Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης

KARKAR · #1

: Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης.png (8.09 KiB) Προβλήθηκε 1363 φορές

Στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , πάνω σε ευθεία διερχόμενη από το

και παράλληλη προς την υποτείνουσα

, θεωρούμε σημείο

, ώστε :

.

Υπολογίστε το τμήμα

, συναρτήσει της πλευράς AB=a

και της $\tan\theta$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 28, 2019 8:45 pm
Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης.pngΣτο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , πάνω σε ευθεία διερχόμενη από το

και παράλληλη προς την υποτείνουσα , θεωρούμε σημείο , ώστε : .

Υπολογίστε το τμήμα , συναρτήσει της πλευράς και της $\tan\theta$

Γράφω μια σύντομη λύση με "δημιουργική ασάφεια"

$\dfrac{{AS}}{{\sin \theta }} = \dfrac{{SC}}{{\sin {{135}^0}}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}} = 2a \Rightarrow$ $AS = 2a\sin \theta = 2a\dfrac{{\tan \theta }}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\theta } }}$

KARKAR · #3

Χμ ... Με ευθύνη του θεματοδότη το ζητούμενο , που είναι το μήκος του τμήματος ,

παραπέμφθηκε στις ... καλένδες . Να βρεθεί , λοιπόν , το μήκος του

.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 28, 2019 9:47 pm
Χμ ... Με ευθύνη του θεματοδότη το ζητούμενο , που είναι το μήκος του τμήματος ,

παραπέμφθηκε στις ... καλένδες . Να βρεθεί , λοιπόν , το μήκος του .

Το πιο σωστό ζητούμενο Θανάση νομίζω ότι είναι : Να δειχθεί ότι $\theta = {15^0}$ (που είναι "παιδικό"

)

KARKAR · #5

Κι όμως Στάθη , ο στόχος είναι να βρεθεί το μήκος του τμήματος , στην απλούστερη δυνατή μορφή .

Όταν βρεθεί ( με "σκληρή" αριθμητική ) , ίσως εξηγηθεί και το "ολίσθημα " του θεματοδότη ...

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 01, 2019 6:42 am
Κι όμως Στάθη , ο στόχος είναι να βρεθεί το μήκος του τμήματος , στην απλούστερη δυνατή μορφή .

Όταν βρεθεί ( με "σκληρή" αριθμητική ) , ίσως εξηγηθεί και το "ολίσθημα " του θεματοδότη ...

Συνεχίζοντας τη "δημιουργική ασάφεια" ... $AS = a\sqrt 2 \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{a}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{a\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}$

(προσέξτε τη ΔΙΑΦΟΡΑ)

#7

Μήπως ζητάς αυτό Θανάση;

: f(a, tanθ).png (12.24 KiB) Προβλήθηκε 1293 φορές

$\displaystyle A{S^2} = AD \cdot AB = {a^2}\tan \theta \Leftrightarrow$ $\boxed{AS = a\sqrt {\tan \theta } }$

KARKAR · #8

...και επειδή $\theta=15^0$ είναι τελικά : $AS=a\sqrt{2-\sqrt{3}}$ .

Χρησιμοποιήθηκαν οι ( αναπόδεικτες ) πληροφορίες των δύο φερέλπιδων λυτών

#9

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 01, 2019 12:39 pm
...και επειδή $\theta=15^0$ είναι τελικά : $AS=a\sqrt{2-\sqrt{3}}$ .

Χρησιμοποιήθηκαν οι ( αναπόδεικτες ) πληροφορίες των δύο φερέλπιδων λυτών

Ας αποδείξουμε λοιπόν ότι $\theta=15^\circ$ (που δικαιολογεί τις γωνίες των $30^\circ$ στο προηγούμενο σχήμα μου).

: f(a, tanθ).β.png (13.8 KiB) Προβλήθηκε 1256 φορές

Κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο BCE

και εύκολα τα τρίγωνα CAE, BAE

προκύπτουν ίσα και $\displaystyle E\widehat CA = E\widehat BA = 15^\circ.$

Τα αμβλυγώνια τρίγωνα CAE, CAS

έχουν

την

κοινή και $\displaystyle C\widehat AE = C\widehat AS = 135^\circ$ οπότε $\boxed{\theta=15^\circ}$

#10

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 28, 2019 8:45 pm
Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης.pngΣτο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , πάνω σε ευθεία διερχόμενη από το

και παράλληλη προς την υποτείνουσα , θεωρούμε σημείο , ώστε : .

Υπολογίστε το τμήμα , συναρτήσει της πλευράς και της $\tan\theta$

Αν

οι ορθές προβολές των S,A

αντίστοιχα επί της

, τότε $SS'\mathop = \limits^{SA\parallel BC} AA' = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{SC}}{2} \Rightarrow$ $\angle SCB = {30^0} \Rightarrow \angle \theta = {15^0}$

#11

: συναρτήσει πλευράς κι εφαπτομένης.png (22.38 KiB) Προβλήθηκε 1206 φορές

Ας είναι $CB = CS = R \Rightarrow \boxed{R = a\sqrt 2 }$ . Γράφω το κύκλο (C,R)

που τέμνει την

στο

. Ας είναι δε

το σημείο τομής των $SA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD$ .

Η

είναι μεσοκάθετη στο

, οπότε

και άρα το $\vartriangle CDS$ είναι ισόπλευρο . Αβίαστα τώρα προκύπτουν:

$\left\{ \begin{gathered} \widehat \theta = 60^\circ - 45^\circ = 15^\circ \hfill \\ x = AS = SM - AM = \frac{{R\sqrt 3 }}{2} - \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = a\frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και αφού $\boxed{\sqrt {\tan 15^\circ } = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2}}$

θα έχω : $\boxed{x = a\sqrt {\tan \theta } }$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #12

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 28, 2019 8:45 pm
Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης.pngΣτο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , πάνω σε ευθεία διερχόμενη από το

και παράλληλη προς την υποτείνουσα , θεωρούμε σημείο , ώστε : .

Υπολογίστε το τμήμα , συναρτήσει της πλευράς και της $\tan\theta$

Θεωρούμε τους ίσους κύκλους διαμέτρων $\displaystyle CB,CS$ οπότε $\displaystyle AL = NS = AN = x$ .

Με $\displaystyle K$ μέσον της $\displaystyle BC$ είναι $\displaystyle AS \bot AK \Rightarrow SA$ εφαπτόμενη του $\displaystyle \left( {K,KA} \right)$ άρα $\displaystyle A{S^2} = SM \cdot 2SM \Rightarrow 2{x^2} = 2S{M^2} \Rightarrow x = SM$

Έτσι, $\displaystyle CS$ διχοτόμος της $\displaystyle \angle NCM \Rightarrow \angle SCM = \angle MCB = \theta$ και $\displaystyle 3\theta = {45^0} \Rightarrow \boxed{\theta = {{15}^0}}$

Με Π.Θ στο $\displaystyle \vartriangle CNS \Rightarrow {\left( {a + x} \right)^2} + {x^2} = 2{a^2} \Rightarrow 2{x^2}\left( {x + a} \right) = x{a^2} \Rightarrow A{S^2} = a^2\tan \theta \Rightarrow \boxed{AS = a\sqrt {\tan \theta } }$

: συναρτήσει πλευράς-εφαπτόμενης.png (26.14 KiB) Προβλήθηκε 1166 φορές

Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης

Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης

Re: Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης

Re: Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης

Re: Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης

Re: Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης

Re: Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης

Re: Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης

Re: Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης

Re: Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης

Re: Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης

Re: Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης

Re: Συναρτήσει πλευράς και εφαπτομένης

Μέλη σε σύνδεση