Ομοκυκλικότητες

[Al.Koutsouridis]

Δίνεται τρίγωνο για το οποίο υπάρχουν σημεία και των πλευρών και αντίστοιχα, ώστε . Έστω το σημείο τομής των τμημάτων και και το δεύτερο σημείο τομής των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων και . Να αποδείξετε, ότι το σημείο , τα μέσα των τμημάτων και το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου , είναι ομοκυκλικά.

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Δίνεται τρίγωνο για το οποίο υπάρχουν σημεία και των πλευρών και αντίστοιχα, ώστε . Έστω το σημείο τομής των τμημάτων και και το δεύτερο σημείο τομής των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων και . Να αποδείξετε, ότι το σημείο , τα μέσα των τμημάτων και το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου , είναι ομοκυκλικά.

Μου άρεσε πολύ αυτή η πρόταση Αλέξανδρε! . Έχω βρει μια ("όμορφη") λύση με στοιχειώδη μέσα. Θα την αφήσω (επειδή είναι σχετικά "φρέσκια") να την δουν και άλλοι φίλοι και συνάδελφοι και θα επανέλθω αύριο το βραδάκι αν δεν απαντηθεί ή αν η απάντηση είναι διαφορετική από τη δική μου

Στάθης

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Έστω και τα μέσα των και αντίστοιχα.

Θα δείξουμε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά ( είναι το έγκεντρο).

Αφού , ισχύει ότι .

Άρα υπάρχει σημείο στην , ώστε και .

Από τα ισοσκελή τρίγωνα και , έχουμε πως οι διχοτόμοι και είναι και μεσοκάθετοι των και αντίστοιχα.

Άρα το είναι το περίκεντρο του τριγώνου , δηλαδή ανήκει και στην μεσοκάθετο του .

Αφού το ανήκει και στην διχοτόμο της , ανήκει και στον περιγεγραμμένο κύκλο του (θεώρημα νότιου πόλου).

Θα δείξουμε τώρα ότι τα είναι ομοκυκλικά.

Παρατηρούμε ότι το αποτελεί το σημείο του πλήρους τετραπλεύρου , άρα από αυτό διέρχονται οι κύκλοι και .

Έχουμε λοιπόν ότι και .

Συνεπώς τα τρίγωνα και είναι όμοια, οπότε τα τρίγωνα που σχηματίζονται από τις διαμέσους τους είναι επίσης όμοια.

Με άλλα λόγια τα τρίγωνα και είναι όμοια, δηλαδή , οπότε πράγματι το είναι εγγράψιμο.

Επομένως τα είναι συνευθειακά.

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Έστω και τα μέσα των και αντίστοιχα.

Θα δείξουμε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά ( είναι το έγκεντρο).

Αφού , ισχύει ότι .

Άρα υπάρχει σημείο στην , ώστε και .

Από τα ισοσκελή τρίγωνα και , έχουμε πως οι διχοτόμοι και είναι και μεσοκάθετοι των και αντίστοιχα.

Άρα το είναι το περίκεντρο του τριγώνου , δηλαδή ανήκει και στην μεσοκάθετο του .

Αφού το ανήκει και στην διχοτόμο της , ανήκει και στον περιγεγραμμένο κύκλο του (θεώρημα νότιου πόλου).

Θα δείξουμε τώρα ότι τα είναι ομοκυκλικά.

Παρατηρούμε ότι το αποτελεί το σημείο του πλήρους τετραπλεύρου , άρα από αυτό διέρχονται οι κύκλοι και .

Έχουμε λοιπόν ότι και .

Συνεπώς τα τρίγωνα και είναι όμοια, οπότε τα τρίγωνα που σχηματίζονται από τις διαμέσους τους είναι επίσης όμοια.

Με άλλα λόγια τα τρίγωνα και είναι όμοια, δηλαδή , οπότε πράγματι το είναι εγγράψιμο.

Επομένως τα είναι συνευθειακά.

Η λύση μου ελάχιστα διαφέρει από του Διονύση και ίσως θα είναι περιττό να γραφεί. Μπράβο μεγάλε Διονύση!

Στάθης

[Al.Koutsouridis]

Το πρόβλημα το κατασκεύασα (όχι ότι έκανα και πολλά) βασιζόμενως ακριβώς σε αυτά που περιγράφει ο Διονύσης στην λύση του. Αφορμή ήταν το θέμα 8 εδώ, κεντρική ιδέα το σημείο Miquel και η βοήθεια του λήμματος εδώ.