ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Soteris · #241

Άσκηση 83

Δέκα μπάλες τοποθετούνται τυχαία σε τρία κύπελλα. Να βρεθεί η πιθανότητα τρεις μπάλες να τοποθετηθούν στο ίδιο κύπελλο.

styt_geia · #242

Soteris έγραψε:Άσκηση 83

Δέκα μπάλες τοποθετούνται τυχαία σε τρία κύπελλα. Να βρεθεί η πιθανότητα τρεις μπάλες να τοποθετηθούν στο ίδιο κύπελλο.

Κάθε τοποθέτηση των μπαλών στα τρία κύπελλα αντιστοιχεί σε έναν επαναληπτικό συνδυασμό των

κυπέλλων ανά

. Έτσι οι συνολικές περιπτώσεις είναι
$\begin{bmatrix} 3 \\ 10 \end{bmatrix}=\begin{pmatrix} 3+10-1 \\ 10 \end{pmatrix}=66.$
Για τον υπολογισμό των τοποθετήσεων στις οποίες τρεις μπάλες είναι στο ίδιο κύπελλο, αρχικά επιλέγεται αυτό το κύπελλο κατά

τρόπους και στην συνέχεια οι υπόλοιπες

μπάλες τοποθετούνται στα άλλα

κύπελλα κατά
$\begin{bmatrix} 2 \\ 7 \end{bmatrix}=\begin{pmatrix} 2+7-1 \\ 7 \end{pmatrix}=8$
τρόπους.
Άρα συνολικά οι ευνοϊκές περιπτώσεις είναι $3 \cdot 8 = 24$ και η πιθανότητα $\frac{24}{66}=0.36$

#243

ealexiou έγραψε:
Soteris έγραψε:Άσκηση 74

Σε μία κάλπη υπάρχουν οι λαχνοί . Επιλέγουμε στην τύχη δύο από αυτούς. Ποια είναι η πιθανότητα το γινόμενο των αριθμών που αναγράφονται στους δύο λαχνούς που επιλέγηκαν να είναι άρτιος αριθμός;
Στη αρχή λες, άρτιος επί άρτιο, άρτιος επί περιττό, περιττός επί άρτιο, μας δίνουν άρτιο γινόμενο και περιττός επί περιττό μας δίνουν περιττό γινόμενο, άρα πιθανότητα για άρτιο γινόμενο $\dfrac{3}{4}$ .
Τι πρόβλημα είναι αυτό; Αλλά...

Έχουμε $\Pi$ -εριττούς και -ρτιους αριθμούς στους λαχνούς.

Επιλέγοντας δύο λαχνούς οι δυνατές επιλογές είναι $(A,A),(A,\Pi),(\Pi,A),(\Pi,\Pi)$

i) , πιθανότητα να συμβεί αυτό $\dfrac{45}{90}\cdot\dfrac{44}{89}=\dfrac{22}{89}$ , αποτέλεσμα γινομένου άρτιος αριθμός.

ii) $(A,\Pi)$ , πιθανότητα να συμβεί αυτό $\dfrac{45}{90}\cdot\dfrac{45}{89}=\dfrac{45}{178}$ , αποτέλεσμα γινομένου άρτιος αριθμός.

iii) $(\Pi,A)$ , πιθανότητα να συμβεί αυτό $\dfrac{45}{90}\cdot\dfrac{45}{89}=\dfrac{45}{178}$ , αποτέλεσμα γινομένου άρτιος αριθμός.

iv) $(\Pi,\Pi)$ , πιθανότητα να συμβεί αυτό $\dfrac{45}{90}\cdot\dfrac{44}{89}=\dfrac{22}{89}$ , αποτέλεσμα γινομένου περιττός αριθμός.

Άρα η πιθανότητα για άρτιο γινόμενο των αριθμών των δύο λαχνών είναι:

$\dfrac{\dfrac{22}{89}+\dfrac{45}{178}+\dfrac{45}{178}}{\dfrac{22}{89}+\dfrac{45}{178}+\dfrac{45}{178}+\dfrac{22}{89}}=$ $\dfrac{\dfrac{67}{89}}{\dfrac{178}{178}}=\dfrac{67}{89}=0.75281...$

Αυτό ήταν ή έχω αστοχήσει;...

Για όφελος των μαθητών, ας δούμε πιο άμεση λύση: Επειδή το γινόμενο δύο φυσικών είναι περιττός αν και μόνον αν είναι και οι δύο περιττοί, η ζητούμενη πιθανότητα είναι "ένα μείον την πιθανότητα και οι δύο αριθμοί να είναι περιττοί". Άρα είναι $1 - \frac {45}{90} \cdot \frac {44}{89}= 1 - \frac {22}{89} = \frac {67}{89}$ (όπως πριν).

ealexiou · #244

Το έχουμε-νε ξαναδεί
Στις 17/1/2015, αμέσως μετά την ...μακροσκελή ανάρτηση μου

rek2 έγραψε:
Soteris έγραψε:Άσκηση 74

Σε μία κάλπη υπάρχουν οι λαχνοί . Επιλέγουμε στην τύχη δύο από αυτούς. Ποια είναι η πιθανότητα το γινόμενο των αριθμών που αναγράφονται στους δύο λαχνούς που επιλέγηκαν να είναι άρτιος αριθμός;

(επιλέξαμε δύο περριτούς) $=1-\dfrac{45}{90} \dfrac{44}{89}=...$

Grosrouvre · #245

Άσκηση 84

Ο κ. Combinatorium (που ζει στην Ελλάδα) θέλει να αποκτήσει νέο αριθμό κινητού τηλεφώνου. Όπως και ο προηγούμενος αριθμός του (ήταν ο πρώτος και μοναδικός του αριθμός), έτσι και ο καινούργιος του, θέλει να πληρεί κάποιες προδιαγραφές.

Θέλει όλα τα ψηφία να είναι διαφορετικά μεταξύ τους και επειδή ο τυχερός του αριθμός είναι ο

, απαιτεί το νούμερό του να λήγει στον αριθμό αυτό.

Θεωρώντας ότι ο αριθμός του τρίτου ψηφίου δεν περιορίζεται από τις απαιτήσεις της εταιρείας, να βρεθεί ο μέγιστος δυνατός αριθμός επιλογών που έχει.

#246

Grosrouvre έγραψε:Άσκηση 84

Ο κ. Combinatorium (που ζει στην Ελλάδα) θέλει να αποκτήσει νέο αριθμό κινητού τηλεφώνου. Όπως και ο προηγούμενος αριθμός του (ήταν ο πρώτος και μοναδικός του αριθμός), έτσι και ο καινούργιος του, θέλει να πληρεί κάποιες προδιαγραφές.

Θέλει όλα τα ψηφία να είναι διαφορετικά μεταξύ τους και επειδή ο τυχερός του αριθμός είναι ο , απαιτεί το νούμερό του να λήγει στον αριθμό αυτό.

Θεωρώντας ότι ο αριθμός του τρίτου ψηφίου δεν περιορίζεται από τις απαιτήσεις της εταιρείας, να βρεθεί ο μέγιστος δυνατός αριθμός επιλογών που έχει.

Θα έλεγα

#247

Άσκηση 85

αγόρια και

κορίτσια σχηματίζουν, στην τύχη,

ζευγάρια.
Ποια η πιθανότητα να υπάρχει ένα τουλάχιστον ζευγάρι κοριτσιών; Για ποια

η πιθανότητα αυτή υπερβαίνει το 0,9;

Άσκηση 86
Σε ένα τραπέζι υπάρχουν

άδεια πορτοφόλια. Με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε στα πορτοφόλια 12 όμοια κέρματα, αν πρέπει το πολύ ένα πορτοφόλι να μείνει άδειο;

ealexiou · #248

socrates έγραψε:
Άσκηση 86
Σε ένα τραπέζι υπάρχουν άδεια πορτοφόλια. Με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε στα πορτοφόλια 12 όμοια κέρματα, αν πρέπει το πολύ ένα πορτοφόλι να μείνει άδειο;

Πέρασε αρκετός χρόνος χωρίς να ασχοληθούμε με συνδυαστική οπότε έχω κάποια επιφύλαξη για την ορθότητα των παρακάτω:
Αφού "το πολύ ένα πορτοφόλι μένει άδειο" διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

κανένα άδειο ii)

κάθε ένα από τα έξι πορτοφόλια μένει άδειο, άρα για κάθε άδειο έχουμε 12 κέρματα να τα τοποθετήσουμε σε

πορτοφόλια με τουλάχιστον ένα κέρμα και επειδή τα κέρματα είναι όμοια η τοποθέτηση των κερμάτων στα πορτοφόλια μπορεί να γίνει με:
(i)+(ii)=

διαφορετικούς τρόπους

#249

Άσκηση 87
Επιλέγουμε τυχαία δύο διαφορετικούς αριθμούς από το σύνολο $\{2,2^2,...,2^{25}\}.$
Ποια η πιθανότητα ο αριθμός $\log_ab$ να είναι ακέραιος;
https://brilliant.org/problems/probably-algebra/

Άσκηση 88
Επιλέγουμε τυχαία πέντε διαφορετικούς ανά δύο ακέραιους από το σύνολο $\{1,2, ..., 20.\}$
Ποια η πιθανότητα να υπάρχουν δύο διαδοχικοί αριθμοί ανάμεσα στους πέντε που επιλέξαμε;
https://brilliant.org/problems/come-and-see-it/

Xriiiiistos · #250

socrates έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 26, 2015 2:28 am
Άσκηση 85
αγόρια και κορίτσια σχηματίζουν, στην τύχη, ζευγάρια.
Ποια η πιθανότητα να υπάρχει ένα τουλάχιστον ζευγάρι κοριτσιών; Για ποια η πιθανότητα αυτή υπερβαίνει το

Η πρώτη δυάδα μπορεί να γίνει με 2n(2n-1)

(

τρόπους να επιλεχθεί το 1ο άτομο και 2n-1

το δεύτερο) (2n-2)(2n-3)

η δεύτερη δυάδα κ.τλ. άρα μπορεί να χωρίσουμε τις δυάδες με 2n(2n-1)+...2(1)=k

δεν μπορώ να το υπολογίσω με πιο απλή μορφή συνάρτηση του

. To να μην υπάρχει κανένα ζευγάρι κοριτσιών σημαίνει πως κάθε ζεύγος έχει ένα αγόρι και ένα κορίτσι, θα βρούμε με πόσους τρόπους γίνεται αυτό. Την πρώτη δυάδα μπορούμε να την επιλέξουμε με $n^{2}$ τρόπους (

τρόπους το αγόρι και n το κορίτσι) την δεύτερη με $(n-1)^{2}$ κ.τ.λ. άρα η δυάδες με 1 αγόρι και 1 κορίτσι μπορούν να γίνουn με με $1^{2}+2^{2}+...n^{2}=\frac{n(n+1)(2n-1)}{6}$ . Άρα το να υπάρχει τουλάχιστον ένα ζευγάρι κοριτσιών γίνεται να επιλεγεί με $k-\frac{n(n+1)(2n-1)}{6}$ τρόπους και η πιθανότητα είναι $\frac{k-\frac{n(n+1)(2n-1)}{6}}{k}$ (η αναδιάταξη δεν μας ενδοιαφέρει)

#251

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 11, 2019 3:55 pm
άρα μπορεί να χωρίσουμε τις δυάδες με

Γιατί πρόσθεση;

Xriiiiistos · #252

Demetres έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 11, 2019 4:23 pm

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 11, 2019 3:55 pm
άρα μπορεί να χωρίσουμε τις δυάδες με
Γιατί πρόσθεση;

Δυσκολεύομαι να το εξηγήσω όπως το έχω στο μυαλό, συνδυαστική έχω δει μόνο λίγη θεωρεία και έχω λύσει λίγες ασκήσεις οπότε ίσως να το έχω λάθος

#253

Άσκηση 89
O Α επιλέγει τυχαία έναν αριθμό

από το σύνολο $\{0,1\}.$
O Β επιλέγει τυχαία έναν αριθμό

από το σύνολο $\{0,1,2\}.$
O C επιλέγει τυχαία έναν αριθμό

από το σύνολο $\{0,1,2,3\}.$
O D επιλέγει τυχαία έναν αριθμό

από το σύνολο $\{0,1,2,3,4\}.$
O E επιλέγει τυχαία έναν αριθμό

από το σύνολο $\{0,1,2,3,4,5\}.$

Ποια η πιθανότητα να ισχύει $a\leq b\leq c\leq d\leq e;$
https://brilliant.org/problems/random-p ... so-random/

Άσκηση 90
Ένα κουτί περιέχει

νομίσματα. Έστω $P(E_k), \ 0\leq k\leq n,$ η πιθανότητα ακριβώς

από αυτά να είναι "πειραγμένα".
Η πιθανότητα P(E_k)

είναι ευθέως ανάλογη του k(k+1).

Επιλέγουμε στην τύχη ένα νόμισμα και βρίσκουμε ότι είναι "πειραγμένο". Ποια η πιθανότητα να είναι το μοναδικό "πειραγμένο" νόμισμα;
https://brilliant.org/problems/biased-coins-2/

#254

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 11, 2019 6:50 pm

Demetres έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 11, 2019 4:23 pm

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 11, 2019 3:55 pm
άρα μπορεί να χωρίσουμε τις δυάδες με
Γιατί πρόσθεση;
Δυσκολεύομαι να το εξηγήσω όπως το έχω στο μυαλό, συνδυαστική έχω δει μόνο λίγη θεωρεία και έχω λύσει λίγες ασκήσεις οπότε ίσως να το έχω λάθος

Ο λόγος που ρώτησα είναι διότι έκανες λάθος.

Πρόσθεση κάνουμε όταν έχουμε ξένα μεταξύ τους σύνολα και θέλουμε να βρούμε το πλήθος των στοιχείων όλων των συνόλων μαζί. Π.χ. στην ερώτηση πόσοι τριψήφιοι αριθμοί έχουν άθροισμα ψηφίων ίσο με

μπορούμε πρώτα να βρούμε πόσοι σχηματίζονται από τα ψηφία 4,0,0

, ύστερα πόσοι σχηματίζονται από τα ψηφία 3,1,0

κ.ο.κ και στο τέλος να προσθέσουμε όλες τις απαντήσεις.

Πολλαπλασιασμό κάνουμε όταν θέλουμε να βρούμε πλήθος

-άδων της μορφής $(x_1,\ldots,x_n)$ όταν υπάρχουν ακριβώς k_1

τρόποι να επιλέξουμε το x_1

, μετά όπως και να επιλέξουμε το x_1

υπάρχουν ακριβώς k_2

τρόποι να επιλέξουμε το x_2

κ.ο.κ. Π.χ. στην ερώτηση πόσοι τριψήφιοι αριθμοί σχηματίζονται από τα ψηφία 1,2,3,4,5

αν όλα τα ψηφία τους είναι διαφορετικά πολλαπλασιάζουμε: Έχουμε

επιλογές για το πρώτο ψηφίο, μετά όπως και να επιλέξουμε το πρώτο έχουμε

επιλογές για το δεύτερο και τέλος

για το τρίτο. Συνολικά $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ τρόποι.

Στο συγκεκριμένο πρόβλημα πολλαπλασιάζουμε. Αλλά δεν είναι τόσο απλά τα πράγματα. Π.χ. έχεις πει ότι υπάρχουν 2n(2n-1)

τρόποι να επιλέξεις το πρώτο ζευγάρι. Εδώ όμως κάθε ζευγάρι το μέτρησες δύο φορές. Μια φορά που επέλεξες πρώτα τον Γιώργο και μετά τον Κώστα, και μια που επέλεξες πρώτα τον Κώστα και μετά τον Γιώργο. Άρα πρέπει να διαιρέσεις με το

. Το ίδιο και για τα υπόλοιπα ζευγάρια. Μετά πολλαπλασιάσεις για να βρεις $\frac{(2n)!}{2^n}$ . Μόνο που ούτε και αυτό είναι σωστό. Διότι αν π.χ τα ζευγάρια σου είναι τα (Γιώργος,Κώστας), (Ανδρέας,Μαρία), (Άννα, Ελένη) τότε αυτά τα ζευγάρια δεν τα μέτρησες μία φορά αλλά

. Η μια με την σειρά που τα έγραψα αλλά υπάρχουν και άλλες. (Έχουμε

τρόπους να επιλέξουμε το πρώτο ζευγάρι,

το δεύτερο και μία το τρίτο) Γενικά για

ζευγάρια έχουμε

τρόπους να τα βάλουμε στην σειρά.

Άρα για

άτομα υπάρχουν $\displaystyle \frac{(2n)!}{n!2^n}$ τρόποι να τους χωρίσουμε σε

ζευγάρια.

#255

Άσκηση 91
Πόσοι διαφορετικοί πενταψήφιοι θετικοί ακέραιοι αριθμοί υπάρχουν, που το καθένα από τα ψηφία τους, εκτός του τελευταίου, είναι μεγαλύτερο ή ίσο του επόμενου ψηφίου τους;

Άσκηση 92
Να βρείτε το πλήθος των τριάδων $\displaystyle{(A, B, C)}$ , για τις οποίες ισχύουν όλες οι πιο κάτω συνθήκες:
i. Τα $\displaystyle{A, B, C}$ είναι υποσύνολα του συνόλου $\displaystyle{\{1, 2, 3, \ldots, 2019\}}$ .
ii. $\displaystyle{A\cap B=\emptyset}$
iii. $\displaystyle{A\cap C=\emptyset}$ και $\displaystyle{B\cap C=\emptyset}$
viewtopic.php?f=58&t=63597

#256

Άσκηση 93
Δύο πραγματικοί αριθμοί επιλέγονται τυχαία και ανεξάρτητα από το διάστημα [-20, 10].

Ποια η πιθανότητα το γινόμενό τους να είναι μεγαλύτερο του μηδενός;

Άσκηση 94
Πόσες συναρτήσεις $f : A \rightarrow A$ ικανοποιούν τη σχέση f(f(a)) = a

για κάθε $a \in A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ ;

#257

socrates έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 26, 2015 2:28 am
Άσκηση 85
αγόρια και κορίτσια σχηματίζουν, στην τύχη, ζευγάρια.
Ποια η πιθανότητα να υπάρχει ένα τουλάχιστον ζευγάρι κοριτσιών; Για ποια η πιθανότητα αυτή υπερβαίνει το

Μιας και άρχισαν να μαζεύονται αρκετές άλυτες, βάζω μια λύση για αυτή.

Έχουμε

άτομα να σχηματίσουμε

ζευγάρια. Αυτό γίνεται με $\displaystyle \frac{(2n)!}{2^n n!}$ τρόπους. [Βάζουμε τα

άτομα στην σειρά με (2n)!

τρόπους. Ακολούθως ζευγαρώνουμε το πρώτο με το δεύτερο, το τρίτο με το τέταρτο κ.ο.κ. Κάθε χωρισμός όμως σε

ζευγάρια μπορεί να προκύψει αρκετές φορές με αυτήν την μέθοδο. Έχουμε

τρόπους να βάλουμε στην σειρά τα ζευγάρια. Επιπλέον για κάθε ζευγάρι έχουμε

τρόπους να βάλουμε στην σειρά τα άτομα του ζευγαριού.]

Έχουμε

τρόπους για να αποτελούνται όλα τα ζευγάρια από ένα αγόρι και ένα κορίτσι. [Έχουμε

επιλογές για το ποιο κορίτσι θα ζευγαρωθεί με το πρώτο αγόρι, n-1

επιλογές για το ποιο θα ζευγαρωθεί με το δεύτερο αγόρι κ.ο.κ]

Οπότε η ζητούμενη πιθανότητα είναι:

$\displaystyle p_n = 1 - \frac{2^n(n!)^2}{(2n)!}$

Έχουμε $\displaystyle p_n > 0.9 \Leftrightarrow \frac{2^n}{\binom{2n}{n}} < 0.1 \Leftrightarrow \frac{1}{2^n}\binom{2n}{n} >$

Θέτοντας $\displaystyle a_n = \frac{1}{2^n} \binom{2n}{n}$ παρατηρούμε ότι $\displaystyle a_{n+1} = \frac{2n+1}{n+1}a_n > a_n.$ Βρίσκουμε λοιπόν διαδοχικά

$\displaystyle a_1 = 1, a_2 = 3/2, a_3 = 5/3, a_4 = 35/8, a_5 = 63/8, a_6 = 232/16$

Άρα a_5 < 10

και

για $n \geqslant 6$ . Οπότε η πιθανότητα υπερβαίνει το 0.9

για $n \geqslant 6$ .

#258

Άσκηση 95
Επιλέγουμε τυχαία έναν παλινδρομικό αριθμό από το 1000

μέχρι το

Ποια η πιθανότητα να διαιρείται με το

Άσκηση 96
Στα κελιά ενός πίνακα $3\times3$ υπάρχουν οι αριθμοί 1 έως 9, μια φορά ο καθένας, έτσι ώστε σε κάθε γραμμή και κάθε στήλη οι αριθμοί να είναι σε αύξουσα σειρά. Πόσοι τέτοιοι πίνακες υπάρχουν;

#259

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 20, 2019 3:04 pm
Άσκηση 95
Επιλέγουμε τυχαία έναν παλινδρομικό αριθμό από το μέχρι το Ποια η πιθανότητα να διαιρείται με το ;

Οι παλινδρομικοί αριθμοί

από το

έως το

είναι της μορφής $A=\overline{abba}$ με $1\leq a\leq 9$ και $0\leq b\leq 9$ . Συνεπώς υπάρχουν $9\cdot 10=90$ τέτοιοι αριθμοί.

Επειδή επιπλέον A=1001a+110b=7(143a+16b)-2b

άρα για να διαιρείται ο

από το

πρέπει

, δηλαδή

ή

και ο

να είναι οποιοσδήπoτε. Συνεπώς οι παλινδρομικοί αριθμοί που διαιρούνται από το

είναι σε πλήθος $9\cdot 2=18$ κι έτσι η ζητούμενη πιθανότητα

είναι $p=\dfrac{18}{90}=\dfrac{1}{5}$ .

Αλέξανδρος

#260

socrates έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 11, 2019 1:53 am
Άσκηση 87
Επιλέγουμε τυχαία δύο διαφορετικούς αριθμούς από το σύνολο $\{2,2^2,...,2^{25}\}.$
Ποια η πιθανότητα ο αριθμός $\log_ab$ να είναι ακέραιος;
https://brilliant.org/problems/probably-algebra/

Αν

και

τότε $\displaystyle \log_a{b} = \frac{\log{b}}{\log{a}} = \frac{s}{r}.$

Οπότε ισοδύναμα ζητείται η πιθανότητα αν επιλέξουμε τυχαία δύο διαφορετικούς αριθμούς r,s

από το σύνολο $\{1,2,\ldots,25\}$ να ισχύει ότι r|s

.

Υπάρχουν $25\cdot 24$ ζεύγη (r,s)

. Ας μετρήσουμε σε πόσα από αυτά ισχύει ότι r|s

.

Επιλέγουμε πρώτα το

. Τότε υπάρχουν $\lfloor 25/r \rfloor - 1$ επιλογές για το

. (Το "-1" επειδή αγνοούμε το s=r

.)

Για

έχουμε

επιλογές για το

.
Για

έχουμε

επιλογές για το

.
Για

έχουμε

επιλογές για το

.
Για

έχουμε

επιλογές για το

.
Για

έχουμε

επιλογές για το

.
Για

έχουμε

επιλογές για το

.
Για

έχουμε από

επιλογές για το

.
Για

έχουμε από

επιλογή για το

.

Συνολικά λοιπόν έχουμε $24 + 11 + 7 + 5 + 4 + 3 + 2\cdot 2 + 4 \cdot 1 = 62$ ζεύγη. Οπότε τελικά η πιθανότητα είναι:

$\displaystyle \frac{62}{25 \cdot 24} = \frac{31}{300}$

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Μέλη σε σύνδεση