Ανισότητα με κυρτή συνάρτηση
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5227
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Ανισότητα με κυρτή συνάρτηση
Αν και κυρτή συνάρτηση στο να δειχθεί ότι:
Δεν έχω λύση.
Δεν έχω λύση.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Λέξεις Κλειδιά:
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Ανισότητα με κυρτή συνάρτηση
Ουσιαστικά προκύπτει επαγωγικά από την ανισότητα που αποδεικνύεται εδώ.
Για τρεις αριθμούς είναι η ακόλουθη:
Για τρεις αριθμούς είναι η ακόλουθη:
matha έγραψε: ↑Τρί Σεπ 06, 2011 9:07 am
Πρόταση:
Αν κυρτή συνάρτηση στο διάστημα και με τότε ισχύει
Απόδειξη:
Επειδή είναι , υπάρχουν με ώστε (αυτό ουσιαστικά μας λέει ότι το διάστημα είναι κυρτό σύνολο)
Επομένως, είναι
()
(η παραπάνω ανισότητα ισχύει λόγω κυρτότητας της ).
Ακόμα είναι
Άρα, πάλι λόγω κυρτότητας, έχουμε
()
Με πρόσθεση των () προκύπτει η ζητούμενη.
Μάγκος Θάνος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ανισότητα με κυρτή συνάρτηση
Μετά την απόδειξη του Θάνου για εύκολα μπορούμε με επαγωγή να πάμε στο γενικό.
Αρκεί να παρατηρήσουμε ότι
και να το εφαρμόσουμε για σημεία.
Η απόδειξη για δηλαδή για σημεία μπορεί να γίνει και διαφορετικά.
Είναι γνωστό ότι αν η είναι κυρτή τότε
όπου είναι αύξουσα συνάρτηση
(για παίρνουμε την δεξιά η αριστερή παράγωγο)
για πρέπει να αποδείξουμε ότι
η ισοδύναμα
που ισχύει αφού η είναι αύξουσα και τα διαστήματα
εχουν το ίδιο μήκος και το πρώτο βρίσκεται δεξιότερα του δεύτερου.
Αρκεί να παρατηρήσουμε ότι
και να το εφαρμόσουμε για σημεία.
Η απόδειξη για δηλαδή για σημεία μπορεί να γίνει και διαφορετικά.
Είναι γνωστό ότι αν η είναι κυρτή τότε
όπου είναι αύξουσα συνάρτηση
(για παίρνουμε την δεξιά η αριστερή παράγωγο)
για πρέπει να αποδείξουμε ότι
η ισοδύναμα
που ισχύει αφού η είναι αύξουσα και τα διαστήματα
εχουν το ίδιο μήκος και το πρώτο βρίσκεται δεξιότερα του δεύτερου.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 20 επισκέπτες