Σειρά με min

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3908
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Σειρά με min

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Φεβ 27, 2019 2:54 pm

Να υπολογιστεί η σειρά:

\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\min \left \{ m,n \right \}}{3^{m+n}}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
TakasiMike
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Δευ Φεβ 18, 2019 7:22 pm

Re: Σειρά με min

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TakasiMike » Τετ Φεβ 27, 2019 8:29 pm

Δεύτερη προσπάθεια, ελπίζω να μην έχει γίνει λάθος.

Σταθεροποιώντας έναν τυχαίο φυσικό αριθμό n τότε αθροίζοντας πάνω στο m παίρνουμε :

\displaystyle \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{\min(m,n)}{3^{m+n}} = \sum_{m=1}^{n} \frac{m}{3^{n+m}} + \sum_{m=n+1}^{+\infty} \frac{n}{3^{m+n}}

Δουλεύουμε πρώτα το πρώτο πεπερασμένο άθροισμα  \displaystyle  \sum_{m=1}^{n} \frac{m}{3^{n+m}} ως εξής :

Για n = 1 : \displaystyle \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{\min(m,n)}{3^{m+n}} = \frac{1}{3^2}
Για n = 2 : \displaystyle \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{\min(m,n)}{3^{m+n}} = \frac{1}{3^3} + \frac{2}{3^4}
Για n = 3 : \displaystyle \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{\min(m,n)}{3^{m+n}} = \frac{1}{3^4} + \frac{2}{3^5} + \frac{3}{3^6} κ.ο.κ.

Ελέγχοντας μερικές τιμές του n ακόμα παρατηρούμε ότι οι όροι \frac{1}{3^{2n}} και \frac{1}{3^{2n+1}} θα εμφανίζονται στο τελικό άθροισμα \frac{n(n+1)}{2} φορές. Aθροίζοντας τελικά πάνω στους δείκτες m και n θα πάρουμε το άθροισμα:

\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k(k+1)}{2}( \frac{1}{3^{2n}} + \frac{1}{3^{2n+1}}) = \frac{2}{3} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k(k+1)}{9^k} . Στην τελευταία ισότητα βγήκε ο όρος \frac{1}{3^{2n}} κοινός παράγοντας και όλοι οι σταθεροί όροι βγήκαν έγω από το άθροισμα.

Για το τελευταίο άθροισμα παρατηρούμε ότι:

Για  -1< x <1 :  \displaystyle \frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^{+\infty} x^k \Rightarrow \frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{k=0}^{+\infty} k x^{k-1} \Rightarrow \frac{2}{(1-x)^3} = \sum_{k=0}^{+\infty} k(k-1) x^{k-2}

Με βάση το τελευταίο, έχουμε :

 \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{k(k+1)}{9^k} = \frac{1}{9} \frac{2}{(1-\frac{1}{9})^3} = \frac{81}{256}

Άρα : \displaystyle \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{\min(m,n)}{3^{m+n}} = \frac{2}{3} \frac{81}{256} = \frac{27}{128}

Για το δεύτερο άπειρο άθροισμα έχουμε ότι :


 \displaystyle  \sum_{m=n+1}^{+\infty} \frac{n}{3^{m+n}} = \frac{n}{3^n} \sum_{m=n+1}^{+\infty} \frac{1}{3^m} = \frac{n}{3^n} \left[ \frac{1}{3^{n+1}} + \frac{1}{3^{n+2}} + ... \right]  = \frac{n}{3^{2n}} \left[ \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + ... \right] = \frac{1}{2} \frac{n}{3^{2n}}

Τελικά παίρνοντας το άρθροισμα πάνω στο n και χρησιμοποιώντας τους ίδιους τύπους γεωμετρικών σειρών προκύπτει :

\displaystyle \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{+\infty} n \left(\frac{1}{9}\right)^n = \frac{9}{128}

Άρα το άρχικο άθροισμα ισούται με \displaystyle \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{\min(m,n)}{3^{m+n}} = \frac{27}{128} + \frac{9}{128} = \frac{9}{32}
τελευταία επεξεργασία από TakasiMike σε Πέμ Φεβ 28, 2019 1:09 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11230
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σειρά με min

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Φεβ 27, 2019 10:47 pm

TakasiMike έγραψε:
Τετ Φεβ 27, 2019 8:29 pm
Σταθεροποιώντας έναν τυχαίο φυσικό αριθμό n τότε αθροίζοντας πάνω στο m παίρνουμε :

\displaystyle \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{\min(m,n)}{3^{m+n}} = \sum_{m=1}^{n} \frac{m}{3^{n+m}}
Για ξαναδές το αυτό.


TakasiMike
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Δευ Φεβ 18, 2019 7:22 pm

Re: Σειρά με min

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TakasiMike » Πέμ Φεβ 28, 2019 12:30 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Φεβ 27, 2019 10:47 pm
TakasiMike έγραψε:
Τετ Φεβ 27, 2019 8:29 pm
Σταθεροποιώντας έναν τυχαίο φυσικό αριθμό n τότε αθροίζοντας πάνω στο m παίρνουμε :

\displaystyle \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{\min(m,n)}{3^{m+n}} = \sum_{m=1}^{n} \frac{m}{3^{n+m}}
Για ξαναδές το αυτό.
Έχετε δίκιο, έγινε σοβαρό λάθος λόγω βιασύνης, θα το ξαναπροσπαθήσω.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες