Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Πρόβλημα 1
(α) Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο σε γινόμενο δύο μη σταθερών πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές.
(β) Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων , για τους οποίους η παράσταση είναι πρώτος αριθμός.
Πρόβλημα 2
Να βρείτε όλες τις τριάδες πραγματικών αριθμών , για τις οποίες ισχύουν όλες οι πιο κάτω συνθήκες:
i.
ii.
iii.
Πρόβλημα 3
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο . Έστω το μέσον της πλευράς του και έστω ότι . Πάνω στην ευθεία παίρνουμε σημείο , τέτοιο ώστε . Ονομάζουμε το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας με την ευθεία . Η κάθετη από το σημείο προς την τέμνει την διάμεσο στο σημείο και την στο σημείο . Θεωρούμε τα μέσα των τμημάτων , αντίστοιχα. Αν η παράλληλη από το προς την τέμνει την ευθεία στο σημείο , να αποδείξετε ότι .
Πρόβλημα 4
Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι εξής αριθμοί: άσσοι, δυάρια και τριάρια. Σε κάθε κίνηση ένας παίκτης μπορεί να σβήσει δύο διαφορετικούς αριθμούς και να γράψει στην θέση τους τον τρίτο αριθμό (Ο παίκτης σβήνει δύο αριθμούς και γράφει μόνο έναν αριθμό.). Το παιγνίδι τελειώνει όταν ο παίκτης δεν μπορεί να κάνει άλλη τέτοια κίνηση.
Κάθε ένας από τους Ανδρέα, Βασίλη και Γιώργο παίζει το παιγνίδι μόνος του ξεχωριστά μέχρι να τελειώσει. Στο τέλος του δικού του παιγνιδιού, ο Ανδρέας θέλει να αφήσει στον πίνακα γραμμένο μόνο έναν άσσο (και κανέναν άλλον αριθμό), ο Βασίλης μόνο ένα δυάρι (και κανέναν άλλον αριθμό) και ο Γιώργος μόνο ένα τριάρι (και κανέναν άλλον αριθμό). Να εξηγήσετε πλήρως ποιοι από τους τρεις μπορούν να πετύχουν τον στόχο τους.
(α) Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο σε γινόμενο δύο μη σταθερών πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές.
(β) Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων , για τους οποίους η παράσταση είναι πρώτος αριθμός.
Πρόβλημα 2
Να βρείτε όλες τις τριάδες πραγματικών αριθμών , για τις οποίες ισχύουν όλες οι πιο κάτω συνθήκες:
i.
ii.
iii.
Πρόβλημα 3
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο . Έστω το μέσον της πλευράς του και έστω ότι . Πάνω στην ευθεία παίρνουμε σημείο , τέτοιο ώστε . Ονομάζουμε το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας με την ευθεία . Η κάθετη από το σημείο προς την τέμνει την διάμεσο στο σημείο και την στο σημείο . Θεωρούμε τα μέσα των τμημάτων , αντίστοιχα. Αν η παράλληλη από το προς την τέμνει την ευθεία στο σημείο , να αποδείξετε ότι .
Πρόβλημα 4
Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι εξής αριθμοί: άσσοι, δυάρια και τριάρια. Σε κάθε κίνηση ένας παίκτης μπορεί να σβήσει δύο διαφορετικούς αριθμούς και να γράψει στην θέση τους τον τρίτο αριθμό (Ο παίκτης σβήνει δύο αριθμούς και γράφει μόνο έναν αριθμό.). Το παιγνίδι τελειώνει όταν ο παίκτης δεν μπορεί να κάνει άλλη τέτοια κίνηση.
Κάθε ένας από τους Ανδρέα, Βασίλη και Γιώργο παίζει το παιγνίδι μόνος του ξεχωριστά μέχρι να τελειώσει. Στο τέλος του δικού του παιγνιδιού, ο Ανδρέας θέλει να αφήσει στον πίνακα γραμμένο μόνο έναν άσσο (και κανέναν άλλον αριθμό), ο Βασίλης μόνο ένα δυάρι (και κανέναν άλλον αριθμό) και ο Γιώργος μόνο ένα τριάρι (και κανέναν άλλον αριθμό). Να εξηγήσετε πλήρως ποιοι από τους τρεις μπορούν να πετύχουν τον στόχο τους.
Σωτήρης Λοϊζιάς
Λέξεις Κλειδιά:
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Πρόβλημα 1.
α)
β)
Επειδή πρώτος και πρέπει
Eπειδή θετικοί ακέραιοι πρέπει άρα πρώτος.
α)
β)
Επειδή πρώτος και πρέπει
Eπειδή θετικοί ακέραιοι πρέπει άρα πρώτος.
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Σάβ Ιαν 12, 2019 5:34 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5227
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
(α) Έχουμε διαδοχικά:
Sophie-Germain ;
(β) Σύμφωνα με το (α) είναι οπότε για να είναι πρώτος πρέπει και άρα και στη περίπτωση αυτή η παράσταση ισούται με .
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Πρόβλημα 2
Αρχικά πρέπει
Aπό iii παίρνουμε και αντικαθιστούμε.
Aπό i
Από ii
Για παίρνουμε και
Για παίρνουμε και
Αρχικά πρέπει
Aπό iii παίρνουμε και αντικαθιστούμε.
Aπό i
Από ii
Για παίρνουμε και
Για παίρνουμε και
-
- Δημοσιεύσεις: 219
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
αφού επείσης το τρίγωνοSoteris έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 12, 2019 5:02 pmΠρόβλημα 3
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο . Έστω το μέσον της πλευράς του και έστω ότι . Πάνω στην ευθεία παίρνουμε σημείο , τέτοιο ώστε . Ονομάζουμε το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας με την ευθεία . Η κάθετη από το σημείο προς την τέμνει την διάμεσο στο σημείο και την στο σημείο . Θεωρούμε τα μέσα των τμημάτων , αντίστοιχα. Αν η παράλληλη από το προς την τέμνει την ευθεία στο σημείο , να αποδείξετε ότι .
είναι ισοσκελές άρα η διχοτόμος της γωνίας της θα είναι και ύψος και αφού ΘΑ ΕΙΝΑΙ (). Το ορθ.παραλληλόγραμμο άρα άρα πλ.παραλληλόγραμμο άρα πλ.παραλληλόγραμμο οπότε . Έχουμε συνευθειακά από θαλή στο
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Πρόβλημα 4
Ανδρέας: Πρέπει στο τελευταίο στάδιο να αφήσει δυάρι και ένα τριάρι. Όμως διαφορά πλήθους δυαριών και τριαριών είναι πάντα περιττός και ποτέ .
Άρα όχι.
Το ίδιο για τον Γιώργο.
Ο Βασίλης μπορεί να το πετύχει ως εξής:
Σε κάθε τριάδα βημάτων που κάνει :
Σβήνει έναν άσσο και ένα τριάρι
Σβήνει έναν άσσο και ένα δυάρι
Σβήνει ένα δυάρι και ένα τριάρι
Έτσι μετά από κάθε τριάδα τέτοιων βημάτων από όλα αφαιρείται ένα στοιχείο και κάποια στιγμή θα έχουμε
άσσοι , δυάρι και τριάρια.Εδώ ακολουθά τα εξής βήματα:
Σβήνει ένα δυάρι και ένα τριάρι ( άσσος δυάρια τριάρι)
Σβήνει ένα τριάρι και ένα άσσο και έχουμε άσσοι δυάρι και τριάρια που ήταν και ο στόχος μας.
Ανδρέας: Πρέπει στο τελευταίο στάδιο να αφήσει δυάρι και ένα τριάρι. Όμως διαφορά πλήθους δυαριών και τριαριών είναι πάντα περιττός και ποτέ .
Άρα όχι.
Το ίδιο για τον Γιώργο.
Ο Βασίλης μπορεί να το πετύχει ως εξής:
Σε κάθε τριάδα βημάτων που κάνει :
Σβήνει έναν άσσο και ένα τριάρι
Σβήνει έναν άσσο και ένα δυάρι
Σβήνει ένα δυάρι και ένα τριάρι
Έτσι μετά από κάθε τριάδα τέτοιων βημάτων από όλα αφαιρείται ένα στοιχείο και κάποια στιγμή θα έχουμε
άσσοι , δυάρι και τριάρια.Εδώ ακολουθά τα εξής βήματα:
Σβήνει ένα δυάρι και ένα τριάρι ( άσσος δυάρια τριάρι)
Σβήνει ένα τριάρι και ένα άσσο και έχουμε άσσοι δυάρι και τριάρια που ήταν και ο στόχος μας.
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Λίγο συντομότερα:
Από την ταυτότητα
προκύπτει αμέσως ότι ένας τουλάχιστον από τους ισούται με .
Τώρα το πράμα κυλάει ομαλά.
Μάγκος Θάνος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Πρόδρομε, έχει μερικά προβλήματα η λύση σου. Για παράδειγμα οι κινήσεις των άλλωνΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 12, 2019 7:03 pmΠρόβλημα 4
...
Σβήνει έναν άσσο και ένα τριάρι
Σβήνει έναν άσσο και ένα δυάρι
Σβήνει ένα δυάρι και ένα τριάρι
...
επηρεάζουν το πλήθος των που θα βρεις, οπότε μπορεί να μην έχεις τρόπο να επιλέξεις
ποια θα σβήσεις. Π.χ. μπορεί να έχουν τελειώσει οι άσσοι ήδη από την μέση του παιχνιδιού, οπότε
δεν μπορείς να επιλέξεις άσσο.
Δεν γράφω λύση για να την χαρούν οι μαθητές μας. Σημειώνω μόνο ότι η άσκηση λύνεται σε 2-3 γραμμές.
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Καλησπέρα σας κύριε Μιχάλη!Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 12, 2019 9:51 pmΓια παράδειγμα οι κινήσεις των άλλων
επηρεάζουν το πλήθος των που θα βρεις,
Δεν καταλαβαίνω ποιοι είναι οι άλλοι αφού κάθε ένας τους παίζει ξεχωριστά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Κώδικας: Επιλογή όλων
Πρόδρομε, έχεις δίκιο. Παρανάγνωσα την εκφώνηση και έλυσα μια πιο δύσκολη άσκηση, όταν δηλαδήΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 12, 2019 10:19 pmΚαλησπέρα σας κύριε Μιχάλη!Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 12, 2019 9:51 pmΓια παράδειγμα οι κινήσεις των άλλων
επηρεάζουν το πλήθος των που θα βρεις,
Δεν καταλαβαίνω ποιοι είναι οι άλλοι αφού κάθε ένας τους παίζει ξεχωριστά.
οι παίκτες παίζουν από κοινού, διαδοχικά.
Οι ακόλουθη λύση είναι και για τις δύο εκδοχές, και είναι αυτή που είχα στον νου. Νομίζω ότι, επιπρόσθετα,
αναδεικνύει την ουσία:
Σε κάθε κίνηση το άθροισμα όλων των γραμμένων αριθμών αλλάζει κατά ή ή ,
δηλαδή κατά άρτια ποσότητα. Στη αρχή το άθροισμα είναι άρτιος (άμεσο) άρα θα παραμείνει άρτιος όπως
και αν παίξουμε. Στα κουτουρού, δηλαδή. Άρα κερδίζει (μόνο) ο Βασίλης, χωρίς καν να σκεφτεί τις κινήσεις του.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 12, 2019 10:49 pmΆρα κερδίζει (μόνο) ο Βασίλης, χωρίς καν να σκεφτεί τις κινήσεις του.
Μιχάλη αυτό δεν είναι σωστό. Αν δεν παίξει σωστά ο Βασίλης μπορούν π.χ. να μείνουν στο τέλος π.χ. τρεις άσσοι. Σύμφωνα με τους κανόνες του παιγνιδιού θα έχει χάσει. [Το ίδιο γίνεται και στην εκδοχή όπου παίζουν και οι τρεις μαζί. Οι άλλοι δύο μπορούν να συνασπιστούν ώστε να μην κερδίσει ο Βασίλης.]
Βέβαια στην άσκηση είναι ξεκάθαρο ότι παίζουν ξεχωριστά και όχι μαζί. Εδώ υπάρχει απλή στρατηγική ώστε να κερδίσει ο Βασίλης η οποία δόθηκε σωστά από τον Πρόδρομο.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Demetres έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 12, 2019 11:48 pm
Μιχάλη αυτό δεν είναι σωστό. Αν δεν παίξει σωστά ο Βασίλης μπορούν π.χ. να μείνουν στο τέλος π.χ. τρεις άσσοι. Σύμφωνα με τους κανόνες του παιγνιδιού θα έχει χάσει. [Το ίδιο γίνεται και στην εκδοχή όπου παίζουν και οι τρεις μαζί. Οι άλλοι δύο μπορούν να συνασπιστούν ώστε να μην κερδίσει ο Βασίλης.]
Βέβαια στην άσκηση είναι ξεκάθαρο ότι παίζουν ξεχωριστά και όχι μαζί. Εδώ υπάρχει απλή στρατηγική ώστε να κερδίσει ο Βασίλης η οποία δόθηκε σωστά από τον Πρόδρομο.
Έχετε δίκιο. Τελικά μόνο ο Βασίλης μπορεί να κερδίσει αλλά δεν πρέπει να παίξει τελείως στα κουτουρού. Χοντρικά, πρέπει να προσέχει όταν φτάνει προς το τέλος. Τι εννοώ:
Σε "τρεις άσσους" δεν μπορεί να φτάσει (το άθροισμα πρέπει να είναι άρτιος) αλλά (χειρότερα) μπορεί να φτάσει ακόμη και πολύ πριν το τέλος σε "μόνο άσσους" ή "μόνο δυάρια" ή "μόνο τριάρια" και να καεί. Άρα φροντίζει να έχει κάθε φορά "μερικούς αριθμούς" από κάθε είδος. Αν κάποια στιγμή με απρόσεκτο/κουτουρού παίξιμο παρατηρήσει ότι αρχίζει και του λείπει κάποιος από τους αριθμούς, τότε θα αρχίσει να παίζει μόνο τους άλλους δύο. Αυτό θα του αυξήσει τον υπό εξαφάνιση αριθμό. Έτσι καταφέρνει να φέρει το παιχνίδι, με συνεχές παίξιμο, προς το τέλος. Τότε αρχίζει και προσέχει. Για παράδειγμα όταν φτάσει σε τρεις αριθμούς αυτοί θεωρητικά μπορεί να είναι (άρτιο άθροισμα) οι ή ή ή . Οι δύο πρώτες περιπτώσεις τον οδηγούν σε νίκη, οι άλλες δύο όχι, οπότε πρέπει να τις αποφύγει. Πράγμα εύκολο γιατί π.χ. το προηγούμενο βήμα πριν το είναι ένα από τα ή ή . Όμως εκεί μπορεί να μεριμνήσει να μην φτάσει γιατί θα παρατηρήσει σε προηγούμενο βήμα ότι αρχίζει και του λείπει κάποιος αριθμός, πράγμα που θα ... τον ξυπνήσει. Τελικά, δεν παίζει τελείως στα κουτουρού αλλά κάθε τόσο προσέχει και, ουσιαστικά, μόνο στα λίγα τελευταία βήματα πονοκεφαλίζει. Όμως μπορεί να διευθετήσει, έστω τελευταία στιγμή, τα άσωτα βήματα μέχρι εκείνη την στιγμή της ζωής του.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 13, 2019 1:07 amΣε "τρεις άσσους" δεν μπορεί να φτάσει (το άθροισμα πρέπει να είναι άρτιος)
Σωστά τρία δυάρια ήθελα/έπρεπε να πω. Είχα λόγο πάντως που επέλεξα το 3. Δείξτε ότι δεν μπορεί ο Βασίλης να καταλήξει σε ακριβώς δύο δυάρια.
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Καλημέρα σας κύριε Δημήτρη!Demetres έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 13, 2019 11:35 amMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 13, 2019 1:07 amΣε "τρεις άσσους" δεν μπορεί να φτάσει (το άθροισμα πρέπει να είναι άρτιος)
Σωστά τρία δυάρια ήθελα/έπρεπε να πω. Είχα λόγο πάντως που επέλεξα το 3. Δείξτε ότι δεν μπορεί ο Βασίλης να καταλήξει σε ακριβώς δύο δυάρια.
Για να καταλήξει ο Βασίλης να έχει μόνο δυάρια πρέπει στο προηγούμενο βήμα του να είχε άσσο δυάρι τριάρι.Όμως η διαφορά πλήθους
δυαριών-τριαριών είναι πάντα περιττός αριθμός και ποτέ όπως έχω αναφέρει και πιο πάνω .
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Σωστά. Ακριβώς η ίδια απόδειξη δείχνει ότι αν μείνουν μόνο δυάρια, θα μείνει περιττός αριθμός από αυτά.
-
- Δημοσιεύσεις: 5
- Εγγραφή: Δευ Απρ 02, 2018 11:59 am
Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Για το πρώτο θέμα του διαγωνισμού
Θα το λύσουμε με τη γνωστή μέθοδο παραγοντοποίησης που λέγεται προσθαφαίρεση όρου.
Με βάση αυτή τη μέθοδο πρέπει:
Για το δεύτερο σκέλος έχουμε ότι:
Έτσι για να είναι πρώτος πρέπει το ,ώστε ,που είναι πρώτος
Άρα
Με αντικατάσταση λοιπόν παίρνουμε
Συνεπώς
Φιλικά,
Γιώργος
Θα το λύσουμε με τη γνωστή μέθοδο παραγοντοποίησης που λέγεται προσθαφαίρεση όρου.
Με βάση αυτή τη μέθοδο πρέπει:
Για το δεύτερο σκέλος έχουμε ότι:
Έτσι για να είναι πρώτος πρέπει το ,ώστε ,που είναι πρώτος
Άρα
Με αντικατάσταση λοιπόν παίρνουμε
Συνεπώς
Φιλικά,
Γιώργος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Δεν θα έχεις παρατηρήσει ότι αυτό ακριβώς κάνουν και οι δύο λύτες της άσκησης (ποστ #2 και #3) παραπάνω.Μπερντένης Γεώργιος έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 13, 2019 10:05 pmΓια το πρώτο θέμα του διαγωνισμού
Θα το λύσουμε με τη γνωστή μέθοδο παραγοντοποίησης που λέγεται προσθαφαίρεση όρου.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Δίνω μια ελάχιστα διαφορετική προσέγγιση από τις δοθείσες. Αν τότε από τα (i) και (ii) τα είναι οι ρίζες του πολυωνύμου . Επειδή ένα εκ των ισούται με . Τα υπόλοιπα ως έχουν συζητηθεί.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες