Ολοκλήρωμα-κυρτότητα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Δίνεται η κυρτή συνάρτηση

$f:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$

με συνεχή δεύτερη παράγωγο και

f(0)=0

Ορίζουμε την

$F:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$

με

$\displaystyle F(x)=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt,x> 0$

F(0)=0

Να δειχθεί ότι η

είναι κυρτή.

perpendicular · #2

Καλημέρα Σταύρο.

Έστω x>0

.Θεωρούμε την αλλαγή μεταβλητών $u:[0,1]\rightarrow R,u(t )=t x,\forall t\in [0,1]$ .Eίναι προφανές ότι η u είναι συνεχώς διαφορίσιμη στο πεδίο ορισμού της,με $u'(t)=x,\forall t \in [0,1],u(0)=0,u(1)=x$ και η f είναι συνεχής στο u([0,1])=[0,x]

,οπότε:

$F(x)=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt=\frac{1}{x}\int_{u(0)}^{u(1)}f(t)dt=\frac{1}{x}\int_{0}^{1}f(u(t))u'(t)dt=\frac{1}{x}\int_{0}^{1}f(xt))xdt=\frac{1}{x}x\int_{0}^{1}f(xt)dt$ = $\int_{0}^{1}f(xt)dt$

Μέχρι τώρα δείξαμε ότι $\forall x\in (0,+\infty)$ είναι $F(x)=\int_{0}^{1}f(xt)dt$ ,ενώ επειδή F(0)=0=f(0)

,έπεται ότι $F(0)=0=\int_{0}^{1}0dt=\int_{0}^{1}f(0)dt=\int_{0}^{1}f(0t)dt$ .

Άρα έχουμε ότι $\large (*)\forall x\in [0,+\infty),F(x)=\int_{0}^{1}f(xt)dt$

Τελικά λόγω της (*) έχουμε ότι $\forall x\forall y\in [0,+\infty)$ ,με x<y

και $\large \forall \varrho \in [0,1]$
ισχύει:

$F((1-\varrho )x+\varrho y)=\int_{0}^{1}f(t((1-\varrho )x+\varrho y))dt=\int_{0}^{1}f((1-\varrho )(tx)+\varrho (ty))dt$ $\leq \int_{0}^{1}((1-\varrho )f(tx)+(\varrho)f(ty))dt =(1-\varrho )\int_{0}^{1}f(tx)dt+\varrho\int_{0}^{1}f(ty))dt =(1-\varrho )F(x)+\varrho F(y)$

(όπου η ανισότητα προκύπτει από την κυρτότητα της f)

κι ως εκ τούτου η F είναι κυρτή

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

perpendicular έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 08, 2019 8:25 am
Καλημέρα Σταύρο.

Έστω .Θεωρούμε την αλλαγή μεταβλητών $u:[0,1]\rightarrow R,u(t )=t x,\forall t\in [0,1]$ .Eίναι προφανές ότι η u είναι συνεχώς διαφορίσιμη στο πεδίο ορισμού της,με $u'(t)=x,\forall t \in [0,1],u(0)=0,u(1)=x$ και η f είναι συνεχής στο ,οπότε:

$F(x)=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt=\frac{1}{x}\int_{u(0)}^{u(1)}f(t)dt=\frac{1}{x}\int_{0}^{1}f(u(t))u'(t)dt=\frac{1}{x}\int_{0}^{1}f(xt))xdt=\frac{1}{x}x\int_{0}^{1}f(xt)dt$ = $\int_{0}^{1}f(xt)dt$

Μέχρι τώρα δείξαμε ότι $\forall x\in (0,+\infty)$ είναι $F(x)=\int_{0}^{1}f(xt)dt$ ,ενώ επειδή ,έπεται ότι $F(0)=0=\int_{0}^{1}0dt=\int_{0}^{1}f(0)dt=\int_{0}^{1}f(0t)dt$ .

Άρα έχουμε ότι $\large (*)\forall x\in [0,+\infty),F(x)=\int_{0}^{1}f(xt)dt$

Τελικά λόγω της (*) έχουμε ότι $\forall x\forall y\in [0,+\infty)$ ,με και $\large \forall \varrho \in [0,1]$
ισχύει:

$F((1-\varrho )x+\varrho y)=\int_{0}^{1}f(t((1-\varrho )x+\varrho y))dt=\int_{0}^{1}f((1-\varrho )(tx)+\varrho (ty))dt$

$\leq \int_{0}^{1}((1-\varrho )f(tx)+(\varrho)f(ty))dt$

$=(1-\varrho )\int_{0}^{1}f(tx)dt+(\varrho)\int_{0}^{1}f(ty))dt =(1-\varrho )F(x)+\varrho F(y)$

(όπου η ανισότητα προκύπτει από την κυρτότητα της f)

κι ως εκ τούτου η F είναι κυρτή

Εφτιαξα την τελευταία σχέση ώστε να φαίνεται όπως πρέπει.

Η παραπάνω είναι μια από τις αποδείξεις που γνωρίζω.
Χρησιμοποιεί μόνο την κυρτότητα με τον κανονικό ορισμό (όχι του σχολικού)
και φυσικά δεν χρειάζεται παραγωγισιμότητα.

Υπάρχει και άλλη απόδειξη με σχολική ύλη (όχι στο πνεύμα).
Αυτή βασίζεται στο ότι μπορούμε να εκφράσουμε την
F''(x)

σαν ολοκλήρωμα που περιέχει την f''(x)

.
Δεν την γράφω μήπως θέλει κάποιος να την προσπαθήσει.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 07, 2019 7:18 pm
Δίνεται η κυρτή συνάρτηση

$f:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$

με συνεχή δεύτερη παράγωγο και

Ορίζουμε την

$F:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$

με

$\displaystyle F(x)=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt,x> 0$

Να δειχθεί ότι η είναι κυρτή.

Η δεύτερη λύση γίνεται αποδεικνύοντας ότι

$\displaystyle F''(x)=\frac{1}{x^{3}}\int_{0}^{x}f''(t)t^{2}dt,x>0$

Η παραπάνω είναι από μόνη της ενδιαφέρουσα και αποδεικνύεται κάνοντας δύο
παραγοντικές ολοκληρώσεις.

#5

Καλησπέρα
Λήμμα
Το $\displaystyle{\xi }$ του ΘΜΤ σε μια κυρτή συνάρτηση είναι αύξουσα και συνεχής συνάρτηση του χ
Βλεπε σχέσεις 69 ,70 στην εργασία μου Γεωμετρικέ συνθήκες κυρτότητας στον ΕΚΘΕΤΗ του Ν.Μαυρογιάννη

Εδώ έχουμε $\displaystyle{xF(x)=\int_{0}^{x}{f(t)dt} \Rightarrow xF'(x)+F(x)=f(x)\Rightarrow xF'(x)=f(x)-(1/x)(x-0)f(\xi)=f(x)-f(\xi)=(x-\xi)f'(u)}$ Με $\displaystyle{0<\xi<u<x}$

τότε $\displaystyle{F'(x)=(1-\xi(x) /x)f'(u)}$

Έστω $\displaystyle{0<x_1<x_2 \Rightarrow 1/x_1>1/x_2 \Rightarrow-1/x_1<-1/x_2 \Rightarrow -\xi(x_1)/x_1<-\xi (x_2)/x_2}$ λόγω του λήμματος άρα $\displaystyle{1-\xi/x}$ αύξουσα συνάρτηση του χ και με τιμές θετικές αφού $\displaystyle{\xi<x}$

H $\displaystyle{f'}$ αύξουσα αφού $\displaystyle{f}$ κυρτή, $\displaystyle{u=u(x)}$ αύξουσα από το λήμμα άρα η $\displaystyle{f'(u)}$ αύξουσα

οπότε $\displaystyle{F'}$ αύξουσα δηλαδή $\displaystyle{F}$ κυρτή

#6

Γενικότερα 'θα έπρεπε' ... η συνάρτηση "μέσος όρος" κυρτής σε κάποιο διάστημα συνάρτησης να είναι κυρτή στο ίδιο διάστημα ... και υποπτεύομαι ότι οι παραπάνω τεχνικές μπορούν να το αποδείξουν ... αλλά δεν βλέπω κάποιον άλλο 'προφανή' λόγο για τον οποίο θα έπρεπε να ισχύει αυτό...

Ολοκλήρωμα-κυρτότητα

Ολοκλήρωμα-κυρτότητα

Re: Ολοκλήρωμα-κυρτότητα

Re: Ολοκλήρωμα-κυρτότητα

Re: Ολοκλήρωμα-κυρτότητα

Re: Ολοκλήρωμα-κυρτότητα

Re: Ολοκλήρωμα-κυρτότητα

Μέλη σε σύνδεση