Διέρχεται από το μέσο της χορδής
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Διέρχεται από το μέσο της χορδής
τα εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου Αν οι τέμνουν τον κύκλο στα
να δείξετε ότι η διέρχεται από το μέσο της χορδής
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Διέρχεται από το μέσο της χορδής
Ωραίο πρόβλημα Γιώργοgeorge visvikis έγραψε: ↑Πέμ Μαρ 14, 2019 6:24 pmΔιέρχεται από το μέσο της χορδής.png
Δύο κύκλοι τέμνονται στα σημεία Από σημείο στην προέκταση του φέρνουμε
τα εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου Αν οι τέμνουν τον κύκλο στα
να δείξετε ότι η διέρχεται από το μέσο της χορδής
Θα το αφήσω για σήμερα να το δουν και άλλοι και θα επανέλθω αύριο με μια εύκολη (σχεδόν στοιχειώδη λύση)
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Re: Διέρχεται από το μέσο της χορδής
Καλησπέρα.
Μια όχι στοιχειώδης λύση.
Έστω το σημείο τομής της με τον και το σημείο τομής των .Το τετράπλευρο είναι αρμονικό αφού οι εφαπτομένες στα τέμνονται πάνω στη διαγώνιο .Επομένως η δέσμη είναι αρμονική,οπότε τα σημεία είναι συζυγή αρμονικά των .Έπεται ότι η δέσμη είναι αρμονική.Όμως,όπως εύκολα μπορούμε να δούμε (είναι και άσκηση στο σχολικό βιβλίο της Α' Λυκείου) ισχύει οπότε,από γνωστό θεώρημα,το είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος .
Μια όχι στοιχειώδης λύση.
Έστω το σημείο τομής της με τον και το σημείο τομής των .Το τετράπλευρο είναι αρμονικό αφού οι εφαπτομένες στα τέμνονται πάνω στη διαγώνιο .Επομένως η δέσμη είναι αρμονική,οπότε τα σημεία είναι συζυγή αρμονικά των .Έπεται ότι η δέσμη είναι αρμονική.Όμως,όπως εύκολα μπορούμε να δούμε (είναι και άσκηση στο σχολικό βιβλίο της Α' Λυκείου) ισχύει οπότε,από γνωστό θεώρημα,το είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος .
Γιώργος Γαβριλόπουλος
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Διέρχεται από το μέσο της χορδής
Διαφορετικά ...george visvikis έγραψε: ↑Πέμ Μαρ 14, 2019 6:24 pmΔιέρχεται από το μέσο της χορδής.png
Δύο κύκλοι τέμνονται στα σημεία Από σημείο στην προέκταση του φέρνουμε
τα εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου Αν οι τέμνουν τον κύκλο στα
να δείξετε ότι η διέρχεται από το μέσο της χορδής
Αν είναι το μέσο της τότε η συμμετροδιάμεσος του (γνωστή πρόταση). Από εγγράψιμα τετράπλευρα προκύπτει εύκολα (γωνιακά η ομοιότητα των τριγώνων και με ομόλογες (λόγω της ισότητας των γωνιών αντίστοιχα ) τις και με τη διάμεσο του θα είναι και διάμεσος του και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Re: Διέρχεται από το μέσο της χορδής
Έστω ότι η τέμνει το κύκλο στο . Η πολική του , στον κύκλο , τέμνει την στο και την ευθεία της διακέντρου στο .
Τότε η πολική του θα είναι η και συνεπώς στο η είναι συμμετροδιάμεσος
οπότε θα διέρχεται από το μέσο της που είναι αντιπαράλληλης της .
Αλλά η άρα το μέσο της .
Η παραλληλία των προκύπτει με απλό κυνήγι γωνιών:
Τότε η πολική του θα είναι η και συνεπώς στο η είναι συμμετροδιάμεσος
οπότε θα διέρχεται από το μέσο της που είναι αντιπαράλληλης της .
Αλλά η άρα το μέσο της .
Η παραλληλία των προκύπτει με απλό κυνήγι γωνιών:
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες