Εκπληκτικό ορθογώνιο τρίγωνο

KARKAR · #1

: Εκπληκτικό ορθογώνιο.png (10.78 KiB) Προβλήθηκε 512 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC , ( c<b<a )$ , είναι : $\dfrac{a}{c}=\phi$ . Δείξτε ότι το ύψος

,

η διχοτόμος

και η διάμεσος

, διέρχονται από το ίδιο σημείο . Επιπλέον υπολογίστε

τον λόγο : $\dfrac{BS}{SE}$ . Σημείωση : Πρόκειται για προϊόν αυτής αλλά εδώ ζητείται αυτόνομη λύση !

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 02, 2019 8:31 am
Εκπληκτικό ορθογώνιο.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC , ( c<b<a )$ , είναι : $\dfrac{a}{c}=\phi$ . Δείξτε ότι το ύψος ,

η διχοτόμος και η διάμεσος , διέρχονται από το ίδιο σημείο . Επιπλέον υπολογίστε

τον λόγο : $\dfrac{BS}{SE}$ . Σημείωση : Πρόκειται για προϊόν αυτής αλλά εδώ ζητείται αυτόνομη λύση !

: Εκπληκτικό ορθ. τρίγωνο.png (17.73 KiB) Προβλήθηκε 503 φορές

$\displaystyle {b^2} = {a^2} - {c^2} = {c^2}({\phi ^2} - 1) = {c^2}\phi \Leftrightarrow b = c\sqrt \phi$

$\displaystyle \frac{{BD}}{{CD}} \cdot \frac{{CE}}{{EA}} \cdot \frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}} \cdot \frac{a}{c} = \frac{{{c^2}\phi }}{{{c^2}\phi }} = 1$ και το ζητούμενο έπεται.

Από Van Aubel, $\displaystyle \frac{{BS}}{{SE}} = \frac{{BM}}{{MA}} + \frac{{BD}}{{DC}} = 1 + \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}} = 1 + \frac{1}{\phi } \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{BS}}{{SE}} = \phi }$

Εκπληκτικό ορθογώνιο τρίγωνο

Εκπληκτικό ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Εκπληκτικό ορθογώνιο τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση