ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 993
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#61

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Ιαν 19, 2019 6:56 pm

Γ' Λυκείου

Πρόβλημα 3 Δίνεται η αλγεβρική παράσταση A=\sqrt{3 \left |4-x^2 \right |^2 -2x^4+16x^2-32}
Να απλοποιήσετε την παράσταση A και να βρείτε το πλήθος των πραγματικών λύσεων της εξίσωσης
A=ax+4, για κάθε τιμή της παραμέτρου a \in \mathbb{R}.

Λύση:
Η παράσταση γράφεται ισοδύναμα

A=\sqrt{3 \left |4-x^2 \right |^2 -2x^4+16x^2-32} = \sqrt{3 \left (4-x^2 \right )^2 -2\left (x^4-8x^2+16 \right )} =\sqrt{3 \left (4-x^2 \right )^2 -2\left (x^2-4\right )^2}=

=\sqrt{\left (x^2-4\right )^2} = \left |x^2-4 \right |.

1. Για x^2-4 \geq 0 \Leftrightarrow  x \in \left (-\infty , -2 \right ] \cup \left [2, +\infty \left ) η εξίσωση γράφεται

ax+4=x^2-4 \Leftrightarrow a=x-\dfrac{8}{x}

Ο αριθμός των λύσεων της παραπάνω εξίσωσης αντιστοιχεί με τα σημεία τομής της ευθείας y=a και της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x) =x-\dfrac{8}{x}. Για την f(x) είναι f^{\prime}(x) = 1+\dfrac{8}{x^2} > 0. Οπότε είναι γνησίως αύξουσα σε καθέ ένα από τα διαστήματα ορισμού της και θα τέμενει σε μοναδικό σημείο την y=a σε καθένα από αυτά. Σχεδιαζουμε την γραφική παράστασή της
eukleidhs_2019_glukeiou_pr3.png
eukleidhs_2019_glukeiou_pr3.png (20.46 KiB) Προβλήθηκε 1289 φορές
απλή εποπτεία της οποίας μας δίνει τον αριθμό των λύσεων για τις διάφορες τιμές του a.

Δυο λύσεις αν -2\leq  a\leq 2.
Μια λύση αν a >2 ή a <-2


2. Για x^2-4 <0 \Leftrightarrow  x \in \left (-2,2 \right ) η εξίσωση γίνεται ax+4=-x^2+4 \Leftrightarrow x^2+ax=0 \Leftrightarrow x(x+a)=0 \Leftrightarrow x=0 ή x=-a.
Οπότε σε αυτή την περίπτωση έχουμε:
Mια λύση αν a=0
Δυο λύσεις αν a \in \left (-2, 0\right) \cup \left (0, 2 \right)

Συνοψίζοντας τις περιπτώσεις (1),(2) έχουμε τελικά

Δυο ρίζες αν a \in \left (-\infty , -2 \right ) \cup \left (2, +\infty \left )
Τρεις ρίζες αν a \in \left \{-2,2,0 \right \}
Τέσσερις ρίζες αν a \in \left (-2, 0\right) \cup \left (0, 2 \right)
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Σάβ Ιαν 19, 2019 10:14 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Eleftheria
Δημοσιεύσεις: 28
Εγγραφή: Τρί Οκτ 04, 2016 3:07 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#62

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eleftheria » Σάβ Ιαν 19, 2019 6:58 pm

Για τη β λυκείου τι πιστεύετε; Που θα κυμανθούν οι βάσεις;


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#63

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιαν 19, 2019 7:04 pm

Eleftheria έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 6:58 pm
Για τη β λυκείου τι πιστεύετε; Που θα κυμανθούν οι βάσεις;
Όχι πάλι η ίδια συζήτηση.....!

Παρακαλούμε θερμά, οι αναρτήσεις να περιορισθούν σε λύσεις και παρατηρήσεις επί των θεμάτων.

Φιλικά,

Αχιλλέας


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#64

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιαν 19, 2019 7:10 pm

thanos-mathimatika έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 6:38 pm
giannis_drav έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 5:39 pm
Οι επίσημες λύσεις της ΕΜΕ έχουν αναρτηθεί και δεν δίνουν για κάθε τιμή του α τουλάχιστον δύο ρίζες. - Γ' λυκείου
Αυτή τη στιγμή στις 18:40 οι λύσεις στο site της ΕΜΕ δεν ανοίγουν.....μάλλον τις κατέβασαν για να διορθώσουν τα λάθη??
Δεν μπορούμε να γνωρίζουμε στο forum γιατί οι λύσεις δεν ανοίγουν στο site της ΕΜΕ, μπορούμε;

Επίσης, εν τω μεταξύ, έχετε όλο το χρόνο να ανεβάσετε κάποια λύση σας εδώ. :)

Φιλικά,

Αχιλλέας


LeoKoum
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 12, 2017 2:33 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#65

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από LeoKoum » Σάβ Ιαν 19, 2019 7:42 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 6:56 pm
Γ' Λυκείου

Πρόβλημα 3 Δίνεται η αλγεβρική παράσταση A=\sqrt{3 \left |4-x^2 \right |^2 -2x^4+16x^2-32}
Να απλοποιήσετε την παράσταση A και να βρείτε το πλήθος των πραγματικών λύσεων της εξίσωσης
A=ax+4, για κάθε τιμή της παραμέτρου a \in \mathbb{R}.

Λύση:

Η παράσταση γράφεται ισοδύναμα

A=\sqrt{3 \left |4-x^2 \right |^2 -2x^4+16x^2-32} = \sqrt{3 \left (4-x^2 \right )^2 -2\left (x^4-8x^2+16 \right )} =\sqrt{3 \left (4-x^2 \right )^2 -2\left (x^2-4\right )^2}=

=\sqrt{\left (x^2-4\right )^2} = \left |x^2-4 \right |.

1. Για x^2-4 \geq 0 \Leftrightarrow  x \in \left (-\infty , -2 \right ] \cup \left [2, +\infty \left ) η εξίσωση γράφεται

ax+4=x^2-4 \Leftrightarrow a=x-\dfrac{8}{x}

Ο αριθμός των λύσεων της παραπάνω εξίσωσης αντιστοιχεί με τα σημεία τομής της ευθείας y=a και της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x) =x-\dfrac{8}{x}. Για την f(x) είναι f^{\prime}(x) = 1+\dfrac{8}{x^2} > 0. Οπότε είναι γνησίως αύξουσα σε καθέ ένα από τα διαστήματα ορισμού της και θα τέμενει σε μοναδικό σημείο την y=a σε καθένα από αυτά. Σχεδιαζουμε την γραφική παράστασή της

eukleidhs_2019_glukeiou_pr3.png

απλή εποπτεία της οποίας μας δίνει τον αριθμό των λύσεων για τις διάφορες τιμές του a.

Δυο λύσεις αν -2\leq  a\leq 2.
Μια λύση αν a >2 ή a <-2


2. Για x^2-4 <0 \Leftrightarrow  x \in \left (-2,2 \right ) η εξίσωση γίνεται ax+4=-x^2+4 \Leftrightarrow x^2+ax=0 \Leftrightarrow x(x+a)=0 \Leftrightarrow x=0 ή x=-a.
Οπότε σε αυτή την περίπτωση έχουμε:
Mια λύση αν a=0
Δυο λύσεις αν a \in \left (-2, 0\right) \cup \left (0, 2 \right)

Συνοψίζοντας τις περιπτώσεις (1),(2) έχουμε τελικά

Μία ρίζα αν a \in \left (-\infty , -2 \right ) \cup \left (2, +\infty \left )
Δυο ρίζες αν a \in \left \{-2,2 \right \}
Τρεις ρίζες αν a=0
Τέσσερις ρίζες αν a \in \left (-2, 0\right) \cup \left (0, 2 \right)

Τι να πω. Παντως εγω βρηκα οτι για ολους τους πραγματικους α η εξισωση εχει τουλαχιστον 2 πραγματικες ριζες. για παραδειγμα για α=7 η εξισωση εχει 2 ακριβως ριζες τις χ=0 και χ=8 και για α=-7 χ=0 και χ=-8
τελευταία επεξεργασία από LeoKoum σε Σάβ Ιαν 19, 2019 7:52 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#66

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιαν 19, 2019 7:50 pm

ΘΕΜΑ 4-Α ΛΥΚΕΙΟΥ

(α) (Άλλος τρόπος από αυτόν που δώσαμε εδώ)

Εάν N είναι το μέσο του τόξου B\Gamma που δεν περιέχει το A, τότε το OBN\Gamma είναι ρόμβος,ως παραλληλόγραμμο με κάθετες διαγωνίους (ή απλώς επειδή όλες οι πλευρές του είναι ίσες με την ακτίνα).

Αφού το \Delta διαιρεί τη διάμεσο \Gamma M σε λόγο 2:1 είναι το βαρύκεντρο του ισόπλευρου τριγώνου NO\Gamma.

Συνεπώς, η O\Delta διχοτομεί την γωνία N\widehat{O}\Gamma=60^\circ κι άρα \Delta\widehat{O}\Gamma=30^\circ

Φιλικά,

Αχιλλέας
Συνημμένα
euclid_A_2019_no4_2.png
euclid_A_2019_no4_2.png (25.27 KiB) Προβλήθηκε 1235 φορές


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 993
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#67

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Ιαν 19, 2019 8:16 pm

LeoKoum έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 7:42 pm

Τι να πω. Παντως εγω βρηκα οτι για ολους τους πραγματικους α η εξισωση εχει τουλαχιστον 2 πραγματικες ριζες. για παραδειγμα για α=7 η εξισωση εχει 2 ακριβως ριζες τις χ=0 και χ=8 και για α=-7 χ=0 και χ=-8
Μάλλον έχεις δίκιο θα το κοιτάξω αργότερα...


Eleftheria
Δημοσιεύσεις: 28
Εγγραφή: Τρί Οκτ 04, 2016 3:07 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#68

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eleftheria » Σάβ Ιαν 19, 2019 8:42 pm

Πώς μπορώ να δώσω μια λύση;


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#69

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιαν 19, 2019 9:12 pm

ΘΕΜΑ 4- Β ΛΥΚΕΙΟΥ

**********************************************************************************************
Το πρόβλημα αυτό βγαίνει άμεσα από τις παρακάτω "γνωστές" ιδιότητες του ορθόκεντρου ενός τριγώνου:

(1) Το συμμετρικό του ορθόκεντρου ενός τριγώνου ως προς (κάθε) πλευρά του ανήκει στον περιγεγραμμένο κυκλο του τριγώνου.

(2) Αν A' είναι το αντιδιαμετρικό σημείο της κορυφής A τριγώνου AB\Gamma, τότε το τετράπλευρο HBA'\Gamma είναι παραλληλόγραμμο.

**********************************************************************************************

Λύση: Από την ιδιότητα (1), τα συμμετρικά σημεία I' και K' του H ως προς τις πλευρές AB και A\Delta είναι συνευθειακά με τα H,\Delta και H,B αντίστοιχα, και θα ανήκουν στον C_1(O,R). Επίσης, ισχύει AI'=AH=AK', κι άρα θα ταυτίζονται με τα I και K, αντίστοιχα.

Έτσι, τα τμήματα \Gamma I και \Gamma K είναι εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου C_2(A,AH) από το \Gamma, αφού \Gamma\widehat{I}A=90^\circ=\Gamma\widehat{K}A, κι άρα είναι ίσα.

Από την ιδιότητα (2), αφού το \Gamma είναι αντιδιαμετρικό του A, το τετράπλευρο HB\Gamma\Delta είναι παραληλόγραμμο. Βέβαια, ο ισχυρισμός αυτός έπεται άμεσα αφού \Gamma B\perp AB, \Delta H\perp AB και BH\perp A\Delta, \Gamma\Delta\perp A\Delta.

Συνεπώς, το B\Gamma\Delta K είναι ισοσκελές τραπέζιο, αφού BK//\Gamma\Delta και B\Gamma=\Delta H=\Delta K, κι άρα B\Delta=\Gamma K=\Gamma I.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Συνημμένα
euclid_B_2019_no4.png
euclid_B_2019_no4.png (28.31 KiB) Προβλήθηκε 1164 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10950
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#70

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 19, 2019 9:24 pm

Α Λυκείου Θέμα 4 ( Γεωμετρία) .
A4.png
A4.png (13.58 KiB) Προβλήθηκε 1146 φορές
Επικεντρώνουμε στο τρίγωνο OB\Delta . Λόγω της 30^0 - ρας και Π.Θ. ( επιτρέπεται ; ) ,

βρίσκουμε B\Gamma=R\sqrt{3} και το τρίγωνο προκύπτει ορθογώνιο ...


AquaticLand
Δημοσιεύσεις: 7
Εγγραφή: Κυρ Ιουν 17, 2018 3:58 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#71

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AquaticLand » Σάβ Ιαν 19, 2019 9:53 pm

Γειά σας!Ξέρει μήπως κανείς από ποιά ιστοσελίδα μπορούμε να δούμε το σχέδιο βαθμολόγησης όταν ανακοινωθεί;
Ευχαριστώ


Cauchy7
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Κυρ Ιουν 25, 2017 1:57 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#72

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Cauchy7 » Σάβ Ιαν 19, 2019 10:03 pm

Καλησπέρα μέλη του Mathematica!! Πώς σας φάνηκαν τα θέματα της Β Λυκείου; Συγκριτικά με τα περσινά, τι άποψη έχετε ;


thanos-mathimatika
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 19, 2019 5:14 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#73

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thanos-mathimatika » Σάβ Ιαν 19, 2019 10:11 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 6:56 pm
Γ' Λυκείου



Συνοψίζοντας τις περιπτώσεις (1),(2) έχουμε τελικά

Δυο ρίζες αν a \in \left (-\infty , -2 \right ) \cup \left (2, +\infty \left )
Δυο ρίζες αν a \in \left \{-2,2 \right \}
Τρεις ρίζες αν a=0
Τέσσερις ρίζες αν a \in \left (-2, 0\right) \cup \left (0, 2 \right)
Συμφωνώ στα αποτελέσματα εκτός για α=2 ή α=-2

π.χ. για α =2 η εξίσωση γίνεται |4-x^2|=2x+4 η οποία έχει ξεκάθαρα 3 λύσεις.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 993
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#74

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Ιαν 19, 2019 10:18 pm

thanos-mathimatika έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 10:11 pm
Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 6:56 pm
Γ' Λυκείου



Συνοψίζοντας τις περιπτώσεις (1),(2) έχουμε τελικά

Δυο ρίζες αν a \in \left (-\infty , -2 \right ) \cup \left (2, +\infty \left )
Δυο ρίζες αν a \in \left \{-2,2 \right \}
Τρεις ρίζες αν a=0
Τέσσερις ρίζες αν a \in \left (-2, 0\right) \cup \left (0, 2 \right)
Συμφωνώ στα αποτελέσματα εκτός για α=2 ή α=-2

π.χ. για α =2 η εξίσωση γίνεται |4-x^2|=2x+4 η οποία έχει ξεκάθαρα 3 λύσεις.
Ναι σωστά, διόρθωσα και την αρχική ανάρτησή μου. Νομίζω η απάντηση είναι, αν δεν έχω αφήσει λάθος
Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 6:56 pm
Γ' Λυκείου

Συνοψίζοντας τις περιπτώσεις (1),(2) έχουμε τελικά

Δυο ρίζες αν a \in \left (-\infty , -2 \right ) \cup \left (2, +\infty \left )
Τρεις ρίζες αν a \in \left \{-2,2,0 \right \}
Τέσσερις ρίζες αν a \in \left (-2, 0\right) \cup \left (0, 2 \right)


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8511
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#75

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιαν 19, 2019 10:29 pm

Πρόβλημα-3 Γ Λυκείου
Γ Λυκείου 2019.png
Γ Λυκείου 2019.png (15.41 KiB) Προβλήθηκε 1075 φορές
Η ευθεία y=ax+4 στο σχήμα, περιστρέφεται γύρω απ' το σημείο (0,4) (εξαιρουμένης της κατακόρυφης).

Είναι φανερό ότι τέμνει την καμπύλη A=|x^2-4| τουλάχιστον σε δύο σημεία (από δύο έως και τέσσερα).

Αυτή δεν είναι λύση, απλώς μία διαπίστωση.


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#76

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιαν 19, 2019 10:40 pm

ΘΕΜΑ 2- Β ΛΥΚΕΙΟΥ

(α) Είναι y=3z-x και y=5x-2z. Εξισώνοντας τα δεξιά μέλη παίρνουμε

3z-x=5x-2z, κι άρα z=\dfrac{6x}{5}.

Έτσι, y=5x-\dfrac{12x}{5}=\dfrac{13x}{5}.

Εύκολα έπεται ότι \dfrac{x}{y}=\dfrac{5}{13} και \dfrac{z}{y}=\dfrac{6}{13}.


(β) Αν εργαστούμε συναρτήσει του x οι πράξεις είναι (ίσως) πιο εύκολες.

Έχουμε y=\dfrac{13x}{5} και z=\dfrac{6x}{5}.

Η παράσταση x^2+y^2+z^2-2y-144 είναι ίση με

\dfrac{25x^2+169x^2+36x^2}{25}-\dfrac{26x}{5}-144=\dfrac{46x^2}{5}-\dfrac{26x}{5}-144

και άρα παρουσιάζει ελάχιστο για x=-\dfrac{-26/5}{2\cdot (46/5)}=\dfrac{13}{46}, και

y=\dfrac{13}{5}\cdot \dfrac{13}{46}=\dfrac{169}{230} και z=\dfrac{6}{5}\cdot \dfrac{13}{46}=\dfrac{39}{115.}

Φιλικά,

Αχιλλέας


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#77

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιαν 19, 2019 11:10 pm

ΘΕΜΑ 1- Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Παρατηρούμε ότι 111=3\cdot 37, και άρα ο

A=111000x+\overline{abc}=37\cdot 3000x+\overline{abc}

είναι πολλαπλάσιο του 37 αν και μόνο αν ο \overline{abc} είναι πολλαπλάσιο του 37.

Αφού 999=9\cdot 111=27\cdot 37, υπάρχουν 28 αριθμοί της μορφής \overline{abc} που είναι πολ/σια του 37, οι:

\overline{000}, \overline{037}, ..., \overline{999}.

Αφού το x μπορεί να λάβει 9 δυνατές τιμές: 1,2,\dots, 9, υπάρχουν συνολικά 9\cdot 28=252 τέτοιοι αριθμοί A.


Helenkallits
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 19, 2019 5:21 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#78

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Helenkallits » Σάβ Ιαν 19, 2019 11:33 pm

Τις λύσεις τις έσβησαν και λογικά θα τις ανεβάσουν ξανά χωρίς λάθη.


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#79

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Ιαν 20, 2019 12:13 am

ΘΕΜΑ 1- Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μετά την ενδεδειγμένη λύση του Γιώργου εδώ, ας δώσουμε μια εναλλακτική.

Η λύση αυτή βασίζεται στην εύρεση των τιμων που μηδενίζουν τις παραστάσεις μέσα στα "απόλυτα": x+8 και |x+8|-3x και τη διάκριση περιπτώσεων στη συνέχεια.

Λύση. Προφανώς x+8=0\iff x=-8 και εύκολα βρίσκουμε |x+8|=3x\iff x=4.

Έχουμε τις περιπτώσεις:

1) x\geq 4

Τότε |x+8|=x+8\leq 3x, κι άρα η εξίσωση γίνεται 2x-8=\dfrac{x+7}{6}, που δίνει x=5 (δεκτή).

2) -8\leq x< 4.

Τότε 3x<x+8=|x+8|, οπότε η εξίσωση γράφεται (x+8)-3x=\dfrac{x+7}{6}, ή ισοδύναμα

8-2x=\dfrac{x+7}{6}, που δίνει x=\dfrac{41}{13}<4 (δεκτή).

3) x<-8.

Η εξίσωση είναι αδύνατη αφού τότε x+7<0.

Φιλικά,

Αχιλλέας


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

#80

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Ιαν 20, 2019 1:22 am

ΘΕΜΑ 2-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Παρατηρούμε ότι

y=|mx+4|+|4-mx|\geq |mx+4+4-mx|=8

με το ίσο αν και μόνο αν (mx+4)(4-mx)\geq 0 από την τριγωνική ανισότητα, δηλαδή, αφού m>0, αν και μόνο αν

-\dfrac{4}{m}\leq x\leq \dfrac{4}{m}.

Αν mx<-4, τότε y=-(mx+4)+4-mx=-2mx, ενώ αν mx>4, τότε y=(mx+4)+(mx-4)=2mx.

Συνεπώς, οι κορυφές A_i(x_i,y_i) του πολυγώνου είναι A_1(-\dfrac{6}{m},12), A_2(\dfrac{6}{m},12), A_3(\dfrac{4}{m},8), A_4(-\dfrac{4}{m},8).

Το εμβαδό του πολυγώνου μπορεί να υπολογιστεί ως εμβαδό τραπεζίου.

Γενικότερα, όμως, από shoelace formula, αφού y_2=y_1=12 και y_4=y_3=8, το εμβαδό του είναι

 
\begin{aligned} 
A&=\dfrac{1}{2}\Big_|x_1(y_2-y_4)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_4-y_2)+x_4(y_1-y_3)\Big_|\\ 
&=\dfrac{1}{2}\Big_|4x_1-4x_2-4x_3+4x_4\Big_|\\ 
&=2\Big_|x_1-x_2-x_3+x_4\Big_|\\ 
&=2\Big_|-\dfrac{6}{m}-\dfrac{6}{m}-\dfrac{4}{m}-\dfrac{4}{m}\Big_|\\ 
&=\dfrac{40}{m}\\ 
\end{aligned}

Άρα, αφού A=20, έπεται ότι m=2.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες