Συνευθειακότητα από συγκλίσεις και αρμονικότητα

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3960
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Συνευθειακότητα από συγκλίσεις και αρμονικότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Ιαν 26, 2019 5:03 pm

Συνευθειακότητα από συγκλίσεις και αρμονικότητα.png
Συνευθειακότητα από συγκλίσεις και αρμονικότητα.png (42.54 KiB) Προβλήθηκε 439 φορές
Σε κυρτό τετράπλευρο ABCD έστω E\equiv AB\cap CD και Z\equiv AD\cap BC . Από τυχόν σημείο O\in EP με P τυχαίο σημείο της ZF , όπου F\equiv AC\cap BD θεωρούμε ευθεία παράλληλη προς την ZF και επί αυτής εκατέρωθεν του O τα σημεία M,N ώστε O το μέσο της MN και ας είναι M πλησιέστερα του Z .

Να δειχθεί ότι τα σημεία K,L,T είναι συνευθειακά , όπου K\equiv NA\cap PD,L\equiv AC\cap PM και T\equiv PB\cap CN

Στάθης

Υ.Σ. Η πρόταση είναι εμπνευσμένη από εδώ


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 795
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Συνευθειακότητα από συγκλίσεις και αρμονικότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Ιαν 26, 2019 10:35 pm

Συνευθειακότητα από συγκλίσεις και αρμονικότητα.png
Συνευθειακότητα από συγκλίσεις και αρμονικότητα.png (33.59 KiB) Προβλήθηκε 307 φορές
Θα αποδείξουμε πως το σημείο τομής της KT με την AC, έστω L', βρίσκεται πάνω στην ευθεία PM. Έτσι L\equiv L' και τελειώσαμε.

Είναι γνωστό πως η δέσμη P(M, N, Z, O) είναι αρμονική. Άρα αρκεί να αποδειχθεί πως η δέσμη P(L', N, Z, O) είναι αρμονική, δηλαδή η δέσμη P(L', N, F, E).

Έστω πως η PN τέμνει την DB στο S.

Αν αποδείξουμε πως τα σημεία E, L', S είναι συνευθειακά, τότε εύκολα παίρνουμε ότι η F(L', S, P, E) είναι αρμονική, οπότε και P(L', S, F, E) είναι αρμονική, δηλαδή η P(L', N, F, E) και το ζητούμενο έπεται.

Αν ορίσουμε ως L'' την τομή των ES και AC τότε αρκεί τα K, L'', T να είναι συνευθειακά.

Το παραπάνω προκύπτει αν αποδείξουμε πως οι δέσμες P(K, N, L'', T) και N(K, P, L'', T) έχουν ίδιο cross ratio.

Έστω πως η PN τέμνει την AC στο R και η PL'' τέμνει την DB στο Q.

Θα δείξουμε πρώτα ότι τα E, Q, R είναι συνευθειακά.

Πράγματι από το γεγονός ότι η P(L'', S, F, E) είναι αρμονική, έχουμε ότι η διαγώνιος του πλήρες τετραπλεύρου PL''FS.QR, η QR, διέρχεται από το E.

Παρατηρούμε τώρα πως οι διπλοί λόγοι των E(D, S, Q, B) και E(C, L'', R, A) είναι ίσοι.

Όμως οι διπλοί λόγοι των E(D, S, Q, B) και P(K, N, L'', T) είναι ίσοι.

Όπως και οι διπλοί λόγοι των E(C, L'', R, A) και N(T, L'', P, K).

Άρα P(K, N, L'', T) = N(T, L'', P, K) = N(K, P, L'', T).

Το ζητούμενο έπεται.


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες