Υπάρχει ή ... μήπως όχι

Tolaso J Kos · #1

Εξετάστε αν υπάρχει το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{1-\cos x}{x^3}}$
Τι λέει ο DeL Hospital για το όριο αυτό ;

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 09, 2019 11:44 pm
Εξετάστε αν υπάρχει το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{1-\cos x}{x^3}}$
Τι λέει ο DeL Hospital για το όριο αυτό ;

Γεια σου Τόλη.

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+ } \frac{1-\cos x}{x^3}= \lim_{x \rightarrow 0^+ } \frac{\sin x}{3x^2}= \lim_{x \rightarrow 0^+ } \frac{\cos x}{6x}=+\infty$

και όμοια $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^- } \frac{1-\cos x}{x^3}= -\infty$ .

Άρα το όριο δεν υπάρχει. Αν πάμε χωρίς πλευρικά το όριο μετά από δυο διαδοχικές παραγωγίσεις προκύπτει ότι δεν υπάρχει.

Οπότε ο κανόνας DLH δεν μας δίνει καμία πληροφορία για το αρχικό όριο. Ξεπερνάμε το πρόβλημα αν πάρουμε πλευρικά.

Ratio · #3

Μα γιατί να γίνει DLH

σε αυτό το όριο; Δεν είναι πιο πολύπλοκο;

Tolaso J Kos · #4

Ratio έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 10, 2019 7:03 am
Μα γιατί να γίνει σε αυτό το όριο; Δεν είναι πιο πολύπλοκο;

Δεν εφαρμόζεται το DLH. Μετά από 2 DLH βγαίνει ότι το τελευταίο όριο δεν υπάρχει και συνεπώς δεν έχουμε απάντηση για το αρχικό όριο. Το τόνισε και ο Λάμπρος πάνω ... !

Ratio · #5

Είναι μια πολύ ωραία συζήτηση αυτή, γιατί ο DLH

εφαρμόζεται πολλές φορές άκριτα .
Με απλές πράξεις αν μετασχηματιστεί
έτσι,
$\frac{1-cosx}{x^3}=\frac{(1-cosx)(1+cosx)}{x^3(1+cosx)}=\left ( \frac{sin^2x}{x^2} \right )\left (\frac{1}{1+cosx} \right )\left ( \frac{1}{x} \right )$

καταλαβαίνουμε μέσω των πλευρικών την απόκλιση του ορίου

Υπάρχει ή ... μήπως όχι

Υπάρχει ή ... μήπως όχι

Re: Υπάρχει ή ... μήπως όχι

Re: Υπάρχει ή ... μήπως όχι

Re: Υπάρχει ή ... μήπως όχι

Re: Υπάρχει ή ... μήπως όχι

Μέλη σε σύνδεση