημείο.

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = {e^{{x^2}}}$ είναι παραγωγίσιμη με $\displaystyle f'\left( x \right) = 2x{e^{{x^2}}}$ .

Η εξίσωση της εφαπτομένης της C_f

στο

είναι $\displaystyle y - {e^{{a^2}}} = 2a{e^{{a^2}}}\left( {x - a} \right)$ .

Τέμνει τον x΄x

στο $\displaystyle B\left( {\frac{{2{a^2} - 1}}{{2a}},\;0} \right)$ . Έστω S(a, 0)

η προβολή του

στον

.

Οπότε $\displaystyle \left( {OAS} \right) = \frac{{{e^{{a^2}}} \cdot \left| {a - \frac{{2{a^2} - 1}}{{2a}}} \right|}}{2} = \frac{{{e^{{a^2}}}}}{{4a}}$ .

Η συνάρτηση $\displaystyle g\left( x \right) = \frac{{{e^{{x^2}}}}}{{4x}},\;x > 0$ έχει παράγωγο $\displaystyle g\left( x \right) = \frac{{4\left( {2{x^2} - 1} \right){e^{{x^2}}}}}{{4x}},\;x > 0$ , που παρουσιάζει ελάχιστο όταν $\displaystyle x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ .

Για την τιμή αυτή είναι $\displaystyle B\left( {0,0} \right)$ .

Ελάχιστο εμβαδόν

Ελάχιστο εμβαδόν

Re: Ελάχιστο εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση