Ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση

KARKAR · #1

: Ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση.png (9.84 KiB) Προβλήθηκε 499 φορές

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές AB=8

και

. Τμήμα

έχει τα άκρα του στις BC , AB

. Εξετάστε αν η περίμετρος και το εμβαδόν του ACST

ελαχιστοποιούνται ταυτόχρονα , βρίσκοντας τις ελάχιστες τιμές των δύο μεγεθών .

#2

Λήμμα:

: ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση_Λήμμα.png (11.97 KiB) Προβλήθηκε 462 φορές

Αν ένα τρίγωνο BTS

διατηρεί τη

σταθερή και τη γωνία $\widehat {TBS}$ σταθερή , θα διατηρεί και τον κύκλο του σταθερό , οπότε το εμβαδόν του και η περίμετρος του γίνονται μέγιστα όταν το

ταυτιστεί με το μέσο

του τόξου που κινείται αυτό .

Στη άσκηση μας το εμβαδόν και η περίμετρος του τετράπλευρου ATSC

γίνονται ελάχιστα εφ’ όσον το εμβαδόν και η περίμετρος του τριγώνου BTS

γίνουν μέγιστα

: ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση.png (17.6 KiB) Προβλήθηκε 462 φορές

Αν

το μέσο του

έχω :

$\tan 2\theta = \dfrac{3}{4}\,$ και $\tan 2\theta = \dfrac{{2\tan \theta }}{{1 - {{\tan }^2}\theta }} \Rightarrow \tan \theta = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{MS}}{{BM}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow BM = 6$

Κατασκευή

Στη διχοτόμο της γωνίας $\widehat {ABC}$ θεωρώ σημείο

με

. Φέρνω τη κάθετο στο

στο

που τέμνει τις $BA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC\,\,$ στα $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S$ .

$BT = \sqrt {36 + 4} = 2\sqrt {10}$

$(BTS) = \dfrac{1}{2}TS \cdot BM = 12 = \dfrac{1}{2}(ABC)$ και άρα ${(ATSC)_{\min }} = 12$

Ενώ το τετράπλευρο έχει ελάχιστη περίμετρο :

$AT + TS + SC + CA = (8 - 2\sqrt {10} ) + 4 + (10 - 2\sqrt {10} ) + 6 = 28 - 4\sqrt {10}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 01, 2019 1:02 pm
Ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση.pngΈνα ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές και . Τμήμα

έχει τα άκρα του στις . Εξετάστε αν η περίμετρος και το εμβαδόν του

ελαχιστοποιούνται ταυτόχρονα , βρίσκοντας τις ελάχιστες τιμές των δύο μεγεθών .

Έστω

η προβολή του

στη

και

: Ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση.png (17.16 KiB) Προβλήθηκε 449 φορές

$\displaystyle 10y = 8(8 - x) \Leftrightarrow y = \frac{{4(8 - x)}}{5}$ και $\displaystyle \frac{{TE}}{6} = \frac{{8 - x}}{{10}} \Leftrightarrow TE = \frac{{3(8 - x)}}{5}$

Αλλά, $\displaystyle SE = \sqrt {16 - T{E^2}} = \sqrt {16 - \frac{9}{{25}}{{(8 - x)}^2}} \Rightarrow$ $\boxed{SB = \frac{{4(8 - x)}}{5} + \frac{1}{5}\sqrt {(3x - 4)(44 - 3x)} }$

● Το εμβαδόν είναι $\displaystyle E(x) = 24 - (BST) \Leftrightarrow$ $\boxed{E(x) = 24 - \frac{3}{{50}}\left( {4(8 - x) + \sqrt {(3x - 4)(44 - 3x)} } \right)}$

● Η περίμετρος είναι $\displaystyle P(x) = 10 + x + 10 - SB \Leftrightarrow$ $\boxed{P(x) = \frac{1}{5}\left( {9x + 68 - \sqrt {(3x - 4)(44 - 3x)} } \right)}$

Με παραγώγους βρίσκω ότι οι συναρτήσεις E(x), P(x)

παρουσιάζουν ελάχιστο για

$\boxed{x=8-2\sqrt{10}}$ ίσο με $\boxed{{E_{\min }} = 12}$ και $\boxed{{P_{\min }} = 28 - 4\sqrt {10}}$ αντίστοιχα.

Ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση

Ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση

Re: Ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση

Re: Ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση