Κατασκευή σε κύκλο
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
-
- Δημοσιεύσεις: 219
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Κατασκευή σε κύκλο
Σε ημικύκλιο διαμέτρου παίρνουμε τυχαία κάθετη στην που να την τέμνει εσωτερικά. Να κατασκευαστεί ο ένας από τους 2 κύκλους που εφάπτεται στον ημικύκλιο, στην κάθετη της διαμέτρου και στην διάμετρο ταυτόχρονα. Ένα έξτρα ερώτημα Aν η κάθετη τέμνει την διάμετρο στο και το κύκλο στο τότε μπορεί ο ζητούμενος κύκλος να εφάπτεται στο μέσο της ;
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Κατασκευή σε κύκλο
[attachment=0]εφάπτεται στην κάθετη.png[/attachment]
- Συνημμένα
-
- εφάπτεται στην κάθετη.png (19.3 KiB) Προβλήθηκε 878 φορές
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Σάβ Ιαν 12, 2019 10:41 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Κατασκευή σε κύκλο
Μία εύκολη κατασκευή του ζητούμενου κύκλου, χωρίς υπολογισμό της ακτίνας του, βασίζεται σε ένα γνωστό Λήμμα, σύμφωνα με το οποίο η ευθεία στο σχήμα του Θάνάση, περνάει από το έγκεντρο του τριγώνου .
Επομένως, τα σημεία , προσδιορίζονται ως τα σημεία τομής των αντιστοίχως, από την δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την διχοτόμο της γωνίας και άρα, το κέντρο του ζητούμενου κύκλου προκύπτει άμεσα.
Η ως άνω κατασκευή αφορά σε τυχούσες τις ευθείες και επομένως το πρόβλημα όπως έχει τεθεί, είναι μία είδική περίπτωση. Το παραπάνω αναφερόμενο Λήμμα, οφείλεται στον Jean-Louis Ayme, εξαίρετο Γάλλο γεωμέτρη και έχει χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη του Θεωρήματος Sawayama - Thebault, από τον ίδιο. (*)
Την απόδειξη αυτού του Λήμματος, έχουμε δει "μεταγλωτισμένη" παλιότερα, Εδώ.
Κώστας Βήττας.
(*) Δύο άλλες αποδείξεις του Θεωρήματος Sawayama - Thebault, βασισμένες στο ίδιο ως άνω δυνατό Λήμμα, έχουμε δεί Εδώ.
Επομένως, τα σημεία , προσδιορίζονται ως τα σημεία τομής των αντιστοίχως, από την δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την διχοτόμο της γωνίας και άρα, το κέντρο του ζητούμενου κύκλου προκύπτει άμεσα.
Η ως άνω κατασκευή αφορά σε τυχούσες τις ευθείες και επομένως το πρόβλημα όπως έχει τεθεί, είναι μία είδική περίπτωση. Το παραπάνω αναφερόμενο Λήμμα, οφείλεται στον Jean-Louis Ayme, εξαίρετο Γάλλο γεωμέτρη και έχει χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη του Θεωρήματος Sawayama - Thebault, από τον ίδιο. (*)
Την απόδειξη αυτού του Λήμματος, έχουμε δει "μεταγλωτισμένη" παλιότερα, Εδώ.
Κώστας Βήττας.
(*) Δύο άλλες αποδείξεις του Θεωρήματος Sawayama - Thebault, βασισμένες στο ίδιο ως άνω δυνατό Λήμμα, έχουμε δεί Εδώ.
τελευταία επεξεργασία από vittasko σε Τετ Ιαν 16, 2019 2:31 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.
Re: Κατασκευή σε κύκλο
Συνδυάζοντας με την υπολογισθείσα , βρίσκουμε : .
Re: Κατασκευή σε κύκλο
Ας είναι ο ζητούμενος και το δεδομένο ημικύκλιο. Έστω ακόμα . Ο ομόκεντρος του που διέρχεται από το , διέρχεται κι από το
συμμετρικό του ως προς τη διχοτόμο της ορθής γωνίας . Εφάπτεται δε
Της εφαπτομένης ευθείας του ημικυκλίου στο μέσο του . Το πρώτο πρόβλημα του Απολλώνιου ( Σ(ημείο) ,Σ(ημείο),Ε(υθεία) )
Για τον υπολογισμό της ακτίνας έχουμε την εξίσωση
Καθ’ όσον το ανήκει στην ακτίνα ή . .
Στη περίπτωση τώρα που η επαφή είναι στο μέσο του τα είπαν πιο πάνω .
Δίνω και το δυναμικό αρχείο κατασκευής με τα σχετικά και όχι μόνο εργαλεία ( Το κινείται με το ποντίκι )
Με «αποθήκευση επιλογών» θα τα έχει όποιος θέλει κάθε φορά που θα τρέχει το Geogebra . με «επαναφορά προεπιλογών» ξαναγυρίζει στις αρχικές ρυθμίσεις
συμμετρικό του ως προς τη διχοτόμο της ορθής γωνίας . Εφάπτεται δε
Της εφαπτομένης ευθείας του ημικυκλίου στο μέσο του . Το πρώτο πρόβλημα του Απολλώνιου ( Σ(ημείο) ,Σ(ημείο),Ε(υθεία) )
Για τον υπολογισμό της ακτίνας έχουμε την εξίσωση
Καθ’ όσον το ανήκει στην ακτίνα ή . .
Στη περίπτωση τώρα που η επαφή είναι στο μέσο του τα είπαν πιο πάνω .
Δίνω και το δυναμικό αρχείο κατασκευής με τα σχετικά και όχι μόνο εργαλεία ( Το κινείται με το ποντίκι )
Με «αποθήκευση επιλογών» θα τα έχει όποιος θέλει κάθε φορά που θα τρέχει το Geogebra . με «επαναφορά προεπιλογών» ξαναγυρίζει στις αρχικές ρυθμίσεις
- Συνημμένα
-
- Μια κατασκευή κύκλου.ggb
- (39.18 KiB) Μεταφορτώθηκε 28 φορές
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Κατασκευή σε κύκλο
Κατασκευή: Ο κύκλος τέμνει τη διάμετρο στο Το κέντρο του ζητούμενου κύκλου
προσδιορίζεται ως το σημείο τομής της διχοτόμου της με τη κάθετο από το στη διάμετρο.
προσδιορίζεται ως το σημείο τομής της διχοτόμου της με τη κάθετο από το στη διάμετρο.
Re: Κατασκευή σε κύκλο
Η πιο παραπάνω λύση μου είναι σύμφωνα με τον κλασικό τρόπο .
Επειδή εδώ έχουμε ειδική περίπτωση της θέσης των ευθειών η λύση του Γιώργου του Βισβίκη είναι η πλέον ενδεδειγμένη .
Αλλά το θέμα δέχεται κι άλλους τρόπους λύσεις που επί της ουσίας είναι αυτές του Γιώργου και του Στάθη που μας παραπέμπει ο ( Δεν είχα τότε ακόμα γραφτεί στο mathematica).
Έστω λοιπόν λυμένο το πρόβλημα και ο κύκλος που ζητάμε έχει κέντρο .
Τα σημεία επαφής με τις είναι τα και με το ημικύκλιο το .
Τα σημεία είναι συνευθειακά αφού και τα είναι ισοσκελή.
Η αντιστροφή του κύκλου αυτού με πόλο το και δύναμη αντιστροφής
Αφήνει αναλλοίωτο τον κύκλο αφού :
Η από το Θ. Ευκλείδη στο , η από το εγγράψιμο τετράπλευρο
και η από τη δύναμη του στον κύκλο κέντρου .
Συνεπώς
(Η αντιστροφή της με ίδιο πόλο και ίδια δύναμη την μετασχηματίζει στο κύκλο κέντρου λόγω των .
Αφού η ευθεία εφάπτεται του κύκλου και οι κύκλοι εφάπτονται.)
Αφού προσδιορίζεται κατά πολύ απλό τρόπο το , κατασκευάζουμε το τετράγωνο
και βρίσκουμε το
Επειδή εδώ έχουμε ειδική περίπτωση της θέσης των ευθειών η λύση του Γιώργου του Βισβίκη είναι η πλέον ενδεδειγμένη .
Αλλά το θέμα δέχεται κι άλλους τρόπους λύσεις που επί της ουσίας είναι αυτές του Γιώργου και του Στάθη που μας παραπέμπει ο ( Δεν είχα τότε ακόμα γραφτεί στο mathematica).
Έστω λοιπόν λυμένο το πρόβλημα και ο κύκλος που ζητάμε έχει κέντρο .
Τα σημεία επαφής με τις είναι τα και με το ημικύκλιο το .
Τα σημεία είναι συνευθειακά αφού και τα είναι ισοσκελή.
Η αντιστροφή του κύκλου αυτού με πόλο το και δύναμη αντιστροφής
Αφήνει αναλλοίωτο τον κύκλο αφού :
Η από το Θ. Ευκλείδη στο , η από το εγγράψιμο τετράπλευρο
και η από τη δύναμη του στον κύκλο κέντρου .
Συνεπώς
(Η αντιστροφή της με ίδιο πόλο και ίδια δύναμη την μετασχηματίζει στο κύκλο κέντρου λόγω των .
Αφού η ευθεία εφάπτεται του κύκλου και οι κύκλοι εφάπτονται.)
Αφού προσδιορίζεται κατά πολύ απλό τρόπο το , κατασκευάζουμε το τετράγωνο
και βρίσκουμε το
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης