ΘΕΜΑ 4- Β ΛΥΚΕΙΟΥ
**********************************************************************************************
Το πρόβλημα αυτό βγαίνει άμεσα από τις παρακάτω "γνωστές" ιδιότητες του ορθόκεντρου ενός τριγώνου:
(1) Το συμμετρικό του ορθόκεντρου ενός τριγώνου ως προς (κάθε) πλευρά του ανήκει στον περιγεγραμμένο κυκλο του τριγώνου.
(2) Αν

είναι το αντιδιαμετρικό σημείο της κορυφής

τριγώνου

, τότε το τετράπλευρο

είναι παραλληλόγραμμο.
**********************************************************************************************
Λύση: Από την ιδιότητα (1), τα συμμετρικά σημεία

και

του

ως προς τις πλευρές

και

είναι συνευθειακά με τα

και

αντίστοιχα, και θα ανήκουν στον

. Επίσης, ισχύει

, κι άρα θα ταυτίζονται με τα

και

, αντίστοιχα.
Έτσι, τα τμήματα

και

είναι εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου

από το

, αφού

, κι άρα είναι ίσα.
Από την ιδιότητα (2), αφού το

είναι αντιδιαμετρικό του

, το τετράπλευρο

είναι παραληλόγραμμο. Βέβαια, ο ισχυρισμός αυτός έπεται άμεσα αφού

,

και

,
Συνεπώς, το

είναι ισοσκελές τραπέζιο, αφού

και

, κι άρα
Φιλικά,
Αχιλλέας