Επαφή με το άγνωστο

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11876
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Επαφή με το άγνωστο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιαν 07, 2019 8:04 am

Επαφή  με  το  άγνωστο.png
Επαφή με το άγνωστο.png (20.15 KiB) Προβλήθηκε 423 φορές
Οι κύκλοι (O,R) και (K,r) , r<R , εφάπτονται εξωτερικά στο A και έστω BC

ένα κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο τμήμα τους . Η CK τέμνει τον (K) στο D και την

κοινή εσωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων στο S , ενώ η SB τέμνει τον (O) στο E .

Δείξτε ότι ο κύκλος (S,E,D) εφάπτεται των αρχικών και υπολογίστε την ακτίνα του .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7536
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Επαφή με το άγνωστο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Ιαν 07, 2019 10:04 am

Ας είναι T το εξωτερικό κέντρο ομοιότητας των δύο δεδομένων κύκλων ,Η υπ αντιδιαμετρικό του B. Θα ισχύουν:

\left\{ \begin{gathered} 
  S{A^2} = SD \cdot SC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S{A^2} = SE \cdot SB \hfill \\ 
  KT = \frac{{r(R + r)}}{{R - r}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. .

Συνεπώς το EBCD είναι εγγράψιμο και άρα BE \bot ED οπότε και το SECT είναι εγγράψιμο . Ο κύκλος λοιπόν διαμέτρου SD διέρχεται από το E.
Επαφή με το άγνωστο.png
Επαφή με το άγνωστο.png (35.15 KiB) Προβλήθηκε 405 φορές

Ενώ τα σημεία : D,E,H ανήκουν στην ίδια ευθεία .

Ας είναι M το κέντρο αυτού του κύκλου και x η ακτίνα του.

Αφού τα ορθογώνια τρίγωνα CKT\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AKS έχουν KC = KA και τις απέναντι γωνίες ίσες θα είναι ίσα

Έτσι KT = KS \Rightarrow \boxed{\frac{{r(R + r)}}{{R - r}} = 2x + r \Rightarrow x = \frac{{{r^2}}}{{R - r}}}\,\,(1) .

Τέλος επειδή HB//SD \Rightarrow \widehat \omega  = \widehat \theta δηλαδή \widehat {OEB} = \widehat {MES} και άρα τα σημεία E,O,M είναι συνευθειακά .

Δηλαδή ο κύκλος (M,x) εφάπτεται εξωτερικά στους δύο δεδομένους κύκλους με ακτίνα που δίδεται από τη σχέση (1)

Παρατήρηση :

Η επαφή του κύκλου (E,S,D) προκύπτει και με αντιστροφή.

[attachment=1]Επαφή με το άγνωστο_Με αντιστροφή.png[/attachment]

Με πόλο το S και δύναμη αντιστροφής S{A^2} ο πιο πάνω κύκλος αντιστρέφεται στην ευθεία BC που εφάπτεται των δεδομένων κύκλων , άρα και ο κύκλος (E,S,D), Εφάπτεται των δεδομένων κύκλων



Επίσης αν οι κύκλοι (O,R)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,(K,r)\, δεν εφάπτονται και το S προκύπτει από τη τομή της CK με το ριζικό άξονα των δύο αυτών κύκλων πάλι η πρόταση ισχύει ,

Η απόδειξη με αντιστροφή είναι η ίδια αλλά τώρα δύναμη αντιστροφής θα πάρω το\\

{k^2} = S{A^2} όπου SA ένα εφαπτόμενο τμήμα σε κάποιο από τους δύο κύκλους
Εχτρα  με άνωστη απαφή.png
Εχτρα με άνωστη απαφή.png (28.15 KiB) Προβλήθηκε 386 φορές
Συνημμένα
Επαφή με το άγνωστο_Με αντιστροφή.png
Επαφή με το άγνωστο_Με αντιστροφή.png (26.6 KiB) Προβλήθηκε 392 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9787
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Επαφή με το άγνωστο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιαν 07, 2019 1:01 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιαν 07, 2019 8:04 am
Επαφή με το άγνωστο.pngΟι κύκλοι (O,R) και (K,r) , r<R , εφάπτονται εξωτερικά στο A και έστω BC

ένα κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο τμήμα τους . Η CK τέμνει τον (K) στο D και την

κοινή εσωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων στο S , ενώ η SB τέμνει τον (O) στο E .

Δείξτε ότι ο κύκλος (S,E,D) εφάπτεται των αρχικών και υπολογίστε την ακτίνα του .
Επαφή με το άγνωστο.png
Επαφή με το άγνωστο.png (22.18 KiB) Προβλήθηκε 380 φορές
Αρχικά όπως ο Νίκος. Το BEDC είναι εγγράψιμο, οπότε ο κόκκινος κύκλος έχει διάμετρο SD και εφάπτεται στο κύκλο (K).

Φέρνω την EZ εφαπτομένη του κύκλου (O), Z σημείο της OK. Επίσης, η SA διέρχεται από το μέσο του BC=2\sqrt{Rr}.

\displaystyle B\widehat EZ = \varphi  \Leftrightarrow 90^\circ  - Z\widehat ED = 90^\circ  - \omega  \Leftrightarrow Z\widehat ED = \omega , που σημαίνει ότι ο κόκκινος κύκλος εφάπτεται στην EZ,

άρα και στον (O).

\displaystyle \frac{{AK}}{{MC}} = \frac{{SA}}{{SC}} \Leftrightarrow \frac{r}{{\sqrt {Rr} }} = \frac{{2\sqrt {{x^2} + rx} }}{{2(r + x)}} \Leftrightarrow (R - r){x^2} + r(R - 2r)x - {r^3} = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{r > 0} \boxed{x=\frac{r^2}{R-r}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης