Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)
Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/2019.
2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 10η τάξη
6. Δίνονται τέσσερις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί μεγαλύτεροι του . Να δείξετε, ότι μπορούμε να διαλέξουμε τρεις από αυτούς, το άθροισμα των οποίων μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο τριών διαφορετικών φυσικών αριθμών μεγαλύτερων του .
7. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί και , με . Έστω
.
Να δείξετε, ότι η ακολουθία φθίνει.
8. Στο οξυγώνιο τρίγωνο φέρουμε το ύψος . Τα σημεία και είναι τα μέσα των τμημάτων και αντίστοιχα. Στο περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου θεωρούμε την διάμετρο . Να δείξετε, ότι .
9. Στον πίνακα είναι σχεδιασμένο κυρτό -γωνο (). Κάθε κορυφή του πρέπει να χρωματιστεί είτε με λευκό, είτε με μαύρο χρώμα. Θα ονομάσουμε μια διαγώνιο ασπρόμαυρη, αν οι άκρες της είναι χρωματισμένες με διαφορετικό χρώμα. Το χρωματισμό των κορυφών θα τον ονομάσουμε καλό, αν το -γωνο μπορεί να διαμεριστεί σε τρίγωνα με ασπρόμαυρες διαγωνίους, που δεν έχουν κοινά σημεία(εκτός κορυφών). Να βρείτε το πλήθος των καλών χρωματισμών.
10. Η ακολουθία φυσικών αριθμών δίνεται από τις συνθήκες , για όλους τους φυσικούς . Να δείξετε, ότι για κάθε φυσικό αριθμό σε αυτή την ακολουθία θα βρεθεί όρος, που διαιρείται με το . (Ως συνήθως, με συμβολίζουμε τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό, που δεν υπερβαίνει το .)
Πηγή
2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 10η τάξη
6. Δίνονται τέσσερις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί μεγαλύτεροι του . Να δείξετε, ότι μπορούμε να διαλέξουμε τρεις από αυτούς, το άθροισμα των οποίων μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο τριών διαφορετικών φυσικών αριθμών μεγαλύτερων του .
7. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί και , με . Έστω
.
Να δείξετε, ότι η ακολουθία φθίνει.
8. Στο οξυγώνιο τρίγωνο φέρουμε το ύψος . Τα σημεία και είναι τα μέσα των τμημάτων και αντίστοιχα. Στο περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου θεωρούμε την διάμετρο . Να δείξετε, ότι .
9. Στον πίνακα είναι σχεδιασμένο κυρτό -γωνο (). Κάθε κορυφή του πρέπει να χρωματιστεί είτε με λευκό, είτε με μαύρο χρώμα. Θα ονομάσουμε μια διαγώνιο ασπρόμαυρη, αν οι άκρες της είναι χρωματισμένες με διαφορετικό χρώμα. Το χρωματισμό των κορυφών θα τον ονομάσουμε καλό, αν το -γωνο μπορεί να διαμεριστεί σε τρίγωνα με ασπρόμαυρες διαγωνίους, που δεν έχουν κοινά σημεία(εκτός κορυφών). Να βρείτε το πλήθος των καλών χρωματισμών.
10. Η ακολουθία φυσικών αριθμών δίνεται από τις συνθήκες , για όλους τους φυσικούς . Να δείξετε, ότι για κάθε φυσικό αριθμό σε αυτή την ακολουθία θα βρεθεί όρος, που διαιρείται με το . (Ως συνήθως, με συμβολίζουμε τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό, που δεν υπερβαίνει το .)
Πηγή
Λέξεις Κλειδιά:
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)
Έστω οι τέσσερις διαδοχικοί μεAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Φεβ 06, 2019 12:52 pmΠανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/2019.
2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 10η τάξη
6. Δίνονται τέσσερις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί μεγαλύτεροι του . Να δείξετε, ότι μπορούμε να διαλέξουμε τρεις από αυτούς, το άθροισμα των οποίων μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο τριών διαφορετικών φυσικών αριθμών μεγαλύτερων του .
Αν άρτιος,έστω .
Είναι
άρα για άρτιο ισχύει.
Αν περιττός ,έστω
Είναι
Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Φεβ 06, 2019 12:52 pmΠανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/2019.
2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 10η τάξη
6. Δίνονται τέσσερις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί μεγαλύτεροι του . Να δείξετε, ότι μπορούμε να διαλέξουμε τρεις από αυτούς, το άθροισμα των οποίων μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο τριών διαφορετικών φυσικών αριθμών μεγαλύτερων του .
7. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί και , με . Έστω
.
Να δείξετε, ότι η ακολουθία φθίνει.
8. Στο οξυγώνιο τρίγωνο φέρουμε το ύψος . Τα σημεία και είναι τα μέσα των τμημάτων και αντίστοιχα. Στο περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου θεωρούμε την διάμετρο . Να δείξετε, ότι .
9. Στον πίνακα είναι σχεδιασμένο κυρτό -γωνο (). Κάθε κορυφή του πρέπει να χρωματιστεί είτε με λευκό, είτε με μαύρο χρώμα. Θα ονομάσουμε μια διαγώνιο ασπρόμαυρη, αν οι άκρες της είναι χρωματισμένες με διαφορετικό χρώμα. Το χρωματισμό των κορυφών θα τον ονομάσουμε καλό, αν το -γωνο μπορεί να διαμεριστεί σε τρίγωνα με ασπρόμαυρες διαγωνίους, που δεν έχουν κοινά σημεία(εκτός κορυφών). Να βρείτε το πλήθος των καλών χρωματισμών.
10. Η ακολουθία φυσικών αριθμών δίνεται από τις συνθήκες , για όλους τους φυσικούς . Να δείξετε, ότι για κάθε φυσικό αριθμό σε αυτή την ακολουθία θα βρεθεί όρος, που διαιρείται με το . (Ως συνήθως, με συμβολίζουμε τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό, που δεν υπερβαίνει το .)
Πηγή
Πρόβλημα 8
Ειναι
Εφόσον
ακόμη
H είναι μεσοκάθετος της
Αρα
Γιάννης
- Συνημμένα
-
- Πανρώσικη Ολυμπιαδα Μαθηματικών 2018_19 ,10 ταξη ,2 μέρα πρόβλημα 8.png (119.01 KiB) Προβλήθηκε 1020 φορές
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
-
- Δημοσιεύσεις: 219
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)
με σημείο της . . Από τον κύκλοAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Φεβ 06, 2019 12:52 pm8. Στο οξυγώνιο τρίγωνο φέρουμε το ύψος . Τα σημεία και είναι τα μέσα των τμημάτων και αντίστοιχα. Στο περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου θεωρούμε την διάμετρο . Να δείξετε, ότι .
οπότε και αυτό με τον κύκλο δίνουν ότι ισοσκελές τραπέδιο άρα .
Από την ισότητα των τριγώνων έχουμε
Αυτο μας δείνει μέσο άρα μεσοκάθετη της οπότε
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)
Πρέπει να δείξουμε ότιAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Φεβ 06, 2019 12:52 pmΠανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/2019.
2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 10η τάξη
7. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί και , με . Έστω
.
Να δείξετε, ότι η ακολουθία φθίνει.
Είναι
Έστω
Έστω
που ισχύει γιατί
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: andrei.eckstein, Google [Bot] και 13 επισκέπτες