Από Βιετνάμ.

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1224
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Από Βιετνάμ.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Μαρ 17, 2019 8:07 am

4.png
4.png (9.54 KiB) Προβλήθηκε 1003 φορές


Καλημέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το ABCD είναι τετράγωνο και το ADE ισόπλευρο τρίγωνο.

Δείξτε ότι ο έγκυκλος του τετραγώνου διέρχεται από το μέσο M του τμήματος EC.



Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2008
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Από Βιετνάμ.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Κυρ Μαρ 17, 2019 9:54 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Κυρ Μαρ 17, 2019 8:07 am
4.png



Καλημέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το ABCD είναι τετράγωνο και το ADE ισόπλευρο τρίγωνο.

Δείξτε ότι ο έγκυκλος του τετραγώνου διέρχεται από το μέσο M του τμήματος EC.

Καλημέρα

Το τρίγωνο

ADC είναι ισοσκελές με

ED=DC,\hat{DEC}=\hat{DCE}=15^{0},EC^{2}=2a^{2}+2a^{2} \dfrac{\sqrt{3}}{2}

    \Leftrightarrow EC=a\sqrt{2+\sqrt{3}}


Από το αντίστροφο θεώρημα διαμέσου στο τρίγωνο OEC,OE^{2}+OC^{2}=2OM^{2}+\dfrac{EC^{2}}{2} ισχυει εφόσον είναι OC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2},OM=\dfrac{a}{2},OE=\dfrac{a+a\sqrt{3}}{2}





Γιάννης
Συνημμένα
Από Βιετνάμ.png
Από Βιετνάμ.png (104.3 KiB) Προβλήθηκε 986 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7795
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Από Βιετνάμ.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Μαρ 17, 2019 10:40 am

Απο Βιετνάμ.png
Απο Βιετνάμ.png (22.17 KiB) Προβλήθηκε 973 φορές

Το κέντρο O του κύκλου είναι το μέσο της διαγωνίου AC. Η EC τέμνει σε δύο σημεία M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N τον κύκλο . Είναι: EA = 2OM = 2ON = 2R.

Το N, πιο κοντά στο C, δεχόμαστε ότι δεν είναι μέσο του EC. Αν τώρα M' είναι το μέσο του EC

τότε 2OM'// = EA \Rightarrow OM' = OM = ON = R. Δηλαδή ο κύκλος έχει τρία διαφορετικά σημεία με την EC , άτοπο .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10177
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Από Βιετνάμ.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μαρ 17, 2019 10:49 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Κυρ Μαρ 17, 2019 8:07 am
4.png



Καλημέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το ABCD είναι τετράγωνο και το ADE ισόπλευρο τρίγωνο.

Δείξτε ότι ο έγκυκλος του τετραγώνου διέρχεται από το μέσο M του τμήματος EC.
Καλημέρα!

Πειράζω λίγο την εκφώνηση. Ορίζω το M μέσο του EC και θα δείξω ότι ανήκει στον έγκυκλο του τετραγώνου.
Βιετνάμ.png
Βιετνάμ.png (15.92 KiB) Προβλήθηκε 966 φορές
\displaystyle DM \bot EC, το EDMP είναι εγγράψιμο και DM=MP, \displaystyle QM = \frac{{EC}}{2} = MC. Εξάλλου, DC=PQ=a.

Άρα, τα τρίγωνα MDC, MPQ είναι ίσα και P\widehat MQ=90^\circ, που σημαίνει ότι το M είναι σημείο του κύκλου διαμέτρου PQ και αποδεικνύει το ζητούμενο.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7795
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Από Βιετνάμ.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Μαρ 17, 2019 10:59 am

Αντιπαράδειγμα στην_Από Βιετνάμ.png
Αντιπαράδειγμα στην_Από Βιετνάμ.png (20.49 KiB) Προβλήθηκε 962 φορές
Δεν είναι αναγκαίο τα κατασκευάσουμε ισόπλευρο τρίγωνο . Αρκεί να είναι το EA ίσο με την πλευρά του τετραγώνου .


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4089
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Από Βιετνάμ.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Μαρ 17, 2019 11:59 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Κυρ Μαρ 17, 2019 8:07 am
4.png



Καλημέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το ABCD είναι τετράγωνο και το ADE ισόπλευρο τρίγωνο.

Δείξτε ότι ο έγκυκλος του τετραγώνου διέρχεται από το μέσο M του τμήματος EC.
Ο έγκυκλος του τετραγώνου είναι (από τις επαφές) ο ομοιόθετος του \left( A,AD \right) με κέντρο ομοιοθεσίας το C και λόγο (το λόγο των ακτινών τους) \dfrac{1}{2} και το ζητούμενο έπεται


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες