Δύναμη επί τετραγωνικής κανονικής πυραμίδας

ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΠΑΦΑΣ · #1

Τετραγωνική κανονική πυραμίδα υλοποιείται στο χώρο από 8 ράβδους - ακμές. Τα 4 ίσα ισοσκελή τρίγωνα της παράπλευρης επιφάνειας έχουν γωνίες παρά την κορυφή της πυραμίδας φ. Η πυραμίδα τοποθετείται επί οριζοντίου δαπέδου και επί της κορυφής της ασκείται κατακόρυφη δύναμη F. Ζητείται για ποιά γωνία φ οι επι των 4 παρά την κορυφή ακμών της πυραμίδας ίσες κατα μέτρον δυνάμεις στις οποίες αναλύεται η F θα ισούνται κατά μέτρον και με την F.

#2

ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΠΑΦΑΣ έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 22, 2019 11:51 am
Τετραγωνική κανονική πυραμίδα υλοποιείται στο χώρο από 8 ράβδους - ακμές. Τα 4 ίσα ισοσκελή τρίγωνα της παράπλευρης επιφάνειας έχουν γωνίες παρά την κορυφή της πυραμίδας φ. Η πυραμίδα τοποθετείται επί οριζοντίου δαπέδου και επί της κορυφής της ασκείται κατακόρυφη δύναμη F. Ζητείται για ποιά γωνία φ οι επι των 4 παρά την κορυφή ακμών της πυραμίδας ίσες κατα μέτρον δυνάμεις στις οποίες αναλύεται η F θα ισούνται κατά μέτρον και με την F.

Κύριε Γιώργο καλησπέρα από Γρεβενά...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Πυραμίδα και δυνάμεις 1.png (34.68 KiB) Προβλήθηκε 1209 φορές

Χωρίς να χάνουμε τη γενικότητα, θεωρούμε ότι το μέτρο της δύναμης που ασκείται κατακόρυφα και με σημείο εφαρμογής την

κορυφή $\displaystyle{M}$ της πυραμίδας αυτής είναι ίσο με το μέτρο του ύψους $\displaystyle{v=MO}$ της πυραμίδας αυτής.

Έστω ακόμα ότι η πλευρά του τετραγώνου της βάσης έχει μήκος ίσο με $\displaystyle{a}$ .

Αν αναλύσουμε τη δύναμη αυτή σε δυο συνιστώσες τις $\displaystyle{\overrightarrow{MH}, \ \ \overrightarrow{MH_1}}$

τότε εύκολα δείχνεται από το παραλληλόγραμμο $\displaystyle{MHOH_1}$ ότι το σημείο $\displaystyle{H}$ είναι το μέσον του παράπλευρου ύψους

της πυραμίδας, δηλαδή του $\displaystyle{ME}$ .

Όμοια αν αναλύσω τις δυο αυτές συνιστώσες, έστω την $\displaystyle{\overrightarrow{MH}}$ σε δυο άλλες, τις $\displaystyle{\overrightarrow{MT_1}, \ \ \overrightarrow{MT_2}}$ εύκολα δείχνεται ότι

το σημείο $\displaystyle{T_1}$ είναι το μέσον του τμήματος $\displaystyle{ MS}$ , όπου $\displaystyle{S}$ μέσον της ακμής $\displaystyle{MA}$ .

Όμως:

$\displaystyle{ME^2=v^2+\frac{a^2}{4} \Rightarrow ME=\frac{1}{2} \sqrt{a^2+4v^2} \Rightarrow MH=\frac{1}{4}\sqrt{a^2+4v^2} \ \ (1)}$

Ακόμα είναι:

$\displaystyle{MT_1=\frac{1}{4}MA=\frac{1}{4}\sqrt{ME^2+\frac{a^2}{4}} \overset{(1)}{=}\frac{1}{4} \sqrt{v^2+\frac{a^2}{2}} \ \ (2)}$

Όμως εμείς ζητούμε:

$\displaystyle{MT_1=v \ \ (3)}$

Η (3) με τη βοήθεια της (2) και μετά από πράξεις δίνει:

$\displaystyle{a=v\sqrt{30} \ \ (4)}$ .

Όμως:

$\displaystyle{tan\phi=\frac{v}{\frac{a}{2}}=...=\frac{\sqrt{30}}{15} \ \ (5)}$

Η τριγωνομετρική εξίσωση (5) δίνει με τη βοήθεια πινάκων ή λογισμικού ότι:

$\displaystyle{\phi \simeq 20, 05758^o}$

Κώστας Δόρτσιος

ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΠΑΦΑΣ · #3

Aγαπητέ Κε KDORTSI
Καλό μεσημέρι
Σας ευχαριστώ πολύ για την άμεση ανταπόκριση.
Για να είμαι ειλικρινής δεν περίμενα καμμία απάντηση από κανέναν διότι το σύστημα απαγόρευσε τη δημοσίευση αυτή σε τόσο μικρή χρονική απόσταση από την προηγούμενη. Φαίνεται όμως ότι μετά το μετάνιωσε!
Τώρα επι του προλήματος
Μολονότι ζητείται η γωνία ΒΜΑ από την περιγραφή (Αν έχω κάνει σφάλμα στη διατύπωση του προβλήματος παρακαλώ διορθώστε με) η λύση σας θεωρώ ότι είναι σωστή καθόσον συμφωνεί με τη δική μου κατα την οποία η ΒΜΑ = ~86,45 μοίρες. Ομολογώ ότι δεν έλεγξα λεπτομερώς τις πράξεις σας, κυρίως όταν διεπίστωσα ότι λείπει το γραμμα Κ από το σχήμα. Ετσι προχώρησα να ελέγξω αν το αποτέλεσμα συμφωνεί με τη δική μου λύση.
Από τους δικούς μου υπολογισμούς μου προκύπτει ότι :
εφ[(ΒΜΑ)/2]= ημ(ΟΜΕ) = ημ(90-φ)-----> εφ86,45/2=εφ43,225=0,93988 ----->τοξημ0,933988=70.03 μοιρες=90-φ----->άρα φ=~20 μοιρες.
Αρα είναι σωστή η λύση σας
Αν μου στείλετε το email σας μπορώ να σας στείλω 2 δικές μου λύσεις για το πρόβλημα, στο Excel.
Μιά και έχετε πολύ κέφι από ότι διαπιστώνω, σας προτρέπω να ασχοληθείτε και με το πρόβλημα αντιπαγκόσμια έλξη που είχα δημασιεύσει προ καιρού.
Το πρόβλημα αυτό έχει τόσο τη δυσκολία εύρεσης της διάταξης και περιγραφής 2 μαζών ώστε από κάποιο σημείο προσέγγισής τους και μετά η ελκτική δύναμη να μειώνεται αντί να αυξάνεται, και κατόπιν την εύρεση του σημείου από το οποίο αρχίζει να συμβαίνει αυτό το φαινόμενο με τη χρήση ανώτερων μαθηματικών. Ομολογώ ότι δεν βρήκα μόνος μου την περιγραφή των 2 μαζών αλλά αφού μου έγινε γνωστή προχώρησα με ανώτερα μαθηματικά να βρώ από ποίο σημείο και μετά παύει να ισχύει ο νόμος της παγκόσμιας έλξης. Θα σας στείλω και αυτή τη λύση όταν και αν το επιθυμήσετε.
Με εκτίμηση
Γ. Μπάφας
Μηχ/γος & Ηλεκ/γος Μηχανικός Διπλ. ΕΜΠ MSc

#4

ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΠΑΦΑΣ έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 23, 2019 4:09 pm
....Για να είμαι ειλικρινής δεν περίμενα καμμία απάντηση από κανέναν διότι το σύστημα απαγόρευσε τη δημοσίευση αυτή σε τόσο μικρή χρονική απόσταση από την προηγούμενη. Φαίνεται όμως ότι μετά το μετάνιωσε!...

κ. Μπάφα

να σας ενημερώσουμε ότι δεν υπάρχει καμία (χρονική ή άλλη) ρύθμιση στο σύστημα που να απαγορεύει την δημοσίευση θέματος ή απάντησης από τα μέλη του mathematica.gr. Ενδεχομένως να συναντήσατε κάποιο τεχνικό πρόβλημα. Μπορείτε πάντοτε για τεχνικής φύσης προβλήματα να απευθύνεστε (μέσω ηλεκτρονικού ταχυδρομείου ή π.μ.) στους διαχειριστές.

#5

ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΠΑΦΑΣ έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 22, 2019 11:51 am
Τετραγωνική κανονική πυραμίδα υλοποιείται στο χώρο από 8 ράβδους - ακμές. Τα 4 ίσα ισοσκελή τρίγωνα της παράπλευρης επιφάνειας έχουν γωνίες παρά την κορυφή της πυραμίδας φ. Η πυραμίδα τοποθετείται επί οριζοντίου δαπέδου και επί της κορυφής της ασκείται κατακόρυφη δύναμη F. Ζητείται για ποιά γωνία φ οι επι των 4 παρά την κορυφή ακμών της πυραμίδας ίσες κατα μέτρον δυνάμεις στις οποίες αναλύεται η F θα ισούνται κατά μέτρον και με την F.

Είναι καλύτερα να δει κανείς και πότε αυτές οι συνιστώσες δυνάμεις
είναι μεγαλύτερες ή μικρότερες σε μέτρο από την συνισταμένη
δύναμη $\displaystyle{F}$ .

Για τη διερεύνηση αυτή εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Πυραμίδα και δυνάμεις 3.png (33.3 KiB) Προβλήθηκε 1118 φορές

Από τη σχέση (2) της προηγούμενης μου ανάρτησης έχουμε:

$\displaystyle{MT_1=\frac{1}{4}\sqrt{v^2+\frac{a^2}{2}}}$

Αν τώρα θεωρήσουμε τη συνάρτηση:

$\displaystyle{ f(v)=\frac{MT_1}{v}-1=\frac{1}{4}\sqrt{1+\frac{a^2}{2v^2}}-1 \ \ (1)}$

και μελετήσουμε το πρόσημό της, τότε εύκολα θα διαπιστώσουμε πότε

η $\displaystyle{MT_1}$ είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο του ύψους $\displaystyle{v}$ , δηλαδή,

πότε το μέτρο των συνιστωσών δυνάμεων είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο

από το μέτρο της συνισταμένης δύναμης $\displaystyle{F}$ .

Η μελέτη της συνάρτησης αυτής γίνεται εύκολα και η γραφική της

παράσταση δίνεται από το σχήμα:

: Πυραμίδα και δυνάμεις 2.png (12.06 KiB) Προβλήθηκε 1118 φορές

Από το σχήμα αυτό προκύπτει:

1ο) Αν $\displaystyle{ v<\frac{a}{\sqrt{30}} \Rightarrow f(v)>0 }$ δηλαδή $\displaystyle{MT_1>v}$ που σημαίνει

ότι οι συνιστώσες δυνάμεις έχουν μέτρο μεγαλύτερο από το μέτρο της συνισταμένης αυτών.

2ο) Αν $\displaystyle{ v>\frac{a}{\sqrt{30}} \Rightarrow f(v)<0}$ , δηλαδή $\displaystyle{MT_1<v}$ , που σημαίνει ότι

οι συνιστώσες δυνάμεις έχουν μέτρο μικρότερο της συνισταμένης αυτών.

: Πυραμίδα και δυνάμεις 4.png (31.06 KiB) Προβλήθηκε 1118 φορές

Τα συμπεράσματα αυτά φαίνονται καθαρά στο τρίτο και πρώτο σχήμα αντίστοιχα.

Κώστας Δόρτσιος

Δύναμη επί τετραγωνικής κανονικής πυραμίδας

Δύναμη επί τετραγωνικής κανονικής πυραμίδας

Re: Δύναμη επί τετραγωνικής κανονικής πυραμίδας

Re: Δύναμη επί τετραγωνικής κανονικής πυραμίδας

Re: Δύναμη επί τετραγωνικής κανονικής πυραμίδας

Re: Δύναμη επί τετραγωνικής κανονικής πυραμίδας

Μέλη σε σύνδεση