Κριτήριο καθετότητας

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1257
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Κριτήριο καθετότητας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Φεβ 17, 2019 11:57 pm

Χαιρετώ.Μια προσπάθεια γενίκευσης πρόσφατου θέματος.

Θεωρούμε τρίγωνοABC με \widehat{A}=90^{0} . Στις προεκτάσεις των BA,BC παίρνουμε σημεία D και E αντίστοιχα.

Ι) Αν είναι AD=k \cdot AB και CE=m \cdot  BC τότε : Να εξεταστεί αν ισχύει η ισοδυναμία : AE\perp  CD \Leftrightarrow k=\dfrac{m+1}{m}tan^{2}B
Κριτήριο καθετοτητας.PNG
Κριτήριο καθετοτητας.PNG (7.08 KiB) Προβλήθηκε 846 φορές
ΙΙ) Εφαρμογή: Αν είναι CE=BC τότε: Να εξεταστεί αν ισχύει  AE\perp  CD \Leftrightarrow  AD \cdot AB=2AC^{2}

Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4003
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Κριτήριο καθετότητας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Φεβ 18, 2019 12:29 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Φεβ 17, 2019 11:57 pm
Χαιρετώ.Μια προσπάθεια γενίκευσης πρόσφατου θέματος.

Θεωρούμε τρίγωνοABC με \widehat{A}=90^{0} . Στις προεκτάσεις των BA,BC παίρνουμε σημεία D και E αντίστοιχα.

Ι) Αν είναι AD=k \cdot AB και CE=m \cdot  BC τότε : Να εξεταστεί αν ισχύει η ισοδυναμία : AE\perp  CD \Leftrightarrow k=\dfrac{m+1}{m}tan^{2}B
Κριτήριο καθετοτητας.PNG
ΙΙ) Εφαρμογή: Αν είναι CE=BC τότε: Να εξεταστεί αν ισχύει  AE\perp  CD \Leftrightarrow  AD \cdot AB=2AC^{2}

Ευχαριστώ , Γιώργος.
Είναι προφανής η σχέση και είναι άμεση συνέπεια του περιώνυμου θεωρήματος https://www.cut-the-knot.org/m/Geometry ... tras.shtml


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9221
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κριτήριο καθετότητας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Φεβ 18, 2019 11:34 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Φεβ 17, 2019 11:57 pm
Χαιρετώ.Μια προσπάθεια γενίκευσης πρόσφατου θέματος.

Θεωρούμε τρίγωνοABC με \widehat{A}=90^{0} . Στις προεκτάσεις των BA,BC παίρνουμε σημεία D και E αντίστοιχα.

Ι) Αν είναι AD=k \cdot AB και CE=m \cdot  BC τότε : Να εξεταστεί αν ισχύει η ισοδυναμία : AE\perp  CD \Leftrightarrow k=\dfrac{m+1}{m}tan^{2}B
Κριτήριο καθετοτητας.PNG
ΙΙ) Εφαρμογή: Αν είναι CE=BC τότε: Να εξεταστεί αν ισχύει  AE\perp  CD \Leftrightarrow  AD \cdot AB=2AC^{2}

Ευχαριστώ , Γιώργος.
Φέρνω CH||AE.
Κριτήριο καθετότητας.png
Κριτήριο καθετότητας.png (12.65 KiB) Προβλήθηκε 796 φορές
α) \displaystyle AE \bot CD \Leftrightarrow \frac{{EC}}{{EB}} = \frac{{HA}}{{BA}} \Leftrightarrow \frac{m}{{m + 1}} = \frac{{HA}}{c} \Leftrightarrow \boxed{HA = \frac{{cm}}{{m + 1}}} (1)

Αλλά, \displaystyle \frac{{HA}}{{AD}} = \frac{{CZ}}{{ZD}} \Leftrightarrow \frac{{HA}}{{kc}} = \frac{{{b^2}}}{{{k^2}{c^2}}} \Leftrightarrow HA = \frac{{{b^2}}}{{kc}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} k = \frac{{m + 1}}{m} \cdot \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} \Leftrightarrow \boxed{k=\dfrac{m+1}{m}\tan^{2}B}

β) \displaystyle AD \cdot AB = k{c^2} = \frac{{m + 1}}{m} \cdot {b^2}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{m = 1} \boxed{AD \cdot AB = 2A{C^2}}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1257
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Κριτήριο καθετότητας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Φεβ 24, 2019 12:32 pm

Καλημέρα. Θεωρώ ότι ο πλέον κατάλληλος για να αναφερθεί στη σχέση του παρόντος θέματος με το Stathis Koutras' Theorem
είναι ο ίδιος ο Στάθης ως κτήτωρ του αυτεπώνυμου Θεωρήματος!
Η δική μου προσέγγιση για την απόδειξη του παρόντος είναι ίδια με αυτή του Γιώργου.Ας δούμε συνοπτικά μία ακόμη:

Εκφράζουμε το DE^{2} με δύο τρόπους
Ι) Με το Ν. συνημιτόνων στο τρίγωνο BED έχουμε DE^{2}=BD^{2}+ BE^{2}-2BD\cdot BE\cdot cosB 
και

ΙΙ) Με την συνθήκη καθετότητας AE \perp CD \Leftrightarrow DE^{2}=AD^{2}-AC^{2}+CE^{2} .

Εξισώνοντας τα β' μέλη , θέτοντας BD=(k+1)c..BE=(m+1)a  
και με χρήση της σχέσης \dfrac{1}{cos^{2}B}=\dfrac{a^{2}}{b^{2}}=1+tan^{2}B

φτάνουμε (μετά από πράξεις) στη σχέση  k=\dfrac{m+1}{m}tan^{2}B

Η τελευταία μπορεί να γραφεί  \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{BE}{CE}\cdot \dfrac{AC^{2}}{AB^{2}} \Leftrightarrow AD\cdot AB\cdot CE=BE\cdot AC^{2}

δηλ. ισχύει AE \perp CD\Leftrightarrow AD\cdot AB\cdot CE=BE\cdot AC^{2}

Φιλικά, Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4003
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Κριτήριο καθετότητας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Φεβ 24, 2019 2:27 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Φεβ 17, 2019 11:57 pm
Χαιρετώ.Μια προσπάθεια γενίκευσης πρόσφατου θέματος.

Θεωρούμε τρίγωνοABC με \widehat{A}=90^{0} . Στις προεκτάσεις των BA,BC παίρνουμε σημεία D και E αντίστοιχα.

Ι) Αν είναι AD=k \cdot AB και CE=m \cdot  BC τότε : Να εξεταστεί αν ισχύει η ισοδυναμία[/b] : AE\perp  CD \Leftrightarrow k=\dfrac{m+1}{m}tan^{2}B
Κριτήριο καθετοτητας.PNG
ΙΙ) Εφαρμογή: Αν είναι CE=BC τότε: Να εξεταστεί αν ισχύει[/color][/b]  AE\perp  CD \Leftrightarrow  AD \cdot AB=2AC^{2}

Ευχαριστώ , Γιώργος.
κριτήριο καθετότητας.png
κριτήριο καθετότητας.png (32.32 KiB) Προβλήθηκε 586 φορές
i) Από AE \bot CD σύμφωνα με το https://www.cut-the-knot.org/m/Geometry ... tras.shtml προκύπτει ότι \dfrac{{AB'}}{{AC'}} = \dfrac{{AD}}{{AC}}:\left( 1 \right) με {B}',{C}' τις ορθές προβολές του E στις AC,AD αντίστοιχα

Από AB\parallel EB' \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AB'}} = \dfrac{{BC}}{{BE}} = \dfrac{a}{{a + ma}} = \dfrac{1}{{1 + m}}:\left( 2 \right) και από AC\parallel EC' \Rightarrow \dfrac{{AC'}}{{AB}} = \dfrac{{CE}}{{CB}} = m:\left( 3 \right)

Από \left( 1 \right) \cdot \left( 2 \right) \cdot \left( 3 \right) \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{{AD}}{{AC}} \cdot \dfrac{m}{{m + 1}}\mathop  \Rightarrow \limits^{AD = kc = k \cdot AB} \dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{{k \cdot AB}}{{AC}} \cdot \dfrac{m}{{m + 1}} \Rightarrow k = \dfrac{{m + 1}}{m} \cdot \dfrac{{A{C^2}}}{{A{B^2}}} = \dfrac{{m + 1}}{m} \cdot {\tan ^2}B και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

ii) Για m = 1 \Rightarrow  \ldots


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1257
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Κριτήριο καθετότητας

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Μαρ 02, 2019 11:59 am

Καλημέρα. Σ' ευχαριστώ Στάθη για την προβολή της λύσης.
Νομίζω άξιζε τον κόπο αφού (θεωρώ ότι) έγινε φανερή η σχέση του Θ. Κούτρα με το παρόν σε περισσότερους από εμάς !
Στη συνέχεια - για εμπέδωση - υποβάλλω την αντίστροφη πορεία της λύσης του Στάθη:
Κριτήριο καθετότητας Β.PNG
Κριτήριο καθετότητας Β.PNG (8.81 KiB) Προβλήθηκε 489 φορές
Σχηματίζουμε το ορθογώνιο AZHE. Αν AE \perp CD θα δείξουμε ότι   k=\dfrac{m+1}{m}tan^{2}B.

Είναι k=\dfrac{AD}{AB}...\dfrac{m+1}{m}=\dfrac{BE}{CE} και tan^{2}B=\dfrac{AC}{AB}\cdot \dfrac{EZ}{BZ}. Αρκεί ν.δ.ο \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{BE}{CE}\cdot \dfrac{AC}{AB}\cdot \dfrac{EZ}{BZ}\Leftrightarrow \dfrac{AD}{AC}=\dfrac{BE}{CE}\cdot \dfrac{EZ}{BZ}

Το Θ. Κούτρα μας δίνει \dfrac{EZ}{AZ}=\dfrac{AD}{AC} άρα αρκεί \dfrac{EZ}{AZ}=\dfrac{BE}{CE}\cdot \dfrac{EZ}{BZ}\Leftrightarrow \dfrac{BZ}{AZ}=\dfrac{BE}{CE} που ισχύει αφού EZ \parallel AC

Τέλος , ειδικά στο παρόν θέμα , ας κάνουμε μια επαλήθευση του Θ. Κούτρα :

Η σχέση \dfrac{EZ}{AZ}=\dfrac{AD}{AC} προκύπτει και από την ομοιότητα των τριγώνων ZAE και DAC ή μ' άλλα λόγια \displaystyle{\dfrac{EZ}{AZ}=\varepsilon \varphi \omega =\dfrac{AD}{AC}}.

Φιλικά, Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης