Κάθετη στη διχοτόμο
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
Κάθετη στη διχοτόμο
Να αχθεί τέμνουσα του κύκλου , ώστε αν η είναι η διχοτόμος
της γωνίας , η να είναι κάθετη προς την .
Λέξεις Κλειδιά:
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Κάθετη στη διχοτόμο
Έστω ότι έχει κατασκευαστεί η ζητούμενη διατέμνουσα του κύκλου και ισχύει , όπου είναι η διχοτόμος της γωνίας .
Στο τρίγωνο έχουμε
Η σημειοσειρά είναι αρμονική ( προφανές ) και άρα έχουμε
Από Η δια του σημείου παράλληλη ευθεία προς την τέμνει την ευθεία στο σημείο έστω και ισχύει
Από προκύπτει ότι το σημείο είναι σταθερό σημείο επί της ευθείας και έτσι, το σημείο προσδιορίζεται ως το σημείο τομής του κύκλου από τον κύκλο έστω με διάμετρο το σταθερό τμήμα , όπου είναι η ακτίνα του δοσμένου κύκλου και το πρόβλημα έχει λυθεί.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Ο κύκλος επανατέμνει τον κύκλο στο σημείο έστω , ως την δεύτερη λύση του προβλήματος ( προφανές ).
Στο τρίγωνο έχουμε
Η σημειοσειρά είναι αρμονική ( προφανές ) και άρα έχουμε
Από Η δια του σημείου παράλληλη ευθεία προς την τέμνει την ευθεία στο σημείο έστω και ισχύει
Από προκύπτει ότι το σημείο είναι σταθερό σημείο επί της ευθείας και έτσι, το σημείο προσδιορίζεται ως το σημείο τομής του κύκλου από τον κύκλο έστω με διάμετρο το σταθερό τμήμα , όπου είναι η ακτίνα του δοσμένου κύκλου και το πρόβλημα έχει λυθεί.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Ο κύκλος επανατέμνει τον κύκλο στο σημείο έστω , ως την δεύτερη λύση του προβλήματος ( προφανές ).
τελευταία επεξεργασία από vittasko σε Παρ Ιαν 11, 2019 9:42 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Κάθετη στη διχοτόμο
Καλημέρα σε όλους. Μετά την ωραία(!) λύση του Κώστα μια προσπάθεια μάλλον υπολογιστική
Στο σχήμα επί της παίρνουμε . Η κάθετη προς την στο τέμνει τον κύκλο στις ζητούμενες (συμμετρικές) θέσεις και .
Προτίθεμαι βεβαίως να επανέλθω για την δέουσα αιτιολόγηση..
...Επανέρχομαι για την απόδειξη της . Είναι και
Στο τρίγωνο οι είναι εσ. και εξ. διχοτόμοι οπότε με τα θ. διχοτόμων προκύπτει δηλ η είναι διάμεσος ,
άρα από θ. διαμέσων παίρνουμε
Η είναι αμβλεία και με το Γ.Π.Θ παίρνουμε . Έτσι
Εκ των υστέρων (βλέποντας και τις λύσεις των φίλων Νίκου και Γιάννη) μια συντομότερη , ως προς τους υπολογισμούς κατασκευή:
Από την συνεπώς τα είναι οι τομές του κύκλου με τον αρχικό κύκλο. Φιλικά , Γιώργος.
Προτίθεμαι βεβαίως να επανέλθω για την δέουσα αιτιολόγηση..
...Επανέρχομαι για την απόδειξη της . Είναι και
Στο τρίγωνο οι είναι εσ. και εξ. διχοτόμοι οπότε με τα θ. διχοτόμων προκύπτει δηλ η είναι διάμεσος ,
άρα από θ. διαμέσων παίρνουμε
Η είναι αμβλεία και με το Γ.Π.Θ παίρνουμε . Έτσι
Εκ των υστέρων (βλέποντας και τις λύσεις των φίλων Νίκου και Γιάννη) μια συντομότερη , ως προς τους υπολογισμούς κατασκευή:
Από την συνεπώς τα είναι οι τομές του κύκλου με τον αρχικό κύκλο. Φιλικά , Γιώργος.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Μήτσιος σε Σάβ Ιαν 12, 2019 1:31 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Κάθετη στη διχοτόμο
Κατασκευή:
(Από μετρική λύση )
Γράφω το κύκλο που τέμνει τον σε δύο σημεία . Έστω, το ένα εξ αυτών. Η ευθεία τέμνει ακόμα τον δοθέντα κύκλο στο .
Απόδειξη:
Φέρνω τη διχοτόμο του τριγώνου . Επειδή αν θέσω θα είναι και έτσι .
Αλλά οπότε (1).
Από τη δύναμη του σημείου ως προς τον κύκλο έχω :
και αφού και λόγω της έχω .
Μα τώρα δηλαδή η είναι η εξωτερική διχοτόμος
στο άρα κάθετη στην εσωτερική .
2ος τρόπος
Κατασκευή:
Γράφω το κύκλο του Απολλώνιου για τον οποίο και για κάθε σημείο του ισχύει :
.
Ο κύκλος αυτός τέμνει το δεδομένο σε δυο σημεία κι έστω το ένα απ’ αυτά .
Η είναι η τέμνουσα που θέλουμε
Η απόδειξη σαν άσκηση ( αλλά είμαι και στη διάθεση του καθενός)
(Από μετρική λύση )
Γράφω το κύκλο που τέμνει τον σε δύο σημεία . Έστω, το ένα εξ αυτών. Η ευθεία τέμνει ακόμα τον δοθέντα κύκλο στο .
Απόδειξη:
Φέρνω τη διχοτόμο του τριγώνου . Επειδή αν θέσω θα είναι και έτσι .
Αλλά οπότε (1).
Από τη δύναμη του σημείου ως προς τον κύκλο έχω :
και αφού και λόγω της έχω .
Μα τώρα δηλαδή η είναι η εξωτερική διχοτόμος
στο άρα κάθετη στην εσωτερική .
2ος τρόπος
Κατασκευή:
Γράφω το κύκλο του Απολλώνιου για τον οποίο και για κάθε σημείο του ισχύει :
.
Ο κύκλος αυτός τέμνει το δεδομένο σε δυο σημεία κι έστω το ένα απ’ αυτά .
Η είναι η τέμνουσα που θέλουμε
Η απόδειξη σαν άσκηση ( αλλά είμαι και στη διάθεση του καθενός)
Re: Κάθετη στη διχοτόμο
Καλημέρα σε όλους.
Εστω . Τότε . Επίσης
Δηλαδή το είναι το μέσο της δηλαδή .
Οπότε το ζητούμενο σημείο είναι η (μία) τομή των κύκλων
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Εστω . Τότε . Επίσης
Δηλαδή το είναι το μέσο της δηλαδή .
Οπότε το ζητούμενο σημείο είναι η (μία) τομή των κύκλων
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
- Συνημμένα
-
- katheth_sth_dihotomo.png (27.55 KiB) Προβλήθηκε 963 φορές
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Re: Κάθετη στη διχοτόμο
Γεια σου Αλέξανδρε
Μάλιστα θα μπορούσαμε να το απλουστεύσουμε περαιτέρω , με τη παρατήρηση
ότι αφού η είναι εξωτερική διχοτόμος , τότε ...
Μάλιστα θα μπορούσαμε να το απλουστεύσουμε περαιτέρω , με τη παρατήρηση
ότι αφού η είναι εξωτερική διχοτόμος , τότε ...
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13276
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Κάθετη στη διχοτόμο
Μόνο την κατασκευή. [attachment=0]Κάθετη στη διχοτόμο..png[/attachment]
Φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα και έστω το μέσο του ημικυκλίου διαμέτρου Η τομή του αρχικού κύκλου με τον κύκλο προσδιορίζει το ζητούμενο σημείο
Φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα και έστω το μέσο του ημικυκλίου διαμέτρου Η τομή του αρχικού κύκλου με τον κύκλο προσδιορίζει το ζητούμενο σημείο
- Συνημμένα
-
- Κάθετη στη διχοτόμο..png (17.09 KiB) Προβλήθηκε 940 φορές
Re: Κάθετη στη διχοτόμο
Μου άρεσαν πολύ όλες οι κατασκευές:
Η λύση του Κώστα αναμενόμενη αφού είναι λάτρης της αρμονικότητας .
Η λύση του Γιώργου του Μίτσιου απλή σαν κατασκευή. Εν αναμονή το σκεφτικό.
Η λύση του Αλέξανδρου (απλή ομοιοθεσία) είναι προφανώς η απλούστερη.
Η λύση του Γιώργου του Βισβίκη : απρόβλεπτη. Θα τη μελετήσω Γιώργο όχι τόσο στο μετρικό μέρος, όσο στη φιλοσοφία κατασκευής .
Για το θεματοδότη τα έχουμε πει πολλές φορές : Ανεξάντλητη πηγή έμπνευσης και δημιουργίας.
Η λύση του Κώστα αναμενόμενη αφού είναι λάτρης της αρμονικότητας .
Η λύση του Γιώργου του Μίτσιου απλή σαν κατασκευή. Εν αναμονή το σκεφτικό.
Η λύση του Αλέξανδρου (απλή ομοιοθεσία) είναι προφανώς η απλούστερη.
Η λύση του Γιώργου του Βισβίκη : απρόβλεπτη. Θα τη μελετήσω Γιώργο όχι τόσο στο μετρικό μέρος, όσο στη φιλοσοφία κατασκευής .
Για το θεματοδότη τα έχουμε πει πολλές φορές : Ανεξάντλητη πηγή έμπνευσης και δημιουργίας.
Re: Κάθετη στη διχοτόμο
Καλημέρα
Απο το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο
Η καθετότητα στη διχοτόμο δημιουργεί την διχοτόμο στην εξωτερική γωνία άρα
και απο το θεώρημα της διαμέσου στο τρίγωνο
Γιάννης
Η κατασκευη αργότερα
Κατασκευάζουμε τον κύκλο
και το κύκλο η τομή τους ορίζει το σημείο
Και το
τότε είναι
- Συνημμένα
-
- Καθετη στη διχοτόμο -κατασκευη.png (58.53 KiB) Προβλήθηκε 835 φορές
-
- Κάθετη στη διχοτόμο.png (63.85 KiB) Προβλήθηκε 902 φορές
τελευταία επεξεργασία από STOPJOHN σε Σάβ Ιαν 12, 2019 12:45 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Re: Κάθετη στη διχοτόμο
Τα εργαλεία έσωσαν το σχήμα.george visvikis έγραψε: ↑Παρ Ιαν 11, 2019 10:53 amΜόνο την κατασκευή. Κάθετη στη διχοτόμο..png
Φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα και έστω το μέσο του ημικυκλίου διαμέτρου Η τομή του αρχικού κύκλου με τον κύκλο προσδιορίζει το ζητούμενο σημείο
Επειδή κάθε αντιστροφή κύκλου με πόλο έξω απ’ αυτόν δίδει ομοιόθετο κύκλο εδώ:
Αντιστρέφω το δεδομένο κύκλο με πόλο το και δύναμη αντιστροφής
και προκύπτει ο κύκλος δηλαδή η λύση του Αλέξανδρου!!
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13276
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Κάθετη στη διχοτόμο
Να παρατηρήσω ότι η κατασκευή γενικεύεται για και ανάγεται στην
κατασκευή τέμνουσας ώστε
κατασκευή τέμνουσας ώστε
Re: Κάθετη στη διχοτόμο
george visvikis έγραψε: ↑Παρ Ιαν 11, 2019 12:37 pmΝα παρατηρήσω ότι η κατασκευή γενικεύεται για και ανάγεται στην
κατασκευή τέμνουσας ώστε
Κάθετη στη διχοτόμο.β.png
Αν τώρα επειδή στο ισοσκελές ο φορέας της διχοτόμου από το είναι κάθετος στην θα είναι .
Έτσι
Συνεπώς ο ομοιόθετος κύκλος τέμνει τον αρχικό στο ζητούμενο σημείο
Και για να «ευλογήσουμε τα γένια μας».
Γράφω τον κύκλο του Απολλώνιου που για κάθε σημείο ισχύει :
Ο κύκλος αυτός τέμνει το ένα αρχικό ημικύκλιο( με φορέα της διαμέτρου του την ακτίνα ) στο σημείο . Η τέμνουσα που ζητάμε είναι η .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 2 επισκέπτες