Σειριακό ... το σημερινό θέμα

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί η σειρά:

$\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} \int_{1}^{e^n} \frac{\ln^3 x}{x} \left ( 1- \frac{\ln x}{n} \right )^{n+3} \, \mathrm{d}x }$
Πάρτε ιδέες από δω.

Tolaso J Kos · #2

Επαναφορά. Δείξατε ότι:

$\displaystyle{\int_{1}^{e^n} \frac{\ln^3 x}{x} \left ( 1 - \frac{\ln x}{n} \right )^{n+3} \, \mathrm{d}x \overset{u= \ln x}{=\! =\! =\! =\!} \int_{0}^{n} u^3 \left ( 1- \frac{u}{n} \right )^{n+3} \, \mathrm{d}x= \frac{6n^4 \Gamma(n+4)}{\Gamma(n+8)}}$
όπου $\Gamma$ η συνάρτηση Γάμμα του Euler.

Tolaso J Kos · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 08, 2019 10:12 am
Να υπολογιστεί η σειρά:

$\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} \int_{1}^{e^n} \frac{\ln^3 x}{x} \left ( 1- \frac{\ln x}{n} \right )^{n+3} \, \mathrm{d}x }$
Πάρτε ιδέες από δω.

Δίδουμε μία λύση...

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} \int_{1}^{e^n} \frac{\ln^3 x}{x} \left ( 1- \frac{\ln x}{n} \right )^{n+3} \, \mathrm{d}x &= 6 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^4}{n^4} \cdot \frac{\Gamma(n+4)}{\Gamma(n+8)} \\ &=6 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Gamma(n+4)}{\Gamma(n+8)} \\ &= \frac{1}{105} \end{aligned}}$

Σειριακό ... το σημερινό θέμα

Σειριακό ... το σημερινό θέμα

Re: Σειριακό ... το σημερινό θέμα

Re: Σειριακό ... το σημερινό θέμα

Μέλη σε σύνδεση