Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2019
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2019
Πρόβλημα 1
Ορίζουμε τις ακολουθίες με ως εξής:
και
και
και
Να αποδείξετε ότι .
Πρόβλημα 2
Να βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς , ώστε ο αριθμός
να είναι πολλαπλάσιο του .
Πρόβλημα 3
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο και το ύψος του (το σημείο είναι το ίχνος του ύψους πάνω στην ). Έστω το σημείο τομής της με την . Θεωρούμε τα μέσα των τμημάτων και , αντίστοιχα. Φέρουμε την ευθεία και ονομάζουμε το σημείο τομής της με την . Αν τα κέντρα των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι .
Πρόβλημα 4
Σε μια τάξη μαθητών δόθηκε ένα διαγώνισμα προβλημάτων. Γνωρίζουμε ότι κάθε πρόβλημα λύθηκε σωστά από τουλάχιστον μαθητές.
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ζεύγος μαθητών, ώστε κάθε πρόβλημα να λύθηκε σωστά από τουλάχιστον ένα μαθητή απ’ αυτούς.
Ορίζουμε τις ακολουθίες με ως εξής:
και
και
και
Να αποδείξετε ότι .
Πρόβλημα 2
Να βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς , ώστε ο αριθμός
να είναι πολλαπλάσιο του .
Πρόβλημα 3
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο και το ύψος του (το σημείο είναι το ίχνος του ύψους πάνω στην ). Έστω το σημείο τομής της με την . Θεωρούμε τα μέσα των τμημάτων και , αντίστοιχα. Φέρουμε την ευθεία και ονομάζουμε το σημείο τομής της με την . Αν τα κέντρα των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι .
Πρόβλημα 4
Σε μια τάξη μαθητών δόθηκε ένα διαγώνισμα προβλημάτων. Γνωρίζουμε ότι κάθε πρόβλημα λύθηκε σωστά από τουλάχιστον μαθητές.
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ζεύγος μαθητών, ώστε κάθε πρόβλημα να λύθηκε σωστά από τουλάχιστον ένα μαθητή απ’ αυτούς.
Σωτήρης Λοϊζιάς
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2019
Από μικρό θεώρημα :
Άρα
.
Όμως έχουμε ότι
Άρα πρέπει , άρα ή
Edit: Μερικές Διορθώσεις...
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Δευ Φεβ 11, 2019 1:49 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Houston, we have a problem!
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2019
Έστω οι μαθητές και τα προβλήματα.
Έστω τα διαφορετικά ζεύγη που μπορούν να κάνουν όλοι οι μαθητές.
Μετράμε τις δυάδες , όπου μια δυάδα υφίσταται όταν ένας τουλάχιστον από τους μαθητές του ζεύγους έχει λύσει το πρόβλημα .
Για κάθε πρόβλημα τα ζεύγη μαθητών είναι είναι τουλάχιστον (αφαιρούμε το γιατί διπλομετρούμε τα ζευγάρια που έχουν δύο μαθητές που έλυσαν και οι δύο το πρόβλημα), άρα συνολικά έχουμε τουλάχιστον δυάδες, με ισότητα αν όλα τα προβλήματα λύθηκαν ακριβώς από μαθητές.
Από την άλλη έχουμε ζεύγη και . Άρα αν κάποιο ζευγάρι μαθητών έλυσε λιγότερα από προβλήματα, θα είχαμε κάποιο άλλο ζευγάρι με προβλήματα και το ζητούμενο έπεται. Έστω λοιπόν πως όλα τα ζευγάρια έλυσαν προβλήματα. Για να ισχύει αυτό πρέπει κάθε πρόβλημα να λύθηκε από ακριβώς μαθητές.
Επειδή οι δυάδες (μαθητής-ένα πρόβλημα που έλυσε ο συγκεκριμένος μαθητής), είναι , και , υπάρχει μαθητής που έλυσε το πολύ προβλήματα.
Έστω πως ο μαθητής δεν έλυσε τα προβλήματα .
Για καθένα από τα παραπάνω προβλήματα δεν μπορεί να υπάρχει μαθητής , ώστε ο να μην έλυσε προβλήματα από αυτά, καθώς σε αυτή την περίπτωση θα είχαμε πως το ζεύγος μαθητών και έλυσε το πολύ προβλήματα.
Με άλλα λόγια στα προβλήματα και , οι άλλοι δύο μαθητές που δεν έλυσαν το καθένα από αυτά (εκτός του υπάρχουν άλλοι δύο στο καθένα αφού κάθε πρόβλημα δεν λύθηκε από 3 άτομα), πρέπει να μην είναι κοινοί. Έτσι όμως μαζεύονται μαθητές, από τους υπόλοιπους , άτοπο.
Άρα το ζητούμενο έπεται!
Edit: Μερικές Βελτιώσεις...
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Δευ Φεβ 11, 2019 12:26 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Houston, we have a problem!
-
- Δημοσιεύσεις: 219
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2019
Χάνω κάτι; γιατί αυτό μου φαίνεται πως είναι λάθος
όπου το επαναλαμβάνεται φορές ομοίως όπου το 4 επαναλαμβάνεται φορές όμως άρα όπου το επαναλαμβάνεται φορές και τώρα προφανώς (χρεισιμοποίησα τα αντίστοιχα αγγλικά γράμματα για συντομία)
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2019
Παρατηρούμε αρχικά πως (), οπότε αφού εύκολα προκύπτει ότι .
Για το δεύτερο μέλος θα αποδείξουμε επαγωγικά πως , για .
Για έχουμε ότι .
Έστω πως αυτή η ανισότητα ισχύει για κάποιο . Θα δείξουμε ότι ισχύει και για .
Έχουμε , που ισχύει αφού .
Άρα επαγωγικά δείχνουμε ότι .
Houston, we have a problem!
-
- Δημοσιεύσεις: 117
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
- Τοποθεσία: Λευκωσία
Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2019
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑Κυρ Φεβ 10, 2019 5:02 pmΑπό μικρό θεώρημα :
Άρα
.
Όμως έχουμε ότι
Άρα πρέπει , άρα
Εδώ υπάρχει ένα μικρό λάθος.
Πρέπει να είναι:
, άρα
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2019
Ναι απροσεξία μου... ξέχασες και το ... ( )Datis-Kalali έγραψε: ↑Δευ Φεβ 11, 2019 11:23 amΔιονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑Κυρ Φεβ 10, 2019 5:02 pmΑπό μικρό θεώρημα :
Άρα
.
Όμως έχουμε ότι
Άρα πρέπει , άρα
Εδώ υπάρχει ένα μικρό λάθος.
Πρέπει να είναι:
, άρα
Houston, we have a problem!
Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2019
Για τη Γεωμε3:Το πάμε λίγο διαφορετικά.Ορίζουμε σημείο την προβολή του στην .Τα είναι ομοκυκλικά,οπότε αν δειχτεί ότι και τα ομοκυκλικά,ουσιαστικά από ριζικούς άξονες έχει τελειώσει.Άρα αρκεί η τομή του με την ,έστω να ταυτίζεται με το .Αρκεί με το μέσο της .Αν η τομή και η τομή των από ίσες εγγεγραμμένες τα είναι συνευθειακά.Άρα το ανήκει στην πολική του ,η οποία είναι κάθετη στη διάμετρο ,δηλαδή είναι η και το ζητούμενο έπεται.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2019
Μία λύση για αυτό, μετά από αυτή του Μίνωα.Soteris έγραψε: ↑Κυρ Φεβ 10, 2019 1:55 pm
Πρόβλημα 3
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο και το ύψος του (το σημείο είναι το ίχνος του ύψους πάνω στην ). Έστω το σημείο τομής της με την . Θεωρούμε τα μέσα των τμημάτων και , αντίστοιχα. Φέρουμε την ευθεία και ονομάζουμε το σημείο τομής της με την . Αν τα κέντρα των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι .
Έστω, πως ο κύκλος τέμνει την στο .
Αρκεί .
Έστω, .
Αν δείξω ότι το είναι εγγράψιμο, τότε θα είχα , και το ζητούμενο έπεται.
Αρκεί λοιπόν να δείξω πως .
Έστω , το μέσο της , και .
Είναι, .
Ακόμη, , συνεπώς το είναι ορθόκεντρο του .
Συνεπώς, αν , είναι .
Θα δείξω τώρα ότι , ή ισοδύναμα (1).
Με angle-chasing, προκύπτουν οι γωνίες που χρησιμοποιώ παρακάτω.
Είναι, (1).
Τώρα, από Θ. Μενελάου στο τρίγωνο με διατέμνουσα την παίρνουμε .
Όμως, .
Τώρα, είναι , οπότε θα προκύψει .
Οπότε, .
Όμως, , οπότε (2).
Οι (1),(2) δίνουν, , και η απόδειξη (επιτέλους) ολοκληρώθηκε.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2019
Η άσκηση κατασκευάστηκε για να λυθεί όπως την έκανε ο Διονύσης. (Με λίγο διαφορετικό τελείωμα στο τέλος.) Σε γραπτό μαθητή όμως είδαμε και την εξής πιο σύντομη λύση:
Λύθηκαν τουλάχιστον προβλήματα, άρα από περιστεροφωλιά υπάρχει μαθητής που έλυσε τουλάχιστον . Μένουν το πολύ προβλήματα και πρέπει να βρούμε έναν από τους υπόλοιπους που τα έλυσε όλα. Κάθε ένα από αυτά δεν λύθηκε από τον άρα υπάρχουν το πολύ δύο άλλοι που δεν το έλυσαν. Άρα υπάρχουν το πολύ άτομα που δεν έλυσαν κάποιο από αυτά. Άρα υπάρχει και κάποιος που έλυσε όλα όσα δεν έλυσε ο και τελειώσαμε.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2019
Η δική μου λύση ήταν πάλι όπως του Διονύση. Για το να αναφέρω ακόμη δύο τρόπους που έκαναν μαθητές μας.
Ο πρώτος είναι να αποδειχθεί επαγωγικά (εύκολο) η σχέση . Ο δεύτερος είναι να αποδειχθεί επαγωγικά η σχέση . Εδώ θέλει λίγη περισσότερη προσοχή. Στο επαγωγικό βήμα έχουμε
όπου στην πρώτη ανισότητα χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι ο είναι άρτιος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: MSN [Bot] και 10 επισκέπτες