ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Al.Koutsouridis · #61

Γ' Λυκείου

Πρόβλημα 3 Δίνεται η αλγεβρική παράσταση $A=\sqrt{3 \left |4-x^2 \right |^2 -2x^4+16x^2-32}$
Να απλοποιήσετε την παράσταση

και να βρείτε το πλήθος των πραγματικών λύσεων της εξίσωσης
A=ax+4

, για κάθε τιμή της παραμέτρου $a \in \mathbb{R}$ .

Λύση:
Η παράσταση γράφεται ισοδύναμα

$A=\sqrt{3 \left |4-x^2 \right |^2 -2x^4+16x^2-32} = \sqrt{3 \left (4-x^2 \right )^2 -2\left (x^4-8x^2+16 \right )} =\sqrt{3 \left (4-x^2 \right )^2 -2\left (x^2-4\right )^2}=$

$=\sqrt{\left (x^2-4\right )^2} = \left |x^2-4 \right |$ .

1. Για $x^2-4 \geq 0 \Leftrightarrow x \in \left (-\infty , -2 \right ] \cup \left [2, +\infty \left )$ η εξίσωση γράφεται

$ax+4=x^2-4 \Leftrightarrow a=x-\dfrac{8}{x}$

Ο αριθμός των λύσεων της παραπάνω εξίσωσης αντιστοιχεί με τα σημεία τομής της ευθείας y=a

και της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f(x) =x-\dfrac{8}{x}$ . Για την f(x)

είναι $f^{\prime}(x) = 1+\dfrac{8}{x^2} > 0$ . Οπότε είναι γνησίως αύξουσα σε καθέ ένα από τα διαστήματα ορισμού της και θα τέμενει σε μοναδικό σημείο την y=a

σε καθένα από αυτά. Σχεδιαζουμε την γραφική παράστασή της

: eukleidhs_2019_glukeiou_pr3.png (20.46 KiB) Προβλήθηκε 2760 φορές

απλή εποπτεία της οποίας μας δίνει τον αριθμό των λύσεων για τις διάφορες τιμές του

.

Δυο λύσεις αν $-2\leq a\leq 2$ .
Μια λύση αν a >2

ή

2. Για $x^2-4 <0 \Leftrightarrow x \in \left (-2,2 \right )$ η εξίσωση γίνεται $ax+4=-x^2+4 \Leftrightarrow x^2+ax=0 \Leftrightarrow x(x+a)=0 \Leftrightarrow$ x=0

ή

.
Οπότε σε αυτή την περίπτωση έχουμε:
Mια λύση αν a=0

Δυο λύσεις αν $a \in \left (-2, 0\right) \cup \left (0, 2 \right)$

Συνοψίζοντας τις περιπτώσεις (1),(2) έχουμε τελικά

Δυο ρίζες αν $a \in \left (-\infty , -2 \right ) \cup \left (2, +\infty \left )$
Τρεις ρίζες αν $a \in \left \{-2,2,0 \right \}$
Τέσσερις ρίζες αν $a \in \left (-2, 0\right) \cup \left (0, 2 \right)$

Eleftheria · #62

Για τη β λυκείου τι πιστεύετε; Που θα κυμανθούν οι βάσεις;

#63

Eleftheria έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 6:58 pm
Για τη β λυκείου τι πιστεύετε; Που θα κυμανθούν οι βάσεις;

Όχι πάλι η ίδια συζήτηση.....!

Παρακαλούμε θερμά, οι αναρτήσεις να περιορισθούν σε λύσεις και παρατηρήσεις επί των θεμάτων.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#64

thanos-mathimatika έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 6:38 pm

giannis_drav έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 5:39 pm
Οι επίσημες λύσεις της ΕΜΕ έχουν αναρτηθεί και δεν δίνουν για κάθε τιμή του α τουλάχιστον δύο ρίζες. - Γ' λυκείου
Αυτή τη στιγμή στις 18:40 οι λύσεις στο site της ΕΜΕ δεν ανοίγουν.....μάλλον τις κατέβασαν για να διορθώσουν τα λάθη??

Δεν μπορούμε να γνωρίζουμε στο forum γιατί οι λύσεις δεν ανοίγουν στο site της ΕΜΕ, μπορούμε;

Επίσης, εν τω μεταξύ, έχετε όλο το χρόνο να ανεβάσετε κάποια λύση σας εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας

LeoKoum · #65

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 6:56 pm
Γ' Λυκείου

Πρόβλημα 3 Δίνεται η αλγεβρική παράσταση $A=\sqrt{3 \left |4-x^2 \right |^2 -2x^4+16x^2-32}$
Να απλοποιήσετε την παράσταση και να βρείτε το πλήθος των πραγματικών λύσεων της εξίσωσης
, για κάθε τιμή της παραμέτρου $a \in \mathbb{R}$ .

Λύση:

Η παράσταση γράφεται ισοδύναμα

$A=\sqrt{3 \left |4-x^2 \right |^2 -2x^4+16x^2-32} = \sqrt{3 \left (4-x^2 \right )^2 -2\left (x^4-8x^2+16 \right )} =\sqrt{3 \left (4-x^2 \right )^2 -2\left (x^2-4\right )^2}=$

$=\sqrt{\left (x^2-4\right )^2} = \left |x^2-4 \right |$ .

1. Για $x^2-4 \geq 0 \Leftrightarrow x \in \left (-\infty , -2 \right ] \cup \left [2, +\infty \left )$ η εξίσωση γράφεται

$ax+4=x^2-4 \Leftrightarrow a=x-\dfrac{8}{x}$

Ο αριθμός των λύσεων της παραπάνω εξίσωσης αντιστοιχεί με τα σημεία τομής της ευθείας και της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f(x) =x-\dfrac{8}{x}$ . Για την είναι $f^{\prime}(x) = 1+\dfrac{8}{x^2} > 0$ . Οπότε είναι γνησίως αύξουσα σε καθέ ένα από τα διαστήματα ορισμού της και θα τέμενει σε μοναδικό σημείο την σε καθένα από αυτά. Σχεδιαζουμε την γραφική παράστασή της

eukleidhs_2019_glukeiou_pr3.png

απλή εποπτεία της οποίας μας δίνει τον αριθμό των λύσεων για τις διάφορες τιμές του .

Δυο λύσεις αν $-2\leq a\leq 2$ .
Μια λύση αν ή

2. Για $x^2-4 <0 \Leftrightarrow x \in \left (-2,2 \right )$ η εξίσωση γίνεται $ax+4=-x^2+4 \Leftrightarrow x^2+ax=0 \Leftrightarrow x(x+a)=0 \Leftrightarrow$ ή .
Οπότε σε αυτή την περίπτωση έχουμε:
Mια λύση αν
Δυο λύσεις αν $a \in \left (-2, 0\right) \cup \left (0, 2 \right)$

Συνοψίζοντας τις περιπτώσεις (1),(2) έχουμε τελικά

Μία ρίζα αν $a \in \left (-\infty , -2 \right ) \cup \left (2, +\infty \left )$
Δυο ρίζες αν $a \in \left \{-2,2 \right \}$
Τρεις ρίζες αν
Τέσσερις ρίζες αν $a \in \left (-2, 0\right) \cup \left (0, 2 \right)$

Τι να πω. Παντως εγω βρηκα οτι για ολους τους πραγματικους α η εξισωση εχει τουλαχιστον 2 πραγματικες ριζες. για παραδειγμα για α=7 η εξισωση εχει 2 ακριβως ριζες τις χ=0 και χ=8 και για α=-7 χ=0 και χ=-8

#66

ΘΕΜΑ 4-Α ΛΥΚΕΙΟΥ

(α) (Άλλος τρόπος από αυτόν που δώσαμε εδώ)

Εάν

είναι το μέσο του τόξου $B\Gamma$ που δεν περιέχει το

, τότε το $OBN\Gamma$ είναι ρόμβος,ως παραλληλόγραμμο με κάθετες διαγωνίους (ή απλώς επειδή όλες οι πλευρές του είναι ίσες με την ακτίνα).

Αφού το $\Delta$ διαιρεί τη διάμεσο $\Gamma M$ σε λόγο 2:1

είναι το βαρύκεντρο του ισόπλευρου τριγώνου $NO\Gamma$ .

Συνεπώς, η $O\Delta$ διχοτομεί την γωνία $N\widehat{O}\Gamma=60^\circ$ κι άρα $\Delta\widehat{O}\Gamma=30^\circ$

Φιλικά,

Αχιλλέας

Al.Koutsouridis · #67

LeoKoum έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 7:42 pm

Τι να πω. Παντως εγω βρηκα οτι για ολους τους πραγματικους α η εξισωση εχει τουλαχιστον 2 πραγματικες ριζες. για παραδειγμα για α=7 η εξισωση εχει 2 ακριβως ριζες τις χ=0 και χ=8 και για α=-7 χ=0 και χ=-8

Μάλλον έχεις δίκιο θα το κοιτάξω αργότερα...

Eleftheria · #68

Πώς μπορώ να δώσω μια λύση;

#69

ΘΕΜΑ 4- Β ΛΥΚΕΙΟΥ

**********************************************************************************************
Το πρόβλημα αυτό βγαίνει άμεσα από τις παρακάτω "γνωστές" ιδιότητες του ορθόκεντρου ενός τριγώνου:

(1) Το συμμετρικό του ορθόκεντρου ενός τριγώνου ως προς (κάθε) πλευρά του ανήκει στον περιγεγραμμένο κυκλο του τριγώνου.

(2) Αν

είναι το αντιδιαμετρικό σημείο της κορυφής

τριγώνου $AB\Gamma$ , τότε το τετράπλευρο $HBA'\Gamma$ είναι παραλληλόγραμμο.

**********************************************************************************************

Λύση: Από την ιδιότητα (1), τα συμμετρικά σημεία

και

του

ως προς τις πλευρές

και $A\Delta$ είναι συνευθειακά με τα $H,\Delta$ και H,B

αντίστοιχα, και θα ανήκουν στον C_1(O,R)

. Επίσης, ισχύει AI'=AH=AK'

, κι άρα θα ταυτίζονται με τα

και

, αντίστοιχα.

Έτσι, τα τμήματα $\Gamma I$ και $\Gamma K$ είναι εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου C_2(A,AH)

από το $\Gamma$ , αφού $\Gamma\widehat{I}A=90^\circ=\Gamma\widehat{K}A$ , κι άρα είναι ίσα.

Από την ιδιότητα (2), αφού το $\Gamma$ είναι αντιδιαμετρικό του

, το τετράπλευρο $HB\Gamma\Delta$ είναι παραληλόγραμμο. Βέβαια, ο ισχυρισμός αυτός έπεται άμεσα αφού $\Gamma B\perp AB$ , $\Delta H\perp AB$ και $BH\perp A\Delta$ , $\Gamma\Delta\perp A\Delta.$

Συνεπώς, το $B\Gamma\Delta K$ είναι ισοσκελές τραπέζιο, αφού $BK//\Gamma\Delta$ και $B\Gamma=\Delta H=\Delta K$ , κι άρα $B\Delta=\Gamma K=\Gamma I.$

Φιλικά,

Αχιλλέας

KARKAR · #70

Α Λυκείου Θέμα 4 ( Γεωμετρία) .

: A4.png (13.58 KiB) Προβλήθηκε 2617 φορές

Επικεντρώνουμε στο τρίγωνο $OB\Delta$ . Λόγω της 30^0

- ρας και Π.Θ. ( επιτρέπεται ; ) ,

βρίσκουμε $B\Gamma=R\sqrt{3}$ και το τρίγωνο προκύπτει ορθογώνιο ...

AquaticLand · #71

Γειά σας!Ξέρει μήπως κανείς από ποιά ιστοσελίδα μπορούμε να δούμε το σχέδιο βαθμολόγησης όταν ανακοινωθεί;
Ευχαριστώ

Cauchy7 · #72

Καλησπέρα μέλη του Mathematica!! Πώς σας φάνηκαν τα θέματα της Β Λυκείου; Συγκριτικά με τα περσινά, τι άποψη έχετε ;

thanos-mathimatika · #73

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 6:56 pm
Γ' Λυκείου

Συνοψίζοντας τις περιπτώσεις (1),(2) έχουμε τελικά

Δυο ρίζες αν $a \in \left (-\infty , -2 \right ) \cup \left (2, +\infty \left )$
Δυο ρίζες αν $a \in \left \{-2,2 \right \}$
Τρεις ρίζες αν
Τέσσερις ρίζες αν $a \in \left (-2, 0\right) \cup \left (0, 2 \right)$

Συμφωνώ στα αποτελέσματα εκτός για α=2 ή α=-2

π.χ. για α =2 η εξίσωση γίνεται |4-x^2|=2x+4

η οποία έχει ξεκάθαρα 3 λύσεις.

Al.Koutsouridis · #74

thanos-mathimatika έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 10:11 pm

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 6:56 pm
Γ' Λυκείου

Συνοψίζοντας τις περιπτώσεις (1),(2) έχουμε τελικά

Δυο ρίζες αν $a \in \left (-\infty , -2 \right ) \cup \left (2, +\infty \left )$
Δυο ρίζες αν $a \in \left \{-2,2 \right \}$
Τρεις ρίζες αν
Τέσσερις ρίζες αν $a \in \left (-2, 0\right) \cup \left (0, 2 \right)$
Συμφωνώ στα αποτελέσματα εκτός για α=2 ή α=-2

π.χ. για α =2 η εξίσωση γίνεται η οποία έχει ξεκάθαρα 3 λύσεις.

Ναι σωστά, διόρθωσα και την αρχική ανάρτησή μου. Νομίζω η απάντηση είναι, αν δεν έχω αφήσει λάθος

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 6:56 pm
Γ' Λυκείου

Συνοψίζοντας τις περιπτώσεις (1),(2) έχουμε τελικά

Δυο ρίζες αν $a \in \left (-\infty , -2 \right ) \cup \left (2, +\infty \left )$
Τρεις ρίζες αν $a \in \left \{-2,2,0 \right \}$
Τέσσερις ρίζες αν $a \in \left (-2, 0\right) \cup \left (0, 2 \right)$

#75

Πρόβλημα-3 Γ Λυκείου

: Γ Λυκείου 2019.png (15.41 KiB) Προβλήθηκε 2546 φορές

Η ευθεία

στο σχήμα, περιστρέφεται γύρω απ' το σημείο (0,4)

(εξαιρουμένης της κατακόρυφης).

Είναι φανερό ότι τέμνει την καμπύλη A=|x^2-4|

τουλάχιστον σε δύο σημεία (από δύο έως και τέσσερα).

Αυτή δεν είναι λύση, απλώς μία διαπίστωση.

#76

ΘΕΜΑ 2- Β ΛΥΚΕΙΟΥ

(α) Είναι y=3z-x

και

. Εξισώνοντας τα δεξιά μέλη παίρνουμε

3z-x=5x-2z

, κι άρα $z=\dfrac{6x}{5}$ .

Έτσι, $y=5x-\dfrac{12x}{5}=\dfrac{13x}{5}$ .

Εύκολα έπεται ότι $\dfrac{x}{y}=\dfrac{5}{13}$ και $\dfrac{z}{y}=\dfrac{6}{13}.$

(β) Αν εργαστούμε συναρτήσει του

οι πράξεις είναι (ίσως) πιο εύκολες.

Έχουμε $y=\dfrac{13x}{5}$ και $z=\dfrac{6x}{5}$ .

Η παράσταση x^2+y^2+z^2-2y-144

είναι ίση με

$\dfrac{25x^2+169x^2+36x^2}{25}-\dfrac{26x}{5}-144=\dfrac{46x^2}{5}-\dfrac{26x}{5}-144$

και άρα παρουσιάζει ελάχιστο για $x=-\dfrac{-26/5}{2\cdot (46/5)}=\dfrac{13}{46}$ , και

$y=\dfrac{13}{5}\cdot \dfrac{13}{46}=\dfrac{169}{230}$ και $z=\dfrac{6}{5}\cdot \dfrac{13}{46}=\dfrac{39}{115.}$

Φιλικά,

Αχιλλέας

#77

ΘΕΜΑ 1- Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Παρατηρούμε ότι $111=3\cdot 37$ , και άρα ο

$A=111000x+\overline{abc}=37\cdot 3000x+\overline{abc}$

είναι πολλαπλάσιο του 37 αν και μόνο αν ο $\overline{abc}$ είναι πολλαπλάσιο του 37.

Αφού $999=9\cdot 111=27\cdot 37$ , υπάρχουν

αριθμοί της μορφής $\overline{abc}$ που είναι πολ/σια του 37, οι:

$\overline{000}$ , $\overline{037}$ , ..., $\overline{999}.$

Αφού το

μπορεί να λάβει 9 δυνατές τιμές: $1,2,\dots, 9$ , υπάρχουν συνολικά $9\cdot 28=252$ τέτοιοι αριθμοί

.

Helenkallits · #78

Τις λύσεις τις έσβησαν και λογικά θα τις ανεβάσουν ξανά χωρίς λάθη.

#79

ΘΕΜΑ 1- Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μετά την ενδεδειγμένη λύση του Γιώργου εδώ, ας δώσουμε μια εναλλακτική.

Η λύση αυτή βασίζεται στην εύρεση των τιμων που μηδενίζουν τις παραστάσεις μέσα στα "απόλυτα": x+8

και

και τη διάκριση περιπτώσεων στη συνέχεια.

Λύση. Προφανώς $x+8=0\iff x=-8$ και εύκολα βρίσκουμε $|x+8|=3x\iff x=4.$

Έχουμε τις περιπτώσεις:

1) $x\geq 4$

Τότε $|x+8|=x+8\leq 3x$ , κι άρα η εξίσωση γίνεται $2x-8=\dfrac{x+7}{6}$ , που δίνει x=5

(δεκτή).

2) $-8\leq x< 4$ .

Τότε 3x<x+8=|x+8|

, οπότε η εξίσωση γράφεται $(x+8)-3x=\dfrac{x+7}{6}$ , ή ισοδύναμα

$8-2x=\dfrac{x+7}{6}$ , που δίνει $x=\dfrac{41}{13}<4$ (δεκτή).

3) x<-8

.

Η εξίσωση είναι αδύνατη αφού τότε x+7<0.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#80

ΘΕΜΑ 2-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Παρατηρούμε ότι

$y=|mx+4|+|4-mx|\geq |mx+4+4-mx|=8$

με το ίσο αν και μόνο αν $(mx+4)(4-mx)\geq 0$ από την τριγωνική ανισότητα, δηλαδή, αφού m>0

, αν και μόνο αν

$-\dfrac{4}{m}\leq x\leq \dfrac{4}{m}$ .

Αν mx<-4

, τότε

, ενώ αν

, τότε

.

Συνεπώς, οι κορυφές A_i(x_i,y_i)

του πολυγώνου είναι $A_1(-\dfrac{6}{m},12)$ , $A_2(\dfrac{6}{m},12)$ , $A_3(\dfrac{4}{m},8)$ , $A_4(-\dfrac{4}{m},8)$ .

Το εμβαδό του πολυγώνου μπορεί να υπολογιστεί ως εμβαδό τραπεζίου.

Γενικότερα, όμως, από shoelace formula, αφού y_2=y_1=12

και

, το εμβαδό του είναι

$\begin{aligned} A&=\dfrac{1}{2}\Big_|x_1(y_2-y_4)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_4-y_2)+x_4(y_1-y_3)\Big_|\\ &=\dfrac{1}{2}\Big_|4x_1-4x_2-4x_3+4x_4\Big_|\\ &=2\Big_|x_1-x_2-x_3+x_4\Big_|\\ &=2\Big_|-\dfrac{6}{m}-\dfrac{6}{m}-\dfrac{4}{m}-\dfrac{4}{m}\Big_|\\ &=\dfrac{40}{m}\\ \end{aligned}$

Άρα, αφού A=20

, έπεται ότι m=2.

Φιλικά,

Αχιλλέας

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Μέλη σε σύνδεση