Το άλυτο πρόβλημα του μήνα
Συντονιστής: gbaloglou
Το άλυτο πρόβλημα του μήνα
Σχεδιάζουμε τον κύκλο που εφάπτεται στο μέσο της χορδής και στον , προς τον οποίο
φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα . Ενδιαφερόμαστε για το μέγιστο της γωνίας .
Εικασία : Είναι : και αν , τότε ίσως : ή
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Το άλυτο πρόβλημα του μήνα
Καλημέρα,
Τα σημεία ανήκουν προφανώς στον κύκλο και προφανώς έχουμε όταν η
εφάπτεται του κύκλου (στο ). Τότε το είναι ορθογώνιο στο με άρα .
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Τα σημεία ανήκουν προφανώς στον κύκλο και προφανώς έχουμε όταν η
εφάπτεται του κύκλου (στο ). Τότε το είναι ορθογώνιο στο με άρα .
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
- Συνημμένα
-
- alyto.png (39.35 KiB) Προβλήθηκε 869 φορές
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Re: Το άλυτο πρόβλημα του μήνα
Έστω το κέντρο του κύκλου διαμέτρου και το σημείο τομής των .
Αντιστρέφω τον κύκλο με πόλο το και δύναμη αντιστροφής
Τα σημεία είναι όλα μεταβλητά αλλά επειδή ο κύκλος αντιστροφής
είναι πάντα ορθογώνιος με τον , αυτός (ο ) ταυτίζεται με τον αντίστροφό του.
Ας υποθέσουμε δε ότι το αντιδιαμετρικό του στον αρχικό κύκλο είναι το και το μετακινείται στο «κάτω» ημικύκλιο ,
Για να γίνει μέγιστη η γωνία θα πρέπει να γίνει ελάχιστη αφού είναι συμπληρωματικές, Αλλά (εξωτερική) συνεπώς μόνο αν τα σημεία
ταυτιστούν θα έχω .
Αν τώρα το ανήκει στο «πάνω» ημικύκλιο θα έχω αλλαγή δεδομένων :
Τώρα και επομένως αν η γίνει μέγιστη θα γίνει και η μέγιστη.
Αλλά τώρα οπότε πάλι οι «πλανήτες» θα πρέπει να ευθυγραμμιστούν.
Τότε θα προκύψει το παρακάτω προφανές.
Αντιστρέφω τον κύκλο με πόλο το και δύναμη αντιστροφής
Τα σημεία είναι όλα μεταβλητά αλλά επειδή ο κύκλος αντιστροφής
είναι πάντα ορθογώνιος με τον , αυτός (ο ) ταυτίζεται με τον αντίστροφό του.
Ας υποθέσουμε δε ότι το αντιδιαμετρικό του στον αρχικό κύκλο είναι το και το μετακινείται στο «κάτω» ημικύκλιο ,
Για να γίνει μέγιστη η γωνία θα πρέπει να γίνει ελάχιστη αφού είναι συμπληρωματικές, Αλλά (εξωτερική) συνεπώς μόνο αν τα σημεία
ταυτιστούν θα έχω .
Αν τώρα το ανήκει στο «πάνω» ημικύκλιο θα έχω αλλαγή δεδομένων :
Τώρα και επομένως αν η γίνει μέγιστη θα γίνει και η μέγιστη.
Αλλά τώρα οπότε πάλι οι «πλανήτες» θα πρέπει να ευθυγραμμιστούν.
Τότε θα προκύψει το παρακάτω προφανές.
Re: Το άλυτο πρόβλημα του μήνα
Να δούμε και τις συντεταγμένες του σημείου που αφήσαμε σε εκκρεμότητα.
Εστω τα κέντρα του μεγάλου και μικρού κύκλου αντίστοιχα και ο άξονας των τετμημένων είναι η διάμετρος
Από δύναμη του σημείου έχουμε:
Από Π.Θ. στο έχουμε:
Το ύψος του από το προκύπτει εύκολα:
και .
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Εστω τα κέντρα του μεγάλου και μικρού κύκλου αντίστοιχα και ο άξονας των τετμημένων είναι η διάμετρος
Από δύναμη του σημείου έχουμε:
Από Π.Θ. στο έχουμε:
Το ύψος του από το προκύπτει εύκολα:
και .
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
- Συνημμένα
-
- alyto2.png (54.92 KiB) Προβλήθηκε 753 φορές
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες