Kριτήριο των Abel - Pringsheim
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
-
- Δημοσιεύσεις: 10
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 25, 2018 12:57 am
Kριτήριο των Abel - Pringsheim
Καλησπέρα σας,
Πως αποδεικνύεται ότι αν μια φθίνουσα ακολουθία μη αρνητικών όρων και η σειρά συγκλίνει τότε το ?
Και δεύτερον πιο είναι το όριο της ακολουθίας προσπάθησα με την ανισότητα του Αρχιμήδη αλλα δεν έβγαζε αποτέλεσμα
Πως αποδεικνύεται ότι αν μια φθίνουσα ακολουθία μη αρνητικών όρων και η σειρά συγκλίνει τότε το ?
Και δεύτερον πιο είναι το όριο της ακολουθίας προσπάθησα με την ανισότητα του Αρχιμήδη αλλα δεν έβγαζε αποτέλεσμα
τελευταία επεξεργασία από i_am_imbact σε Τετ Ιαν 09, 2019 1:30 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim
Καλώς ήλθες στο φόρουμ.i_am_imbact έγραψε: ↑Τρί Δεκ 25, 2018 1:10 amΚαλησπέρα σας,
Πωσ αποδεικνύεται ότι αν (αν) μια φθίνουσα ακολουθία μη αρνητικών όρων και η σειρά Σ(αν) συγκλίνει τότε το limναν -> 0 ?
Και δεύτερον πιο είναι το όριο της ακολουθίασ αν = (1^μ + 2^μ + .... + ν^μ) /(ν^μ) - ν/(μ+1) προσπάθησα με την ανισότητα του αρχιμίδη αλλα δεν έβγαζε αποτέλεσμα
Παρακαλώ γράψε το ποστ σου σε latex, όπως πολύ σωστά ορίζουν οι κανονισμοί μας. Τους διάβασες άραγε; Έτσι μας διευκολύνεις να καταλάβουμε ότι στο " limναν " που γράφεις, το μεν πρώτο "ν" είναι γινόμενο ενώ το δεύτερο, δείκτης. Εδώ . Θα σου απαντήσω αφού τα διορθώσεις, ιδίως στην δεύτερη ερώτηση που είναι προβληματικά τα σύμβολα.
Τους κανονισμούς μας θα τους βρεις στην πρώτη σελίδα του φόρουμ. Εκεί θα βρεις και οδηγίες για γραφή σε latex.
Επίσης καλό είναι να γράφουμε στοιχειωδώς σωστά Ελληνικά (και αυτό το απαιτούν οι κανονισμοί μας) γιατί αλλιώς είναι σαν να δίνουμε το μήνυμα ότι γράφουμε πρόχειρα. Για παράδειγμα ο Αρχιμήδης γράφεται με Α κεφαλαίο ως κύριο όνομα και με "η" μετά το "μ".
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim
Γράφτηκε σε αλλά δεν έγινε άλλη επέμβαση.
Να επισημάνω επίσης ότι το δεν έχει νόημα. Γράφουμε είτε είτε αλλά όχι .
Να επισημάνω επίσης ότι το δεν έχει νόημα. Γράφουμε είτε είτε αλλά όχι .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim
Ευχαριστούμε Δημήτρη.
Θα περιμένω να δώσει σημεία ζωής ο i_am_imbact (π.χ. διορθώνοντας τα ελληνικά του κειμένου) και θα δώσω υποδείξεις.
Θα περιμένω να δώσει σημεία ζωής ο i_am_imbact (π.χ. διορθώνοντας τα ελληνικά του κειμένου) και θα δώσω υποδείξεις.
-
- Δημοσιεύσεις: 10
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 25, 2018 12:57 am
Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim
Καλησπέρα σας και Καλή χρονιά,
Συγγνώμη για την καθυστέρηση.Διάβασα τους κανονισμούς αλλά δεν βρήκα οδηγίες για γραφή σε latex.Μπορείτε να με κατατοπίσετε.
Ευχαριστώ για τον χρόνο σας.
Συγγνώμη για την καθυστέρηση.Διάβασα τους κανονισμούς αλλά δεν βρήκα οδηγίες για γραφή σε latex.Μπορείτε να με κατατοπίσετε.
Ευχαριστώ για τον χρόνο σας.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim
Περίεργο ότι δεν βρήκες τις οδηγίες!i_am_imbact έγραψε: ↑Τετ Ιαν 09, 2019 12:17 amΚαλησπέρα σας και Καλή χρονιά,
Συγγνώμη για την καθυστέρηση.Διάβασα τους κανονισμούς αλλά δεν βρήκα οδηγίες για γραφή σε latex.Μπορείτε να με κατατοπίσετε.
Ευχαριστώ για τον χρόνο σας.
Πήγαινε στην πρώτη σελίδα του φόρουμ (Δ. Συζητήσεις) και εκεί προς το τέλος έχει ολόκληρη οικογένεια οδηγιών. Το πρώτο ποστ εκεί (πάτα εδώ) είναι καλό ξεκίνημα.
Και κάτι άλλο: Το latex στο παραπάνω ποστ σου έχει ήδη διορθωθεί από τον Γενικό Συντονιστή. Σου ζητήθηκε να διορθώσεις τα Ελληνικά (σημειωμένα με κόκκινο στο πρώτο μου ποστ) αλλά δεν φαίνεται να του έδωσες σημασία. Περιμένουμε.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim
Ωραία. Με διορθωμένα τα Ελληνικά, έστω μερικώς, προχωράμε. Να επισημάνω μόνο ότι α) το "πώς" στις ερωτηματικές προτάσεις παίρνει τόνο και β) το σύμβολο του ερωτηματικού στα Ελληνικά είναι το ";" ενώ το "?" είναι του Λατινικού. Δεν βλέπω τον λόγο να εξοβελίζουμε το ελληνικό σύμβολο χωρίς αιτία.i_am_imbact έγραψε: ↑Τρί Δεκ 25, 2018 1:10 amΠως αποδεικνύεται ότι αν μια φθίνουσα ακολουθία μη αρνητικών όρων και η σειρά συγκλίνει τότε το ?
Στο θέμα μας.
Για το πρώτο ερώτημα δίνω ισχυρή υπόδειξη. Αφού το ολοκληρώσεις με την λύση σου που θα χαρούμε να δούμε εδώ, προχωράμε στο δεύτερο.
Υπόδειξη:
Θα δείξουμε πρώτα ότι . Δηλαδή δείχνουμε το ζητούμενο πρώτα για τους άρτιους δείκτες, ενώ για τους υπόλοιπους μπορούμε να βασιστούμε σε αυτό και την υπόθεση ότι η είναι φθίνουσα. Για του άρτιους, λοιπόν, δείξε με κριτήριο Cauchy ότι
.
Μετά, από αυτό και με χρήση της υπόθεσης ότι φθίνουσα, δείξε ότι .
Συνέχισε.
-
- Δημοσιεύσεις: 10
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 25, 2018 12:57 am
Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim
Καλησπέρα,
Έστω , και ,επιπλέον επειδή η σειρά συγκλίνει . Επειδή η συγκλίνει τότε κάθε υπακολουθία της μορφής , συγκλίνει στον ίδιο αριθμό άρα , ...…., επειδή φθίνουσα ισχύει
συνεπάγεται ότι άρα από κριτήριο παρεμβολής άρα άρα παρόμοια εργαζόμαστε και με την άρα επειδή αυτές οι υπακολουθίες τείνουν στο 0 και η
Έστω , και ,επιπλέον επειδή η σειρά συγκλίνει . Επειδή η συγκλίνει τότε κάθε υπακολουθία της μορφής , συγκλίνει στον ίδιο αριθμό άρα , ...…., επειδή φθίνουσα ισχύει
συνεπάγεται ότι άρα από κριτήριο παρεμβολής άρα άρα παρόμοια εργαζόμαστε και με την άρα επειδή αυτές οι υπακολουθίες τείνουν στο 0 και η
τελευταία επεξεργασία από i_am_imbact σε Πέμ Ιαν 10, 2019 9:16 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim
Όχι ακριβώς. Υπάρχει ένα σκοτεινό αλλά ουσιαστικό σημείο, που δεν το ξεκαθαρίζεις.
Ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή.
Πρώτα από όλα η απόδειξη έχει ένα περίεργο και περιττό μέρος. Συγκεκριμένα, ορίζεις τα για να σε διευκολύνουν στην απόδειξη του . Όμως στην ίδια την απόδειξη γράφεις
.
Δηλαδή κάνεις το ανάποδο. Ως ύφος είναι "αστείο". Ερασιτεχνισμός. Ας το αφήσουμε αυτό ως δευτερεύον.
Το πρόβλημα (ουσιαστικό κενό) είναι αλλού. Είναι στο ότι φαίνεται να νομίζεις ότι
.
Δηλαδή νομίζεις ότι επειδή τα , ...…., τότε και το άθροισμά τους τείνει στο . Αυτό είναι γενικά λάθος, π.χ. αλλά το άθροισμά τους είναι και άρα δεν τείνει στο . Στην περίπτωσή μας το αποτέλεσμα είναι μεν σωστό αλλά όχι για τον λόγο που γράφεις.
Δες ξανά την υπόδειξη που σου έδωσα και ξανακάνε την απόδειξη συμπληρώνοντας το ουσιαστικό βήμα που σου λείπει.
Ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή.
Πρώτα από όλα η απόδειξη έχει ένα περίεργο και περιττό μέρος. Συγκεκριμένα, ορίζεις τα για να σε διευκολύνουν στην απόδειξη του . Όμως στην ίδια την απόδειξη γράφεις
.
.
Δηλαδή κάνεις το ανάποδο. Ως ύφος είναι "αστείο". Ερασιτεχνισμός. Ας το αφήσουμε αυτό ως δευτερεύον.
Το πρόβλημα (ουσιαστικό κενό) είναι αλλού. Είναι στο ότι φαίνεται να νομίζεις ότι
.
.i_am_imbact έγραψε: ↑Πέμ Ιαν 10, 2019 3:04 amάρα , ...….,
...
συνεπάγεται ότι άρα από κριτήριο παρεμβολής
Δηλαδή νομίζεις ότι επειδή τα , ...…., τότε και το άθροισμά τους τείνει στο . Αυτό είναι γενικά λάθος, π.χ. αλλά το άθροισμά τους είναι και άρα δεν τείνει στο . Στην περίπτωσή μας το αποτέλεσμα είναι μεν σωστό αλλά όχι για τον λόγο που γράφεις.
Δες ξανά την υπόδειξη που σου έδωσα και ξανακάνε την απόδειξη συμπληρώνοντας το ουσιαστικό βήμα που σου λείπει.
-
- Δημοσιεύσεις: 10
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 25, 2018 12:57 am
Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim
Η να θεωρήσουμε η οποία συγκλίνει επειδή η σειρά Συγκλίνει, συγκλίνει και το και εφαρμόζουμε το κριτήριο Cauchy για την και την και καταλήγουμε στο
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim
Τώρα, μάλιστα. Σωστό.i_am_imbact έγραψε: ↑Πέμ Ιαν 10, 2019 9:16 amΗ να θεωρήσουμε η οποία συγκλίνει επειδή η σειρά Συγκλίνει, συγκλίνει και το και εφαρμόζουμε το κριτήριο Cauchy για την και την και καταλήγουμε στο
Το μόνο πρόβλημα, ευτυχώς δευτερεύον και καταλαβαίνουμε τι εννοείς, είναι o αδόκιμος συμβολισμός. Δεν γράφουμε ή όπως προφανώς θέλεις να γράψεις, αλλά . Δηλαδή ο δείκτης στο είναι φυσικός αριθμός και όχι ο όρος της ακολουθίας. Πρώτα απ' όλα αυτό που γράφεις έχει αμφισημία. Π.χ. αν , ποιοι ακριβώς είναι οι . Και οι δύο είναι που ως σύμβολο δημιουργεί περισσότερα προβλήματα από όσα λύνει.
-
- Δημοσιεύσεις: 10
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 25, 2018 12:57 am
Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim
Έστω η ακολουθία .
Και η ακολουθία:
Αφού η σειρά συγκλίνει, έπεται οτι η , η είναι συγκλίνουσα.
Απο Κριτήριο Σύγκλισης του Cauchy, προκύπτει ότι:
, τέτοιο ώστε, για να ισχύει:
Όμως, η ακολουθία είναι φθίνουσα. Επομένως, ισχύει:
Τώρα, ισχύει:
Καθώς, Συγκλίνει.
Και λόγω μονοτονίας και προσήμου της ακολουθίας ισχύει: όπου απο Κ.Π
Αποδείξαμε οτι και
Επομένως,
Και η ακολουθία:
Αφού η σειρά συγκλίνει, έπεται οτι η , η είναι συγκλίνουσα.
Απο Κριτήριο Σύγκλισης του Cauchy, προκύπτει ότι:
, τέτοιο ώστε, για να ισχύει:
Όμως, η ακολουθία είναι φθίνουσα. Επομένως, ισχύει:
Τώρα, ισχύει:
Καθώς, Συγκλίνει.
Και λόγω μονοτονίας και προσήμου της ακολουθίας ισχύει: όπου απο Κ.Π
Αποδείξαμε οτι και
Επομένως,
τελευταία επεξεργασία από ma128 σε Σάβ Μαρ 12, 2022 10:36 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim
Mάλλον κάποιο τυπογραφικό σφάλμα έχεις εδώ. Για ξαναδές το.
Από κεί και πέρα, η απόδειξη που δίνεις ήδη υπάρχει παραπάνω. Με λίγη περιπέτεια μεν, αλλά υπάρχει.
Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim
Αλήθεια είναι κ.Λάμπρου, διορθώθηκε.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Μαρ 12, 2022 9:39 pmMάλλον κάποιο τυπογραφικό σφάλμα έχεις εδώ. Για ξαναδές το.
Από κεί και πέρα, η απόδειξη που δίνεις ήδη υπάρχει παραπάνω. Με λίγη περιπέτεια μεν, αλλά υπάρχει.
Ψάχνοντας κι εγώ για απόδειξη του Κριτηρίου βρέθηκα σε αυτό το θέμα όπου η απόδειξη έφτανε μέχρις αυτό το σημείο:
Και σκέφτηκα να την ολοκληρώσω ώστε ο επόμενος (μετά απο εμένα) που θα την αναζητήσει να την βρεί άρτια και καθαρογραμμένη.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim
Καλά έκανες και την συμπλήρωσες. Ευχαριστούμε.
Ένα μικρό σημείο όμως (ίσως απροσεξία), αξίζει να επισημανθεί για να είναι πραγματικά άρτια η απόδειξη: Κάπου γράφεις την φράση "αφού εξ'ορισμού". Δεν πρόκειται για εξορισμού ιδιότητα αλλά είναι θεώρημα. Πρόκειται για το πρώτο θεώρημα που συναντά κανείς στα βιβλία αμέσως μετά τον ορισμό της σύγκλισης σειράς.
Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim
Λάθοςi_am_imbact έγραψε: ↑Τρί Δεκ 25, 2018 1:10 amΚαι δεύτερον πιο είναι το όριο της ακολουθίας προσπάθησα με την ανισότητα του Αρχιμήδη αλλα δεν έβγαζε αποτέλεσμα
τελευταία επεξεργασία από ma128 σε Κυρ Μαρ 13, 2022 12:29 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim
Όχι!
Σου σημείωσα με κόκκινο που είναι η απροσεξία σου.
Για να δεις ανεξάρτητα γιατί η απάντηση που δίνεις είναι λάθος, ας πάρουμε την ειδική (και εύκολη) περίπτωση .
Τότε ο αριθμητής του μεγάλου κλάσματος είναι . Βάλε το πίσω στην παράσταση και τώρα είναι ΠΟΛΫ εύκολο να βρεις το όριο. Η τελική απάντηση είναι , όσο δηλαδή η περίπτωση .
Κάνε το ίδιο για την περίπτωση αφού βρείς κλειστή μορφή του .
Ως υπόδειξη για την γενική περίπτωση σου δίνω ότι αποδεικνύεται ότι για κάθε το όριο είναι .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες