Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2012 (9η τάξη)
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2012 (9η τάξη)
LXXV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 2012. Θέματα της 9ης τάξης.
Πρόβλημα 1. Στην χώρα του Υπερπέραν μια επαρχία ονομάζεται μεγάλη, αν σε αυτήν κατοικούν περισσότερο από το των κατοίκων της χώρας. Είναι γνωστό, ότι για κάθε μεγάλη επαρχία θα βρεθούν δυο επαρχίες με μικρότερο πληθυσμό τέτοιες, ώστε ο συνολικός πληθυσμός τους να υπερβαίνει αυτόν της μεγάλης επαρχίας. Ποιος είναι ο ελάχιστος δυνατός αριθμός επαρχιών στη χώρα του Υπερπέραν;
Πρόβλημα 2. Στην σειρά είναι τοποθετημένα αχλάδια. Οι μάζες οποιονδήποτε δυο γειτονικών αχλαδιών διαφέρουν το πολύ γρ. Αποδείξτε, ότι γίνεται να τοποθετήσουμε τα αχλάδια σε πακέτα των δυο αχλαδιών το καθένα και να βάλλουμε στη σειρά τα πακέτα έτσι, ώστε οι μάζες οποιονδήποτε δυο γειτονικών πακέτων επίσης να διαφέρουν το πολύ κατά γρ.
Πρόβλημα 3. Στο παραλληλόγραμμο φέρουμε το ύψος στην πλευρά . Στο ευθύγραμμο τμήμα θεωρούμε σημείο , που ισαπέχει από τα σημεία και . Έστω το μέσο της πλευράς . Να αποδείξετε, ότι η γωνία είναι ορθή.
Πρόβλημα 4. Οι ρητοί αριθμοί και είναι τέτοιοι, ώστε οι αριθμοί και να είναι ακέραιοι. Είναι άραγε αληθές, ότι ο αριθμός είναι ακέραιος;
Πρόβλημα 5. Δίνεται τρίγωνο . Η ευθεία εφάπτεται του εγγεγραμμένου κύκλου του. Συμβολίζουμε με τις ευθείες, συμμετρικές της ως προς τις εξωτερικές διχοτόμους των γωνιών του τριγώνου. Να αποδείξετε, ότι το τρίγωνο, που σχηματίζεται από αυτές τις ευθείες, είναι ίσο με το τρίγωνο .
Πρόβλημα 6. α) Σε τουρνουά ποδοσφαίρου συμμετείχαν ομάδες. Κάθε ομάδα έπαιξε με κάθε άλλη μια φορά, για νικηφόρο αποτέλεσμα η ομάδα κερδίζει βαθμούς, για ισόπαλο βαθμό και σε περίπτωση ήττας βαθμούς. Είναι γνωστό, ότι οποιεσδήποτε δυο αμάδες συγκέντρωσαν διαφορετικό αριθμό βαθμών. Να βρείτε την ελάχιστη δυνατή διαφορά βαθμών των ομάδων, που κατέλαβαν την πρώτη και τελευταία θέση.
β) Η ίδια ερώτηση για ομάδες.
Πηγή
Πρόβλημα 1. Στην χώρα του Υπερπέραν μια επαρχία ονομάζεται μεγάλη, αν σε αυτήν κατοικούν περισσότερο από το των κατοίκων της χώρας. Είναι γνωστό, ότι για κάθε μεγάλη επαρχία θα βρεθούν δυο επαρχίες με μικρότερο πληθυσμό τέτοιες, ώστε ο συνολικός πληθυσμός τους να υπερβαίνει αυτόν της μεγάλης επαρχίας. Ποιος είναι ο ελάχιστος δυνατός αριθμός επαρχιών στη χώρα του Υπερπέραν;
Πρόβλημα 2. Στην σειρά είναι τοποθετημένα αχλάδια. Οι μάζες οποιονδήποτε δυο γειτονικών αχλαδιών διαφέρουν το πολύ γρ. Αποδείξτε, ότι γίνεται να τοποθετήσουμε τα αχλάδια σε πακέτα των δυο αχλαδιών το καθένα και να βάλλουμε στη σειρά τα πακέτα έτσι, ώστε οι μάζες οποιονδήποτε δυο γειτονικών πακέτων επίσης να διαφέρουν το πολύ κατά γρ.
Πρόβλημα 3. Στο παραλληλόγραμμο φέρουμε το ύψος στην πλευρά . Στο ευθύγραμμο τμήμα θεωρούμε σημείο , που ισαπέχει από τα σημεία και . Έστω το μέσο της πλευράς . Να αποδείξετε, ότι η γωνία είναι ορθή.
Πρόβλημα 4. Οι ρητοί αριθμοί και είναι τέτοιοι, ώστε οι αριθμοί και να είναι ακέραιοι. Είναι άραγε αληθές, ότι ο αριθμός είναι ακέραιος;
Πρόβλημα 5. Δίνεται τρίγωνο . Η ευθεία εφάπτεται του εγγεγραμμένου κύκλου του. Συμβολίζουμε με τις ευθείες, συμμετρικές της ως προς τις εξωτερικές διχοτόμους των γωνιών του τριγώνου. Να αποδείξετε, ότι το τρίγωνο, που σχηματίζεται από αυτές τις ευθείες, είναι ίσο με το τρίγωνο .
Πρόβλημα 6. α) Σε τουρνουά ποδοσφαίρου συμμετείχαν ομάδες. Κάθε ομάδα έπαιξε με κάθε άλλη μια φορά, για νικηφόρο αποτέλεσμα η ομάδα κερδίζει βαθμούς, για ισόπαλο βαθμό και σε περίπτωση ήττας βαθμούς. Είναι γνωστό, ότι οποιεσδήποτε δυο αμάδες συγκέντρωσαν διαφορετικό αριθμό βαθμών. Να βρείτε την ελάχιστη δυνατή διαφορά βαθμών των ομάδων, που κατέλαβαν την πρώτη και τελευταία θέση.
β) Η ίδια ερώτηση για ομάδες.
Πηγή
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 659
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2012 (9η τάξη)
Καλησπέρα! Επειδή δεν έχω αρκετό χρόνο θα γράψω περιληπτικά τη σκέψη μου: (δεν αντιστάθηκα να μην χρησιμοποιήσω το αγαπημένο μου τέχνασμα )Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Δευ Φεβ 04, 2019 8:30 pmLXXV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 2012. Θέματα της 9ης τάξης.
Πρόβλημα 3. Στο παραλληλόγραμμο φέρουμε το ύψος στην πλευρά . Στο ευθύγραμμο τμήμα θεωρούμε σημείο , που ισαπέχει από τα σημεία και . Έστω το μέσο της πλευράς . Να αποδείξετε, ότι η γωνία είναι ορθή.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2012 (9η τάξη)
Για ξαναδές το αυτό. Για παράδειγμα πάρε το αρχικό παραλληλόγραμμο να είναι ορθογώνιο (ή σχεδόν ορθογώνιο) και εξέτασε τον ισχυρισμό σου.
-
- Δημοσιεύσεις: 219
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2012 (9η τάξη)
μέσο . ΈΧΟΥΜΕ μεσοκάθετη άρα και το είναι εγγράψιμο επειδή οπότε το άθροισμά τους είναι 180 και επείσης μέσα άρα αφού πλ.παραλληλόγραμμο καιAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Δευ Φεβ 04, 2019 8:30 pmΠρόβλημα 3. Στο παραλληλόγραμμο φέρουμε το ύψος στην πλευρά . Στο ευθύγραμμο τμήμα θεωρούμε σημείο , που ισαπέχει από τα σημεία και . Έστω το μέσο της πλευράς . Να αποδείξετε, ότι η γωνία είναι ορθή.
εγγράψιμο άρα αφού LΜ μεσοκάθετηστην DC
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2012 (9η τάξη)
Έστω, με .Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Δευ Φεβ 04, 2019 8:30 pmLXXV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 2012. Θέματα της 9ης τάξης.
Πρόβλημα 4. Οι ρητοί αριθμοί και είναι τέτοιοι, ώστε οι αριθμοί και να είναι ακέραιοι. Είναι άραγε αληθές, ότι ο αριθμός είναι ακέραιος;
Πρέπει, οπότε , οπότε πρέπει .
Όμως, , οπότε πρέπει και όμοια , συνεπώς .
Όμοια, .
Ακόμη, .
Όμοια, συνεπώς , και αφού , πρέπει .
Συνεπώς, .
Συνεπώς, , που είναι προφανώς ακέραιος αφού .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2012 (9η τάξη)
Έστω οι επαρχίες.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Δευ Φεβ 04, 2019 8:30 pmLXXV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 2012. Θέματα της 9ης τάξης.
Πρόβλημα 1. Στην χώρα του Υπερπέραν μια επαρχία ονομάζεται μεγάλη, αν σε αυτήν κατοικούν περισσότερο από το των κατοίκων της χώρας. Είναι γνωστό, ότι για κάθε μεγάλη επαρχία θα βρεθούν δυο επαρχίες με μικρότερο πληθυσμό τέτοιες, ώστε ο συνολικός πληθυσμός τους να υπερβαίνει αυτόν της μεγάλης επαρχίας. Ποιος είναι ο ελάχιστος δυνατός αριθμός επαρχιών στη χώρα του Υπερπέραν;
Πηγή
Δεν μπορούν να είναι όλες μεγάλες γιατί τότε η μικρότερη μεγάλη δεν μπορεί να τηρεί το Είναι γνωστό, ότι για κάθε μεγάλη επαρχία θα βρεθούν δυο επαρχίες με μικρότερο πληθυσμό τέτοιες, ώστε ο συνολικός πληθυσμός τους να υπερβαίνει αυτόν της μεγάλης επαρχίας.
Επίσης δεν μπορούν να υπάρχουν μεγάλες για τον ίδιο λόγο.
Άρα επειδή θέλουμε τον ελάχιστο ,έστω ότι υπάρχουν μεγάλες.
Έστω τα ποσοστά των κατοίκων των δύο μή μεγάλων και
αντίστοιχα των μεγάλων.
Πρέπει
Πρέπει οι δύο από τις τρείς να είναι μεγάλες άρα
άτοπο
Οι δύο μεγάλες έστω .Eίναι άρα άτοπο.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2012 (9η τάξη)
Έστω, οι μάζες των αχλαδιών, με , για κάθε .Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Δευ Φεβ 04, 2019 8:30 pmLXXV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 2012. Θέματα της 9ης τάξης.
Πρόβλημα 2. Στην σειρά είναι τοποθετημένα αχλάδια. Οι μάζες οποιονδήποτε δυο γειτονικών αχλαδιών διαφέρουν το πολύ γρ. Αποδείξτε, ότι γίνεται να τοποθετήσουμε τα αχλάδια σε πακέτα των δυο αχλαδιών το καθένα και να βάλλουμε στη σειρά τα πακέτα έτσι, ώστε οι μάζες οποιονδήποτε δυο γειτονικών πακέτων επίσης να διαφέρουν το πολύ κατά γρ.
Παίρνω τα αχλάδια σε πακέτα της μορφής , για κάθε .
Βάζουμε τα πακέτα, στην εξής σειρά:
.
Δύο διαδοχικά πακέτα είναι της μορφής και .
Είναι, , οπότε μία τέτοια τοποθέτηση πακέτων, είναι κατάλληλη. Τελειώσαμε.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Δημοσιεύσεις: 101
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 02, 2010 9:05 pm
- Τοποθεσία: Γερμανία
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2012 (9η τάξη)
Και ένα παράδειγμα:ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Δευ Φεβ 04, 2019 11:51 pmΈστω οι επαρχίες.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Δευ Φεβ 04, 2019 8:30 pmLXXV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 2012. Θέματα της 9ης τάξης.
Πρόβλημα 1. Στην χώρα του Υπερπέραν μια επαρχία ονομάζεται μεγάλη, αν σε αυτήν κατοικούν περισσότερο από το των κατοίκων της χώρας. Είναι γνωστό, ότι για κάθε μεγάλη επαρχία θα βρεθούν δυο επαρχίες με μικρότερο πληθυσμό τέτοιες, ώστε ο συνολικός πληθυσμός τους να υπερβαίνει αυτόν της μεγάλης επαρχίας. Ποιος είναι ο ελάχιστος δυνατός αριθμός επαρχιών στη χώρα του Υπερπέραν;
Πηγή
Δεν μπορούν να είναι όλες μεγάλες γιατί τότε η μικρότερη μεγάλη δεν μπορεί να τηρεί το Είναι γνωστό, ότι για κάθε μεγάλη επαρχία θα βρεθούν δυο επαρχίες με μικρότερο πληθυσμό τέτοιες, ώστε ο συνολικός πληθυσμός τους να υπερβαίνει αυτόν της μεγάλης επαρχίας.
Επίσης δεν μπορούν να υπάρχουν μεγάλες για τον ίδιο λόγο.
Άρα επειδή θέλουμε τον ελάχιστο ,έστω ότι υπάρχουν μεγάλες.
Έστω τα ποσοστά των κατοίκων των δύο μή μεγάλων και
αντίστοιχα των μεγάλων.
Πρέπει
Πρέπει οι δύο από τις τρείς να είναι μεγάλες άρα
άτοποΜε την ίδια λογική βρίσκουμε για άτοπο και ότι η ελάχιστη τιμή του είναι .
Οι δύο μεγάλες έστω .Eίναι άρα άτοπο.
ΥΓ: οι παραπάνω τιμές είναι οριακές, δηλαδή
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2012 (9η τάξη)
Καλημέρα!
Αν επιτρέπεται μερικά σχόλια για την αποσαφίνιση μερικών σημείων στις παραπάνω λύσεις:
Αν επιτρέπεται μερικά σχόλια για την αποσαφίνιση μερικών σημείων στις παραπάνω λύσεις:
Δεν μου είναι πολύ προφανής αυτή η συνεπαγωγή, μπορεί να εξηγηθεί λίγο παραπάνω;
Για την πληρότητα της λύσης πρέπει να δείξουμε ότι αυτή η τιμή επιτυγχάνεται όντως. Εδώ μπορεί να είναι σχετικά εύκολο, αλλά σε πολλά προβλήματα μπορεί να είναι και η κύρια δυσκολία.ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Δευ Φεβ 04, 2019 11:51 pm
Με την ίδια λογική βρίσκουμε για άτοπο και ότι η ελάχιστη τιμή του είναι .
Εδώ, νομίζω είναι σημαντικό σημείο της λύσης να δείξουμε, ότι αν και έχει αλλάξει η αρχική διάταξη των αχλαδιών και στην καινούργια με αύξουσα μάζα πάλι η διαφορά δυο γειτονικών αχλαδιών δεν υπαρβαίνει το γρ.
Για την πληρότητα της λύσης, θα πρέπει να αναφέρουμε (δείξουμε), ότι η παραπάνω έκφραση κατά απόλυτη τιμή δεν υπερβαίνει το .Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Τρί Φεβ 05, 2019 12:33 am
Είναι, , οπότε μία τέτοια τοποθέτηση πακέτων, είναι κατάλληλη.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Τρί Φεβ 05, 2019 9:32 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 659
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2012 (9η τάξη)
Γεια σας κύριε Λάμπρου!Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Δευ Φεβ 04, 2019 11:01 pmΓια ξαναδές το αυτό. Για παράδειγμα πάρε το αρχικό παραλληλόγραμμο να είναι ορθογώνιο (ή σχεδόν ορθογώνιο) και εξέτασε τον ισχυρισμό σου.
Είχα σκεφτεί το ενδεχόμενο αυτό! Αλλά παρατήρησα πως η άσκηση δεν διαφοροποιείται (πολύ) αν θεωρήσω πως Μ,Β συμπίπτουν
Ακολουθώντας τις οδηγίες σας προκύπτει αυτό το σχήμα. Όσο μπόρεσα το πλησίασα σε ορθογώνιο. Έτσι μπορώ να χρησιμοποιήσω το θεώρημα;
Φιλικά,
Νικόλας
Edit: Συγγνώμη για την παρανόηση κύριε Λάμπρου τέχνασμα εννοώ το ότι οι εγγεγραμμένες που βαίνουν στη διάμετρο είναι ορθές! Δικό μου λάθος στο γράψιμο!
τελευταία επεξεργασία από Κατερινόπουλος Νικόλας σε Τρί Φεβ 05, 2019 2:07 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2012 (9η τάξη)
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: ↑Τρί Φεβ 05, 2019 1:05 pm... Έτσι μπορώ να χρησιμοποιήσω το τέχνασμα;
Νικόλα, για ποιο ακριβώς τέχνασμα συζητάς; Να θεωρήσεις ότι τα και συμπίπτουν;
Αυτό δεν είναι τέχνασμα, αλλά ειδική περίπτωση, Συνήθως δεν λέει τίποτα, εκτός αν δείξεις ότι δεν βλάπτεται η γενικότητα. Χωρίς αυτό έχουμε πρόβλημα. Ας δούμε ένα παράδειγμα.
Θέλω να αποδείξω το τελευταίο Θεώρημα του Fermat που τόσο ταλαιπώρησε τους μαθηματικούς και σίγουρα παίδεψε
αφάνταστα τον Wiles.
Λέω λοιπόν εγώ: Θέλουμε να αποδείξουμε ότι για δεν έχει μη τετριμμένες λύσεις στους φυσικούς η . Κάνω το τέχνασμα
να θεωρήσω . Είναι τότε , άρα άτοπο διότι τότε "άρρητος = ρητός" (γνωστό επιχείρημα). Τελειώσαμε! Τόσα απλά.
Α, και κάτι ακόμα, η ίδια απόδειξη "δείχνει" ότι δεν έχει λύση η παραπάνω εξίσωση ούτε στην περίπτωση . Σκίσαμε.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2012 (9η τάξη)
Το παράδειγμα αυτό δεν μπορεί να θεωρηθεί σωστό. Από την εκφώνηση θα πρέπει και όχι . Η οριακή τιμή του είναι ίση με .Energy Engineer έγραψε: ↑Τρί Φεβ 05, 2019 11:01 am
Και ένα παράδειγμα:
ΥΓ: οι παραπάνω τιμές είναι οριακές, δηλαδή
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2012 (9η τάξη)
Για να είναι λοιπόν πλήρης η λύση μου για το πρόβλημα 1,θα αποδείξω ότι και θα δείξω ότι είναι δυνατόν για
Είναι όμως τότε
Άρα βλέπουμε ότι .
Για είναι δυνατόν με
Nα τονίσω ότι οι αριθμοί εννοούνται ως ποσοστά στην λύση μου,π.χ εννοώ ότι ο πληθυσμός είναι μικρότερος από το 21%.
Είναι όμως τότε
Άρα βλέπουμε ότι .
Για είναι δυνατόν με
Nα τονίσω ότι οι αριθμοί εννοούνται ως ποσοστά στην λύση μου,π.χ εννοώ ότι ο πληθυσμός είναι μικρότερος από το 21%.
-
- Δημοσιεύσεις: 101
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 02, 2010 9:05 pm
- Τοποθεσία: Γερμανία
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2012 (9η τάξη)
Έστω ότι όλοι αριθμοί έχουν τον ίδιο αριθμό δεκαδικών ψηφίων, εκτός από τον που είναι ακέραιος και τον που έχει ένα λιγότερο δεκαδικό ψηφίο. Τότε:Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τρί Φεβ 05, 2019 5:48 pmΤο παράδειγμα αυτό δεν μπορεί να θεωρηθεί σωστό. Από την εκφώνηση θα πρέπει και όχι . Η οριακή τιμή του είναι ίση με .Energy Engineer έγραψε: ↑Τρί Φεβ 05, 2019 11:01 am
Και ένα παράδειγμα:
ΥΓ: οι παραπάνω τιμές είναι οριακές, δηλαδή
Οπότε η οριακή λύση:
"οριακά" ισχύει.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2012 (9η τάξη)
Έχει ασφαλώς δίκιο ο Αλέξανδρος. Πολλές φορές γράφονται σύντομα λύσεις (κακώς) λόγω διαβασμάτων κλπ ...Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τρί Φεβ 05, 2019 11:06 amΚαλημέρα!
Αν επιτρέπεται μερικά σχόλια για την αποσαφίνιση μερικών σημείων στις παραπάνω λύσεις:
Δεν μου είναι πολύ προφανής αυτή η συνεπαγωγή, μπορεί να εξηγηθεί λίγο παραπάνω;
Είναι, , και αφού , παίρνουμε .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2012 (9η τάξη)
Είναι, , αφού καιAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Τρί Φεβ 05, 2019 11:06 amΚαλημέρα!
Αν επιτρέπεται μερικά σχόλια για την αποσαφίνιση μερικών σημείων στις παραπάνω λύσεις:
Για την πληρότητα της λύσης, θα πρέπει να αναφέρουμε (δείξουμε), ότι η παραπάνω έκφραση κατά απόλυτη τιμή δεν υπερβαίνει το .Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Τρί Φεβ 05, 2019 12:33 am
Είναι, , οπότε μία τέτοια τοποθέτηση πακέτων, είναι κατάλληλη.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2012 (9η τάξη)
Προς το παρόν βάζω το σχήμαAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Δευ Φεβ 04, 2019 8:30 pmLXXV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 2012. Θέματα της 9ης τάξης.
Πρόβλημα 5. Δίνεται τρίγωνο . Η ευθεία εφάπτεται του εγγεγραμμένου κύκλου του. Συμβολίζουμε με τις ευθείες, συμμετρικές της ως προς τις εξωτερικές διχοτόμους των γωνιών του τριγώνου. Να αποδείξετε, ότι το τρίγωνο, που σχηματίζεται από αυτές τις ευθείες, είναι ίσο με το τρίγωνο .
Οι εξωτερικές διχοτόμοι σχηματίζουν το τρίγωνο . Η πράσινη ευθεία εφάπτεται στον έγκυκλο και οι συμμετρικές της ευθείες ως προς τις εξωτερικές διχοτόμους είναι οι μπλε ευθείες που σχηματίζουν το τρίγωνο . Θα δείξουμε ότι τα τρίγωνα είναι όμοια και έχουν ίσες τις ακτίνες των έγκυκλών τους, οπότε είναι ίσα.
τα τρίγωνα είναι όμοια γιατί έχουν ίσες τις γωνίες τους. Για παράδειγμα:
Οι είναι οι διχοτόμοι των γωνιών του τριγώνου . Για παράδειγμα το είναι το παράκεντρο του τριγώνου , οπότε η διχοτομεί την γωνία της κορυφής
To είναι εγγράψιμο. Πράγματι οι γωνιές των κορυφών του είναι ίσες με αντίστοιχα και έχουν άθροισμα .
To είναι το συμμετρικό του ορθόκεντρου του τριγώνου ως προς την πλευρά του . Βρίσκεται στο περίκυκλο του τριγώνου .
Η απόσταση του από την είναι ίση με ρ
...συνεχίζεται...
τελευταία επεξεργασία από rek2 σε Πέμ Φεβ 07, 2019 4:55 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2012 (9η τάξη)
Ζόρικη. Αναρωτιέμαι πόσοι την έλυσαν.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Δευ Φεβ 04, 2019 8:30 pmLXXV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 2012. Θέματα της 9ης τάξης.
Πρόβλημα 6. α) Σε τουρνουά ποδοσφαίρου συμμετείχαν ομάδες. Κάθε ομάδα έπαιξε με κάθε άλλη μια φορά, για νικηφόρο αποτέλεσμα η ομάδα κερδίζει βαθμούς, για ισόπαλο βαθμό και σε περίπτωση ήττας βαθμούς. Είναι γνωστό, ότι οποιεσδήποτε δυο αμάδες συγκέντρωσαν διαφορετικό αριθμό βαθμών. Να βρείτε την ελάχιστη δυνατή διαφορά βαθμών των ομάδων, που κατέλαβαν την πρώτη και τελευταία θέση.
β) Η ίδια ερώτηση για ομάδες.
Θα πάω απευθείας στο (β) και θα δείξω ότι για η μέγιστη ελάχιστη διαφορά βαθμών είναι . Ασφαλώς πρέπει να είναι τουλάχιστον οπότε μένει να κατασκευάσουμε παράδειγμα.
Στο παράδειγμα οι ομάδες θα μαζέψουν βαθμούς αντίστοιχα. Θα κατασκευάσουμε αρχικά παραδείγματα για και μετά θα δείξουμε πως ένα παράδειγμα για μας δίνει ένα παράδειγμα για .
Τα παραδείγματα για φαίνονται πιο κάτω. Με συμβολίζουμε την νίκη, ισοπαλία και ήττα αντίστοιχα. Οι σειρές και οι στήλες είναι με αύξουσα σειρά των βαθμολογιών των παικτών. Π.χ. στον πρώτο πίνακα αυτός που πήρε 2 βαθμούς έφερε ισοπαλία με αυτούς που πήραν και βαθμούς ενώ έχασε από αυτόν που πήρε βαθμούς, κ.ο.κ.
Έστω τώρα ότι έχουμε παράδειγμα για με βαθμολογίες . Τους χωρίζουμε σε τριάδες με την σειρά της βαθμολογίας τους. Έστω ότι έχουμε τρεις καινούργιους παίκτες, έστω τους . Ο θα κερδίσει τον , ο τον και ο τον . Άρα μέχρι στιγμής έχουν από τρεις βαθμούς. Για κάθε τριάδα, έστω , εκτός από την τελευταία, ο θα χάσει από τον και θα κερδίσει τους , ο θα χάσει από τον και θα κερδίσει τους , ο θα χάσει από τον και θα κερδίσει τους . Κάθε παίκτης αυτών των τριάδων αύξησε την βαθμολογία του κατά . Λαμβάνοντας υπόψη όλες τις τριάδες (εκτός από την τελευταία που ακόμα δεν είπαμε τι γίνεται) οι έχουν μέχρι στιγμής πάρει από βαθμούς. Έστω τώρα οι παίκτες που έχουν βαθμολογίες αντίστοιχα. Ο κερδίζει τους και φέρνει ισοπαλία με τον , O κερδίζει τους και φέρνει ισοπαλία με τον , ο κερδίζει τον , φέρνει ισοπαλία με τον και χάνει από τον . Οι έχουν τώρα βαθμολογίες και οι έχουν . Τώρα εμφανίζονται όλες οι βαθμολογίες από το μέχρι την από ακριβώς μία φορά όπως θέλαμε.
Αν εφαρμόζουμε την ίδια τακτική μόνο που τους χωρίζουμε σε αυτόν που πήρε βαθμολογία μόνο του, και όλους τους υπόλοιπους σε τριάδες. Με τα αποτελέσματα όπως προηγουμένως θα καταλήξουμε στις βαθμολογίες (δηλαδή ) καθώς και όλες από το ως το και μένει να αποφασίσουμε τα αποτελέσματα των (με βαθμολογίες ) με τον που έχει βαθμολογία . Ο θα χάσει από τον και θα κερδίσει τους . Τότε οι θα έχουν βαθμολογίες αντίστοιχα. Η κατασκευή ολοκληρώθηκε.
Αν αφήνουμε πίσω αυτούς που πήραν βαθμολογίες . Όπως προηγουμένως θα καταλήξουμε στις βαθμολογίες καθώς και όλες από το ως το και μένει να αποφασίσουμε τα αποτελέσματα των (με βαθμολογίες ) με τον που έχει βαθμολογία και τον που έχει βαθμολογία . Ο θα χάσει από τον και θα κερδίσει τους άλλους . Ο θα χάσει από τον και θα κερδίζει τους άλλους . Τότε οι θα έχουν βαθμολογίες αντίστοιχα. Η κατασκευή ολοκληρώθηκε.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2012 (9η τάξη)
Προφανώς, τα σημεία τομής ανά δύο των εξωτερικών διχοτόμων, είναι τα παράκεντρα του τριγώνου.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Δευ Φεβ 04, 2019 8:30 pmLXXV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 2012. Θέματα της 9ης τάξης.
Πρόβλημα 5. Δίνεται τρίγωνο . Η ευθεία εφάπτεται του εγγεγραμμένου κύκλου του. Συμβολίζουμε με τις ευθείες, συμμετρικές της ως προς τις εξωτερικές διχοτόμους των γωνιών του τριγώνου. Να αποδείξετε, ότι το τρίγωνο, που σχηματίζεται από αυτές τις ευθείες, είναι ίσο με το τρίγωνο .
Στο παρακάτω σχήμα, αρκεί να δείξω ότι τα είναι ίσα.
Λόγω της συμμετρίας, στο , η είναι εξωτερική διχοτόμος και η εσωτερική.
Συνεπώς, το είναι παράκεντρο του .
Άρα, με , η (και όμοια η ) είναι εσωτερική διχοτόμος. Άρα, το είναι έκκεντρο του .
Ακόμη, είναι .
Συνεπώς, .
Όμοια, .
Επομένως, τα τρίγωνα είναι όμοια.
Έστω, .
Είναι (εύκολο angle-chasing) ομοκυκλικά.
Έστω σημείο του κύκλου ώστε .
Τότε, είναι , οπότε το ανήκει στον προαναφερθέντα κύκλο.
Επίσης, με , έχω ότι (εύκολο) :
i) τα είναι συμμετρικά ως προς την και
ii) τα είναι συμμετρικά ως προς την .
Τα i), ii) δίνουν ότι το είναι ισοσκελές τραπέζιο, οπότε .
Ακόμη, .
Δηλαδή, τα τρίγωνα είναι όμοια και έχουν ίσες ακτίνες εγγεγραμμένων κύκλων.
Άρα, είναι ίσα και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2012 (9η τάξη)
Ένας μαθητής σε σύνολο , έλαβε (+) για το 6α και (+.) για το 6β. Το πρόβλημα 5 λύθηκε από ένα μαθητή (+-) και το τέταρτο από 7.
"+" - το πρόβλημα λύθηκε πλήρως.
"+-" - το πρόβλημα λύθηκε με ελλείψεις, που δεν επηρεάζουν την γενική πορεία της λύσης.
"+." - ο μαθητής μπορεί να θεωρήσει ότι είναι ισοδύναμο με "+".
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 16 επισκέπτες