ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

harrisp · #81

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:10 pm
Θέμα 3 β λυκείου

Συνοπτικά η εκφώνηση $-\pi <x<\pi ,-\frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2}$ να λυθεί $x^{2}+6xcos(xy)+9=0$

Λύση

, $-1\leq n \leq1$
$x^{2}+6nx+9=0$

$\Delta =36n^{2}-36\geq 0\Leftrightarrow n^{2}\geq 1\Rightarrow n\geq 1,n\leq -1$ Από τον περιορισμό του n καταλήγουμε στο $n=\pm 1$
kai μετά συνεχίζουμε όπως πιο πάνω

Μπορούμε να πάρουμε διακρίνουσα;

queenf · #82

Παω β γυμνασιου Ποσα θεματα πιστευετε επρεπε να εχω απαντησει σωστα για να περασω ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #83

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 20, 2019 9:15 am

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:10 pm
Θέμα 3 β λυκείου

Συνοπτικά η εκφώνηση $-\pi <x<\pi ,-\frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2}$ να λυθεί $x^{2}+6xcos(xy)+9=0$

Λύση

, $-1\leq n \leq1$
$x^{2}+6nx+9=0$

$\Delta =36n^{2}-36\geq 0\Leftrightarrow n^{2}\geq 1\Rightarrow n\geq 1,n\leq -1$ Από τον περιορισμό του n καταλήγουμε στο $n=\pm 1$
kai μετά συνεχίζουμε όπως πιο πάνω
Μπορούμε να πάρουμε διακρίνουσα;

Γιατί να μην μπορούμε;

Χριστίνα..: · #84

Εγω έλυσα το πρώτο αλλά λάθος το δεύτερο το β ερώτημα και το τρίτο και πάω β γυμνασίου πως λέτε να τα πήγα;;

Χριστίνα..: · #85

Επίσης ποτε θα βγουν τα αποτελέσματα περίπου;;;

AquaticLand · #86

Καλησπέρα σας!Μπορει Μηπως κανεις να δημιουργήσει ενα poll για κάθε ταξη για να δούμε ποσα θέματα απαντήσαμε πάνω κάτω;
Ευχαριστω

panagiotis iliopoulos · #87

Καλησπέρα σας. Θα προτείνω και εγώ τη δική μου λύση για το θεμα 4 Α Λυκείου.
α) Είναι $BOC\angle =2BAC\angle$ $=120^{0}$ και $OBC\angle =OCB\angle =30^{0}$ . Από νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα BOD, DOC

προκύπτουν οι σχέσεις $\frac{BD}{sinBOD}=\frac{OD}{sin30}$ και $\frac{DC}{sinDOC}=\frac{OD}{sin30}$ άρα ισχύει $\frac{BD}{sinBOD}=\frac{DC}{sinDOC}$ και αφού BD=2DC

και $BOD\angle =120-DOC\angle$ καταλήγουμε μετά από πράξεις στην τριγωνομετρική εξίσωση $tan(DOC)=\frac{\sqrt{3}}{3}$ άρα $DOC\angle =30^{0}$ .
b) 'Εστω BD=2b , DC=b

. $OB=2b*cos30=\sqrt{3}b=OA=OE,AB=\sqrt{2}OA=\sqrt{6}b=BE\Rightarrow (ABE)=3b^{2}$ .
Επίσης, από τη σχέση sin30=2sin15cos15

προκύπτει ότι $sin15=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$ . Επίσης $EC=sin15*AE=\sqrt{6-3\sqrt{3}}b, AC=\sqrt{AE^{2}- EC^{2}}=\sqrt{6+3\sqrt{3}}b\Rightarrow (AEC)=AC*EC/2=3b^{2}/2$
Τέλος, $(ABEC)=(ABE)+(AEC)=3b^{2}+\frac{3b^{2}}{2}=\frac{9b^{2}}{2}=\frac{9}{2}*\frac{a^{2}}{9}=\frac{a^{2}}{2}$ .

sokpanvas · #88

Μία λύση για το θέμα 1 της Γ Λυκείου είναι να επιλέξουμε x=1,2,..9

και να υπολογίσουμε εύκολα το πλήθος

των

ως

#89

ΘΕΜΑ 4- Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Το παρακάτω σχήμα συμπληρώνει απλώς την ωραία λύση του Νίκου εδώ.

είναι το μέσο του $A\Gamma$ και

είναι το μέσο του AB.

(αντί για $\Sigma$ και

).

Ιστοσελίδα · #90

Θέμα 3 β λυκείου

Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη (x,y)

που είναι λύσεις της εξίσωσης $x^2 + 6 x \cos(xy)+9=0$ και ανήκουν στο ορθογώνιο
$D = \left\{ -\pi <x<\pi ,-\frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2}\right\}$ του Καρτεσιανού επιπέδου Oxy

.

Όμορφο θέμα κατά τη γνώμη μου.

Λύση

Θεωρούμε τη διακρίνουσα του τριωνύμου:
$\Delta = 36 \cos^2 (xy) - 36 = 36 (\cos^2 (xy) - 1 )\leq 0$ .

Οπότε, η εξίσωση έχει λύσεις μόνο για $\Delta = 0 \Leftrightarrow \cos(xy) = \pm 1$ .

$\Leftrightarrow \cos(xy) = \cos(0)$ ή $\cos(xy) = \cos \pi \Leftrightarrow$
$xy = 2k\pi$ ή $xy = k\pi , k\in \mathbb{Z}$ .

Συνεπώς $xy = k\pi , \ k \in \mathbb{Z}$ .

Θεωρούμε τώρα τις περιπτώσεις των τεταρτημορίων του δοθέντος ορθογωνίου στο οποίο θέλουμε τις λύσεις:
1ο τεταρτημόριο
Αν $0\leq x\leq \pi , 0\leq y \leq \frac{\pi}{2}$ έχουμε:

$0 \leq xy \leq \frac{\pi^2}{2} \Leftrightarrow 0\leq \pi \leq \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow k = 0 , k =1$
Οπότε $yx = 0\ \eta\ yx = \pi \Leftrightarrow y=0\ \eta\ x=0\ \eta\ yx = \pi$ .

Αν $yx=\pi$ η εξίσωση γίνεται $x^2 - 6x + 9 = 0 \Leftrightarrow (x-3)^2 = 0 \Leftrightarrow x=3$ , οπότε $\fbox{(x,y) = \left(3, \frac{3}{\pi} \right)}$ .

Αν y=0

η εξίσωση γίνεται $x^2 + 6x + 9 = 0 \Leftrightarrow (x+3)^2 = 0 \Leftrightarrow x=-3$ , οπότε $\fbox{(x,y) = \left(-3, 0 \right)}$ η οποία εδώ απορρίπτεται γιατί τώρα δουλεύουμε στο 1ο τεταρτημόριο του ορθογωνίου, αλλά θα προκύψει καθώς θα κάνουμε τα ίδια για το
2ο τεταρτημόριο

Έχουμε ότι : $-\pi \leq x \leq 0, 0 \leq y \leq \frac{\pi}{2}$
οπότε $0 \leq -x \leq \pi \Rightarrow 0 \leq -xy \leq \frac{\pi^2}{2} \Leftrightarrow -\frac{\pi}{2} \leq k \leq 0 \Leftrightarrow k=-1,\ k=0$ .

Οπότε $yx = 0\ \eta\ yx = -\pi \Leftrightarrow y=0\ \eta\ x=0\ \eta\ yx = -\pi$ .

Αν $yx=-\pi$ η εξίσωση γίνεται $x^2 - 6x + 9 = 0 \Leftrightarrow (x-3)^2 = 0 \Leftrightarrow x=3$ , οπότε $\fbox{(x,y) = \left(3, -\frac{3}{\pi} \right)}$ .
Αν y=0

η εξίσωση γίνεται $x^2 + 6x + 9 = 0 \Leftrightarrow (x+3)^2 = 0 \Leftrightarrow x=-3$ , οπότε $\fbox{(x,y) = \left(-3, 0 \right)}$ .

Ομοίως μπορούμε να εργαστούμε για τα άλλα δύο τεταρτημόρια του ορθογωνίου και τελικά οι λύσεις είναι:

$\fbox{(x,y) = \left(-3, 0 \right) , \left(3, -\frac{3}{\pi} \right) , \left(3, \frac{3}{\pi} \right)}$ .

Ιστοσελίδα · #91

Θέμα 2 β λυκείου

Αν οι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί x,y,z

ικανοποιούν τις ισότητες x+2y = y+3z = z + 5x

, να βρείτε:

α) την τιμή των λόγων $\frac{x}{y} , \frac{z}{y}$ .
β) τις τιμές των x,y,z

για τις οποίες η παράσταση x^2 +y^2 + z^2 - 2y -144

παίρνει την ελάχιστη τιμή της.

Λύση

Οι τρεις σχέσεις μπορούν να γραφούν ως ένα ομογενές σύστημα 3Χ3 ως εξής:

$\displaystyle{\displaystyle \left\{\begin{matrix} x + 2y = y + 3z\\ x+2y = z + 5x\\ y+3z = z + 5x \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x + y -3z = 0\\ -4x + 2y -z = 0\\ -5x + y + 2z = 0 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y-3z = 0\\ -13x + 5y = 0 \\ 6y -13 z = 0 \end{matrix} \right. \Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{5}{13}, \frac{z}{y} =\frac{6}{13} }$

Παρατήρηση: Το σύστημα, ως ομογενές, αντιστοιχεί σε τρία επίπεδα που διέρχονται από την αρχή των αξόνων. Βλέπε και σχήμα. Τρία τέτοια επίπεδα είτε έχουν μοναδικό κοινό σημείο την αρχή των αξόνων, είτε έχουν άπειρα κοινά σημεία που βρίσκονται σε μία ευθεία. Αν μεταβάλετε για παράδειγμα το συντελεστή 3 της πρώτης εξίσωσης σε -1 θα δείτε τρία επίπεδα που διέρχονται από μοναδικό κοινό σημείο την αρχή των αξόνων και δεν έχουν άλλο κοινό σημείο.

Τώρα, για την μέγιστη τιμή της παράστασης x^2 +y^2 + z^2 - 2y -144

μπορούμε απλά να αντικαταστήσουμε από τις σχέσεις που βρέθηκαν στο α ερώτημα, οπότε έχουμε:

$x^2 +y^2 + z^2 - 2y -144 = \frac{25}{169}y^2 +y^2 +\frac{36}{169}y^2 - 2y +144 = \frac{230}{169}y^2 - 2y -144$

η οποία είναι μία παραβολή ως προς

και λαμβάνει όντως ελάχιστη τιμή αφού
$a=\frac{230}{169} >0$ για $y = \frac{-b}{2a} = \frac{169}{230}$ .
Με αντικατάσταση προκύπτει ότι η ελάχιστη τιμή δίνεται για $x=\frac{13}{46}, y=\frac{169}{230}, z=\frac{39}{115}$ .
$

harrisp · #92

Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3

Έστω

το μέσο του

. Είναι

.

άρα

Ιστοσελίδα · #93

Συνοψίζοντας τους συνδέσμους με όλες τις λύσεις

Β γυμνασίου
Θέμα 1ο

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 33#p307733

Θέμα 2ο

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 44#p307744

Θέμα 3ο

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 46#p307746

Θέμα 4ο

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 1#p307751

Γ γυμνασίου
Θέμα 1ο

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 0#p307860

Θέμα 2ο

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 0#p307860

Θέμα 3ο

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 1#p307861

Θέμα 4ο

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 0#p307870

Α λυκείου
Θέμα 1ο

Αν οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί a,b

είναι τέτοιοι, ώστε $\displaystyle a^3 + b^3 = 2ab (a+b)$ να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: $K=\frac{a^2}{b^2} +\frac{b^2}{a^2}$ .

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 6#p307706

Θέμα 2ο

Oi Θετικοί ακέραιοι m,n

είναι τέτοιοι, ώστε οι αριθμοί $\frac{50}{3n-2}, \frac{243}{4m -1}$ να είναι θετικοί ακέραιοι.

α) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση:
$\displaystyle A = 2(n+1) - 3(m+2) + 7$
β) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση:
$\displaystyle B = \frac{162}{n^2} -\frac{m^2}{3721}$

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 09#p307709

Θέμα 3ο

Na προσδιορίσετε τους μη μηδενικούς πραγματικούς αριθμούς x,y,z

που ικανοποιούν τις εξισώσεις:
$\displaystyle \frac{y+3x}{xy} = \frac{3z + 5y}{yz} =\frac{5x + z}{zx}=\frac{140}{x^2 + y^2 + z^2}$

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 09#p307709

Θέμα 4ο

Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ , me $\hat{A} = 60^o$ . Η διάμετρος ΑΕ του περιγεγραμμένου κύκλου C(O,R)

, του τριγώνου $AB\Gamma$ τέμνει την πλευρά ΒΓ στο σημείο Δ έτσι, ώστε $B\Delta = 2 \cdot \Delta \Gamma$ .

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 13#p307713

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 41#p307741

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 99#p307799

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 06#p307806

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 40#p307840
Β λυκείου

Θέμα 1ο

Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς την εξίσωση:
$\displaystyle \big| |x+8| - 3x \big| = \frac{x+7}{6} .$

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 11#p307711

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 23#p307823

Θέμα 2ο

Αν οι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί x,y,z

ικανοποιούν τις ισότητες x+2y = y+3z = z + 5x

, να βρείτε:

α) την τιμή των λόγων $\frac{x}{y} , \frac{z}{y}$ .

β) τις τιμές των x,y,z

για τις οποίες η παράσταση x^2 +y^2 + z^2 - 2y -144

παίρνει την ελάχιστη τιμή της.

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 52#p307852

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 40#p307740

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 88#p307788

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 18#p307818

Θέμα 3ο

Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη (x,y)

που είναι λύσεις της εξίσωσης $x^2 + 6 x \cos(xy)+9=0$ και ανήκουν στο ορθογώνιο
$D = \left\{ -\pi <x<\pi ,-\frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2}\right\}$ του Καρτεσιανού επιπέδου Oxy

.

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 08#p307708

Θέμα 4ο

Έστω ΑΒΓΔ τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο C_1 (O,R)

τέτοιο, ώστε $\hat{B}=\hat{\Delta}=90^o$ . Έστω Η το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΔ. Ο κύκλος C_2 (A, AH)

κέντρου Α και ακτίνας ΑΗ τέμνει τον κύκλο C_1 (O,R)

στα σημεία Ι και Κ. Να αποδείξετε ότι ΓΙ=ΓΚ = ΒΔ.

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 10#p307710

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 05#p307805

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 55#p307855

Γ λυκείου

Θέμα 1ο

Να βρειτε πόσοι θετικοί ακέραιοι της μορφής: } $\displaystyle A = \overline{xxxabc} =x\cdot 10^5 + x\cdot 10^4 + x \cdot 10^3 + a\cdot 10^2 + b\cdot 10 + c$ \displaystyle{
όπου x,a,b,c

ψηφία με $x\neq 0$ , διαιρούνται με το

.

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 21#p307821

Θέμα 2ο

Στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxy

οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $y=|mx+4| + |mx-4|,\ m>0$ και y=12

ορίζουν κυρτό επίπεδο σχήμα του οποίου το εμβαδό ισούται με

τ.μ. Να προσδιορίσετε την τιμή της πραγματικής παραμέτρου m>0

.

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 25#p307825

Θέμα 3ο

Δίνεται η αλγεβρική παράσταση

$\displaystyle A=\sqrt{3 \left |4-x^2 \right |^2 -2x^4+16x^2-32}$

Να απλοποιήσετε την παράσταση

και να βρείτε το πλήθος των πραγματικών λύσεων της εξίσωσης
A=ax+4

, για κάθε τιμή της παραμέτρου $a \in \mathbb{R}$ .

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 90#p307790

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 17#p307817

Θέμα 4ο

Θεωρούμε τετράπλευρο ΑΒΓΔ τέτοιο, ώστε $\hat{A} = \hat{B}<90^o$ και $A\Delta + B\Gamma = \Gamma\Delta$ . Η παράλληλη ευθεία προς την πλευρά ΑΔ από το μέσο Ε της πλευράς ΓΔ τέμνει την πλευρά ΑΒ στο σημείο Ζ. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΓΔΖ τέμνει τις ευθείες ΑΔ και ΒΓ στα σημεία Κ και Λ αντίστοιχα. Αν οι ευθείες ΓΚ και ΔΛ τέμνονται στο σημείο Θ και οι ευθείες ΑΔ και ΒΓ τέμνονται στο σημείο Μ, να αποδείξετε ότι η ευθεία ΜΘ είναι κάθετη προς την ευθεία ΓΔ.

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 43#p307743

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 49#p307749

Edit: Γιώργο Ρίζο ευχαριστούμε για τη συμπλήρωση των τελευταίων λύσεων. Θα το έκανα, όπως και για τις εκφωνήσεις, αλλά από αύριο γιατί έπρεπε να τελειώσω κάτι διορθώσεις σήμερα !

GeorgeSal · #94

Έχω μία ερώτηση...Είμαι μαθητής της Α' Λυκείου και στο 1ο θέμα πήρα και την περιίπτωση που a+b=0 (λόγω απροσεξίας)...Πόσες μονάδες πιστεύετε ότι θα μου αφαιρεθούν;

#95

polysot έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 20, 2019 5:03 pm
Συνοψίζοντας τους συνδέσμους με όλες τις λύσεις

Γ γυμνασίου
Θέμα 1ο

Θέμα 2ο

Θέμα 3ο

Θέμα 4ο

Για λόγους πληρότητας κι επειδή ως τώρα 20-1-2019, 18:30

δεν υπάρχουν επίσημες λύσεις στην ιστοσελίδα της ΕΜΕ, δίνω κάποιες απαντήσεις στα θέματα της Γ΄ Γυμνασίου.

: Ευκλείδης Γ΄Γυμνασίου 2018-2019 1ο.jpg (20.2 KiB) Προβλήθηκε 2849 φορές

Επειδή είναι $\displaystyle \alpha + \beta + \gamma = - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = 0$ , από ταυτότητα του Euler, είναι

$\displaystyle {\alpha ^3} + {\beta ^3} + {\gamma ^3} = 3\alpha \beta \gamma$ , οπότε $\displaystyle {\rm A} = \alpha + \beta - \gamma = - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$

Εναλλακτικά, κάνουμε τις υψώσεις και τις πράξεις …

: Ευκλείδης Γ΄Γυμνασίου 2018-2019 2ο.jpg (28.13 KiB) Προβλήθηκε 2849 φορές

Είναι $\displaystyle 63000 = 7 \cdot {5^3} \cdot {3^2} \cdot {2^3}$ , οπότε ο μικρότερος ακέραιος του οποίου τα ψηφία έχουν γινόμενο 63000

είναι εξαψήφιος και είναι ο 555789

.

Ο μικρότερος επταψήφιος ακέραιος του οποίου τα ψηφία έχουν γινόμενο 63000

είναι ο

. Πράγματι, αν αναλύσουμε το

σε $2\cdot4$ , τότε ο επταψήφιος θα έχει ψηφίο εκατομμυρίων το

.

Δεν μπορούμε να βρούμε τον μεγαλύτερο ακέραιο του οποίου τα ψηφία έχουν γινόμενο 63000

, αφού μπορούμε να προσθέσουμε όσες φορές θέλουμε το

στα ψηφία του.

#96

: Ευκλείδης Γ΄Γυμνασίου 2018-2019 3ο.jpg (41.28 KiB) Προβλήθηκε 2844 φορές

Οι γωνίες είναι εγγεγραμμένες και βαίνουν στο τόξο $\displaystyle \mathop {\Gamma \Delta }\limits^ \cap = 90^\circ$ , αφού η αντίστοιχη επίκεντρη είναι η $\displaystyle \widehat {\Gamma {\rm O}\Delta }$ , άρα $\displaystyle \widehat {\Gamma {\rm A}\Delta } = \widehat {\Gamma {\rm B}\Delta } = 45^\circ$ .

Είναι $\displaystyle \widehat {{\rm A}\Delta {\rm B}} = 90^\circ$ , ως εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο, άρα και $\displaystyle \widehat {{\rm E}\Delta {\rm A}} = 90^\circ$ , οπότε το $\displaystyle {\rm E}{\rm A}\Delta$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα $\displaystyle {\rm E}\Delta = {\rm A}\Delta$ .

Για τον ίδιο λόγο και το $\displaystyle {\rm B}{\rm Z}\Delta$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα και $\displaystyle {\rm Z}\Delta = \Delta {\rm B}$ .

Από την ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων $E{\rm Z}\Delta$ και ${\rm A}{\rm B}\Delta$ , είναι $\displaystyle {\rm E}{\rm Z} = {\rm A}{\rm B} = 2R$

#97

: Ευκλείδης Γ΄Γυμνασίου 2018-2019 4ο.jpg (42.34 KiB) Προβλήθηκε 2820 φορές

Φαντάζομαι θα υπάρχει και απλούστερη προσέγγιση.

Έστω ότι εμφανίζονται

φορές το

και

φορές το

Προσθέτοντας τις δέκα τριάδες έχουμε

$\displaystyle 6\left( {A + B + \Gamma + \Delta + E} \right) = 15\kappa + 13\left( {10 - \kappa } \right) = 130 + 2\kappa$

οπότε $\displaystyle 3\left( {A + B + \Gamma + \Delta + E} \right) - 65 = \kappa$

και αφού $\displaystyle 1 < \kappa < 10$ είναι

$\displaystyle 1 < 3\left( {A + B + \Gamma + \Delta + E} \right) - 65 < 10 \Leftrightarrow 22 < {\rm A} + {\rm B} + \Gamma + \Delta + {\rm E} < 25$

Έστω $\displaystyle {\rm A} + {\rm B} + \Gamma = 15$ οπότε $\displaystyle 7 < \Delta + {\rm E} < 10 \Rightarrow \Delta + {\rm E} = 8\;\;\; \vee \;\;\Delta + {\rm E} = 9$

Αν $\displaystyle \Delta + {\rm E} = 8$ , τότε $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {\rm A} = 7\;\; \vee \;\;{\rm A} = 5\\ {\rm B} = 7\;\; \vee \;\;{\rm B} = 5\\ \Gamma = 7\;\; \vee \;\;\Gamma = 5 \end{array} \right.$ με δεκτή την περίπτωση $\displaystyle {\rm A} = {\rm B} = \Gamma = 5$ .
Τότε $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \Delta = 3\;\; \wedge \;\;{\rm E} = 5\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vee \\ \Delta = 5\;\; \wedge \;\;{\rm E} = 3 \end{array} \right.$
Αν $\displaystyle \Delta + {\rm E} = 9$ , τότε $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {\rm A} = 6\;\; \vee \;\;{\rm A} = 4\\ {\rm B} = 6\;\; \vee \;\;{\rm B} = 4\\ \Gamma = 6\;\; \vee \;\;\Gamma = 4 \end{array} \right.$ αδύνατο.

Έστω $\displaystyle {\rm A} + {\rm B} + \Gamma = 13$ οπότε $\displaystyle 9 < \Delta + {\rm E} < 12 \Rightarrow \Delta + {\rm E} = 10\;\;\; \vee \;\;\Delta + {\rm E} = 11$

Αν $\displaystyle \Delta + {\rm E} = 10$ , τότε $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {\rm A} = 3\;\; \vee \;\;{\rm A} = 5\\ {\rm B} = 3\; \vee \;\;{\rm B} = 5\\ \Gamma = 3\;\; \vee \;\;\Gamma = 5 \end{array} \right.$ με δεκτή την περίπτωση $\displaystyle {\rm A} = {\rm B} = 5\;\; \vee \;\;\Gamma = 3$

ή αντίστοιχα $\displaystyle {\rm A} = 3,\;{\rm B} = \Gamma = 5\;\;\; \vee \;\;{\rm B} = 3,\;{\rm A} = \Gamma = 5$ .

Τότε $\displaystyle \Delta = 5\;\; \wedge \;\;{\rm E} = 5$ .

Αν $\displaystyle \Delta + {\rm E} = 11$ , τότε $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {\rm A} = 2\;\; \vee \;\;{\rm A} = 4\\ {\rm B} = 2\;\; \vee \;\;{\rm B} = 4\\ \Gamma = 2\;\; \vee \;\;\Gamma = 4 \end{array} \right.$ αδύνατο.

#98

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 20, 2019 6:45 pm
Ευκλείδης Γ΄Γυμνασίου 2018-2019 4ο.jpg

Φαντάζομαι θα υπάρχει και απλούστερη προσέγγιση.

Ας υποθέσουμε ότι τρεις από τους αριθμούς είναι διαφορετικοί μεταξύ τους, έστω οι $\Gamma,\Delta,E$ . Τότε τα $A+B+\Gamma,A+B+\Delta,A+B+E$ είναι διαφορετικά μεταξύ τους, άτοπο.

Προφανώς δεν μπορούν να είναι όλοι οι αριθμοί ίσοι μεταξύ τους. Άρα έχουμε ακριβώς δύο διαφορετικούς αριθμούς. Ο ένας από αυτούς θα εμφανίζεται τουλάχιστον τρεις φορές, έστω ο

. Τότε η μία από τις τριάδες έχει άθροισμα x+x+x

. Πρέπει λοιπόν x=5

. Έστω ότι ο άλλος αριθμός είναι το

. Τότε μια άλλη τριάδα έχει άθροισμα x+x+y

οπότε πρέπει y=3

. Το

εμφανίζεται μόνο μία φορά αφού αλλιώς θα είχαμε και το άθροισμα 5+3+3 = 11

, άτοπο.

Άρα οι αριθμοί μας είναι οι 5,5,5,5,3

με κάποια σειρά.

Βασίλης Καλαμάτας · #99

Καλημέρα, μια λίγο διαφορετική αντιμετώπιση στο Πρόβλημα 3 της Β Γυμνασίου, κυρίως για την καλύτερη προετοιμασία των μαθητών που θα διαβάσουν στο μέλλον αυτά τα θέματα για τους αντίστοιχους διαγωνισμούς που θα γράψουν.

Έστω

οι κολώνες που θα μπουν σε μια από τις μεγαλύτερες πλευρές της πλατείας και

οι κολώνες που θα μπουν σε μια από τις μικρότερες πλευρές της πλατείας, τότε από τα δεδομένα ισχύει x=2y

.

Επειδή το συνολικό πλήθος από τις κολώνες είναι 182, ισχύει 2x+2y-4=182

(τις 4 κολώνες που βάλαμε στις γωνίες στο άθροισμα 2x+2y

τις έχουμε μετρήσει 2 φορές, για αυτό και πρέπει να αφαιρέσουμε 4).

Τότε 2x+2y=186

, άρα

και από την προηγούμενη σχέση 2y+y=93

, δηλαδή

, άρα

και

.

Τελικά στη μεγαλύτερη πλευρά της πλατείας βάλαμε 62 κολώνες που δημιουργούν 61 διαστήματα των 4 μέτρων, οπότε η μεγαλύτερη πλευρά έχει μήκος 61 επί 4, δηλαδή 244 μέτρα, ενώ στη μικρότερη πλευρά της πλατείας βάλαμε 31 κολώνες που δημιουργούν 60 διαστήματα των 4 μέτρων, οπότε η μικρότερη πλευρά έχει μήκος 30 επί 4, δηλαδή 120 μέτρα.

Καλά αποτελέσματα και καλή επιτυχία σε όλους τους μαθητές!!!

Altrian · #100

Demetres έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 20, 2019 10:40 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 20, 2019 6:45 pm
Ευκλείδης Γ΄Γυμνασίου 2018-2019 4ο.jpg

Φαντάζομαι θα υπάρχει και απλούστερη προσέγγιση.

Ας υποθέσουμε ότι τρεις από τους αριθμούς είναι διαφορετικοί μεταξύ τους, έστω οι $\Gamma,\Delta,E$ . Τότε τα $A+B+\Gamma,A+B+\Delta,A+B+E$ είναι διαφορετικά μεταξύ τους, άτοπο.

Προφανώς δεν μπορούν να είναι όλοι οι αριθμοί ίσοι μεταξύ τους. Άρα έχουμε ακριβώς δύο διαφορετικούς αριθμούς. Ο ένας από αυτούς θα εμφανίζεται τουλάχιστον τρεις φορές, έστω ο . Τότε η μία από τις τριάδες έχει άθροισμα . Πρέπει λοιπόν . Έστω ότι ο άλλος αριθμός είναι το . Τότε μια άλλη τριάδα έχει άθροισμα οπότε πρέπει . Το εμφανίζεται μόνο μία φορά αφού αλλιώς θα είχαμε και το άθροισμα , άτοπο.

Άρα οι αριθμοί μας είναι οι με κάποια σειρά.

Γ Γυμνασίου 4.
Κάπως διαφορετικά
1. Κατ' αρχήν δεν μπορεί να υπάρχει κανείς ζυγός (Ζ) στην πεντάδα γιατί τότε σχηματίζεται σε κάθε περίπτωση κάποια τριάδα με άρτιο άθροισμα. Αρα όλοι μονοί (Μ).
2. Εφόσον δύο τριάδες με δύο κοινά χαρτιά και ένα διαφορετικό μπορεί να διαφέρουν ως προς το άθροισμα το πολύ κατά

, τότε τα διαφορετικά χαρτιά θα διαφέρουν κατά

το πολύ. Επειδή αυτό θα ισχύει σε κάθε δύο τέτοιες τριάδες σημαίνει ότι το ελάχιστο και το μέγιστο από τα

χαρτιά θα διαφέρουν το πολύ κατά

.
Από τις 1,2 έχουμε ότι οι πιθανές τιμές των χαρτιών είναι δύο διαδοχικοί μονοί αριθμοί και εν προκειμένω

ή

Ετσι εύκολα με δοκιμές προκύπτει ότι οι αποδεκτές πεντάδες είναι η εξής μία: 3,5,5,5,5

με τυχαία σειρά.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Μέλη σε σύνδεση