SEEMOUS 2019/4
Συντονιστής: Demetres
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: SEEMOUS 2019/4
(α) Κάνουμε παράγοντες, οπότε:
(β) Από το (α) έχουμε ότι: . Άρα:
αφού:
Ελπίζω να τα λέω σωστά, διότι γράφω υπό πίεση.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: SEEMOUS 2019/4
Αρκεί βέβαια να εξηγηθεί γιατί επιτρέπεται η εναλλαγή σειρών και ολοκληρωμάτων καθώς και πως υπολογίστηκε το
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: SEEMOUS 2019/4
Φαντάζομαι το (α) μπήκε για να βοηθήσει για το (β). Υπάρχει όμως και πιο απλός τρόπος για το (β).
Έχουμε:
Αυτό ισχύει διότι ο όρος εμφανίζεται φορές στο αριστερό μέρος αν και φορές αν . Δεν υπάρχει θέμα εναλλαγής σειρών διότι μετακινήσαμε πεπερασμένο πλήθος όρων.
Από το test του Leibniz το συγκλίνει σε κάποιο αριθμό για τον οποίο . Άρα ενώ είναι γνωστό (και απλό) ότι
Έχουμε:
Αυτό ισχύει διότι ο όρος εμφανίζεται φορές στο αριστερό μέρος αν και φορές αν . Δεν υπάρχει θέμα εναλλαγής σειρών διότι μετακινήσαμε πεπερασμένο πλήθος όρων.
Από το test του Leibniz το συγκλίνει σε κάποιο αριθμό για τον οποίο . Άρα ενώ είναι γνωστό (και απλό) ότι
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: SEEMOUS 2019/4
Ο υπολογισμός του ολοκληρώματος είναι εύκολος, μία φορά παράγοντες. Για έχουμε:
Άρα:
διότι ( ως γνωστόν ) .
Όσο για την εναλλαγή του ολοκληρώματος με τις σειρές, αφήνεται στον αναγνώστη.
Άρα:
διότι ( ως γνωστόν ) .
Όσο για την εναλλαγή του ολοκληρώματος με τις σειρές, αφήνεται στον αναγνώστη.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: SEEMOUS 2019/4
Δε ξέρω αν λέω τα ίδια με το Δημήτρη , αλλά το γνωστό τρικάκι δουλεύει. Εφόσον η σειρά είναι απόλυτα συγκλίνουσα έχουμε:
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: SEEMOUS 2019/4
Τα ίδια λες. Μόνο που η διπλή σειρά δεν είναι απόλυτα συγκλίνουσα οπότε χρειάζεται κάποια περισσότερη προσοχή. Γι' αυτό και τα επιπλέον σχόλια στη λύση μου.Tolaso J Kos έγραψε: ↑Τρί Μαρ 19, 2019 10:37 pmΔε ξέρω αν λέω τα ίδια με το Δημήτρη , αλλά το γνωστό τρικάκι δουλεύει. Εφόσον η σειρά είναι απόλυτα συγκλίνουσα έχουμε:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: SEEMOUS 2019/4
Ας δούμε και την δικαιολόγηση της εναλλαγής των σειρών με τα ολοκληρώματα. Θα δείξω μόνο την πρώτη αφού και η δεύτερη είναι ίδια.
Θέτουμε
Επίσης, με την να είναι ολοκληρώσιμη στο .
Άρα:
από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης.
Re: SEEMOUS 2019/4
Καλησπέρα σας!
Στο άρθρο Olimpiada de Matematica a Studentilor din Sud-Estul Europei, SEEMOUS 2019, σελ. 18-26 , υπάρχουν εναλλλακτικές λύσεις και ενδιαφέρουσες πληροφορίες.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Στο άρθρο Olimpiada de Matematica a Studentilor din Sud-Estul Europei, SEEMOUS 2019, σελ. 18-26 , υπάρχουν εναλλλακτικές λύσεις και ενδιαφέρουσες πληροφορίες.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες