Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Πρόβλημα 1
Έστω πρώτος αριθμός και ακέραιος αριθμός, τέτοιοι ώστε να ισχύουν:
Ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του .
Ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του .
Ο αριθμός δεν διαιρεί τον .
Να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του .
Πρόβλημα 2
Έστω θετικοί ακέραιοι , ώστε ο αριθμός να είναι επίσης θετικός ακέραιος.
(α) Να αποδείξετε ότι
(β) Να βρείτε την ελάχιστη δυνατή τιμή της παράστασης .
Πρόβλημα 3
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με και . Ονομάζουμε το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του και της εσωτερικής διχοτόμου της γωνίας του τριγώνου . Ο κύκλος με διάμετρο το τέμνει την ευθεία στο σημείο . Αν η εφαπτομένη του κύκλου στο τέμνει την στο σημείο , να αποδείξετε ότι .
Πρόβλημα 4
Σε μια συνάντηση ατόμων, κάθε άτομο αντιπαθεί ακριβώς ένα άλλο άτομο. (Η αντιπάθεια δεν είναι απαραίτητα αμοιβαία.)
(α) Να αποδείξετε ότι μπορούμε να επιλέξουμε άτομα, ώστε καθένα από αυτά να μην αντιπαθεί κάποιο άλλο άτομο από αυτά.
(β) Να βρείτε παράδειγμα για το οποίο όπως και να επιλέξουμε άτομα, κάποιο από αυτά θα αντιπαθεί κάποιο άλλο από αυτά.
Έστω πρώτος αριθμός και ακέραιος αριθμός, τέτοιοι ώστε να ισχύουν:
Ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του .
Ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του .
Ο αριθμός δεν διαιρεί τον .
Να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του .
Πρόβλημα 2
Έστω θετικοί ακέραιοι , ώστε ο αριθμός να είναι επίσης θετικός ακέραιος.
(α) Να αποδείξετε ότι
(β) Να βρείτε την ελάχιστη δυνατή τιμή της παράστασης .
Πρόβλημα 3
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με και . Ονομάζουμε το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του και της εσωτερικής διχοτόμου της γωνίας του τριγώνου . Ο κύκλος με διάμετρο το τέμνει την ευθεία στο σημείο . Αν η εφαπτομένη του κύκλου στο τέμνει την στο σημείο , να αποδείξετε ότι .
Πρόβλημα 4
Σε μια συνάντηση ατόμων, κάθε άτομο αντιπαθεί ακριβώς ένα άλλο άτομο. (Η αντιπάθεια δεν είναι απαραίτητα αμοιβαία.)
(α) Να αποδείξετε ότι μπορούμε να επιλέξουμε άτομα, ώστε καθένα από αυτά να μην αντιπαθεί κάποιο άλλο άτομο από αυτά.
(β) Να βρείτε παράδειγμα για το οποίο όπως και να επιλέξουμε άτομα, κάποιο από αυτά θα αντιπαθεί κάποιο άλλο από αυτά.
Σωτήρης Λοϊζιάς
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Η μεσοκάθετος της και η διχοτόμος της τέμνονται στον περίκυκλο του άρα το είναι εγγράψιμο καιSoteris έγραψε: ↑Κυρ Φεβ 10, 2019 1:48 pm
Πρόβλημα 3
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με και . Ονομάζουμε το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του και της εσωτερικής διχοτόμου της γωνίας του τριγώνου . Ο κύκλος με διάμετρο το τέμνει την ευθεία στο σημείο . Αν η εφαπτομένη του κύκλου στο τέμνει την στο σημείο , να αποδείξετε ότι .
Επειδή
Η παραπάνω λύση είναι λάθος, αφού διάβασα λάθος την άσκηση και νόμιζα ότι το αρχικό τρίγωνο είναι ορθογώνιο.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Δευ Φεβ 11, 2019 8:29 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Έστω
Για
που ισχύει αφού
Για
που ισχύει αφού
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Κυρ Φεβ 10, 2019 3:22 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Είναι, , και , άρα .
Επίσης, , οπότε .
i) , οπότε , και θέλουμε , που είναι προφανές ().
ii) , οπότε και θέλουμε , που είναι πάλι προφανές.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Χρησιμοποιώ λατινικούς χαρακτήρες.
(α) Είναι, .
(β) Αν κάποιος εκ των είναι 1, WLOG . Τότε, , και πρέπει .
Προφανώς, η συνάρτηση με παράγωγο , είναι γνησίως αύξουσα, άρα .
Συνεπώς, σ'αυτή την περίπτωση, η ελάχιστη τιμή της είναι .
Αν κάποιος εκ των είναι 2, WLOG , με όμοια σκέψη βρίσκω ελάχιστη τιμή ίση με 10, για
Αν τώρα , WLOG με και .
Θέτω, , και αφού όλοι οι συντελεστές είναι θετικοί
( ) η είναι γνησίως αύξουσα, άρα .
Συνοψίζοντας, η ελάχιστη τιμή της , είναι , και λαμβάνεται όταν
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Έστω, , τα άτομα.Soteris έγραψε: ↑Κυρ Φεβ 10, 2019 1:48 pm
Πρόβλημα 4
Σε μια συνάντηση ατόμων, κάθε άτομο αντιπαθεί ακριβώς ένα άλλο άτομο. (Η αντιπάθεια δεν είναι απαραίτητα αμοιβαία.)
(α) Να αποδείξετε ότι μπορούμε να επιλέξουμε άτομα, ώστε καθένα από αυτά να μην αντιπαθεί κάποιο άλλο άτομο από αυτά.
(β) Να βρείτε παράδειγμα για το οποίο όπως και να επιλέξουμε άτομα, κάποιο από αυτά θα αντιπαθεί κάποιο άλλο από αυτά.
α) Χωρίζουμε τα αυτά άτομα σε σύνολα των , ώστε σε κάθε σύνολο, για κάθε δύο άτομα ο ένας να αντιπαθεί τον άλλο (υπάρχει και ένα σύνολο που αποτελείται από μόνο ένα άτομο!)
WLOG, έστω ότι τα διαμερίζουμε ως εξής :
...
.
Έστω, ότι στο πρώτο σύνολο, ο αντιπαθεί τον και ο τον , στο δεύτερο ο τον κλπ.
Τότε, προφανώς πρέπει ο να μην αντιπαθεί οποιονδήποτε άλλον εκτός του , ο οποιονδήποτε άλλον εκτός του κλπ.
Επιλέγουμε τους .
Αν ο δεν αντιπαθεί κανένα εκ των , είμαστε εντάξει.
Αν αντιπαθεί κάποιον απ'αυτούς, WLOG τον , παίρνουμε τους .
Προφανώς, κάθε ένα άτομο από το παραπάνω σύνολο δεν αντιπαθεί κανένα άλλο άτομο του σύνολου.
(β) Επιλέγουμε τα άτομα, ώστε ο να αντιπαθεί τον , για κάθε .
Τότε, από την αρχή του περιστερώνα (έχουμε άτομα) τουλάχιστον δύο από αυτά θ'ανήκουν σε ένα από τα σύνολα .
Αυτό όμως δίνει ότι το ένα από αυτά τα δύο άτομα θα αντιπαθεί το άλλο.
Άρα, η παραπάνω κατασκευή είναι κατάλληλη.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Ορέστη, δεν είμαι σίγουρος ότι μπορείς να το κάνεις αυτό. Π.χ. αν τα άτομα είναι τα και έχουμε τις εξής αντιπάθειες:Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Κυρ Φεβ 10, 2019 4:17 pmα) Χωρίζουμε τα αυτά άτομα σε σύνολα των , ώστε σε κάθε σύνολο, για κάθε δύο άτομα ο ένας να αντιπαθεί τον άλλο (υπάρχει και ένα σύνολο που αποτελείται από μόνο ένα άτομο!)
Για , ο αντιπαθεί τον , αυτός τον , αυτός τον και αυτός τον .
Ποιες θα είναι σε αυτήν την περίπτωση οι τριάδες;
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Η μεσοκάθετος της και η διχοτόμος της τέμνονται στον περίκυκλο του άρα το είναι εγγράψιμο καιSoteris έγραψε: ↑Κυρ Φεβ 10, 2019 1:48 pm
Πρόβλημα 3
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με και . Ονομάζουμε το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του και της εσωτερικής διχοτόμου της γωνίας του τριγώνου . Ο κύκλος με διάμετρο το τέμνει την ευθεία στο σημείο . Αν η εφαπτομένη του κύκλου στο τέμνει την στο σημείο , να αποδείξετε ότι .
Είναι ακόμα, με
Σημείωση: Η άσκηση ισχύει και για
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες