Μιγαδικοί και ισόπλευρο τρίγωνο!
Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Μιγαδικοί και ισόπλευρο τρίγωνο!
Οι διαφορετικοί ανά δύο μιγαδικοί ικανοποιούν τις σχέσεις
και
Να αποδείξετε ότι οι εικόνες τους είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου.
και
Να αποδείξετε ότι οι εικόνες τους είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου.
Μάγκος Θάνος
Λέξεις Κλειδιά:
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Μιγαδικοί και ισόπλευρο τρίγωνο!
Είναι γνωστή η ταυτότητα
Επίσης εφαρμόζοντας την ανισότητα για , , και αξιοποιώντας τα δεδομένα της εκφώνησης παίρνουμε:
και τώρα είναι γνωστή άσκηση ότι οι ανά δύο διαφορετικοί μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες βρίσκονται στον ίδιο κύκλο και ικανοποιούν την σχέση , έχουν εικόνες που βρίσκονται σε ισόπλευρο τρίγωνο (υπάρχουν πολλοί τρόποι απόδειξης είτε αλγεβρικοί είτε γεωμετρικοί. Ο συντομότερος είναι μέσω του κανόνα παραλληλογράμμου από τον οποίο προκύπτει άμεσα ότι ).
Αλέξανδρος
Επίσης εφαρμόζοντας την ανισότητα για , , και αξιοποιώντας τα δεδομένα της εκφώνησης παίρνουμε:
και τώρα είναι γνωστή άσκηση ότι οι ανά δύο διαφορετικοί μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες βρίσκονται στον ίδιο κύκλο και ικανοποιούν την σχέση , έχουν εικόνες που βρίσκονται σε ισόπλευρο τρίγωνο (υπάρχουν πολλοί τρόποι απόδειξης είτε αλγεβρικοί είτε γεωμετρικοί. Ο συντομότερος είναι μέσω του κανόνα παραλληλογράμμου από τον οποίο προκύπτει άμεσα ότι ).
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Re: Μιγαδικοί και ισόπλευρο τρίγωνο!
Έχουμε, λοιπόν, τα μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή την αρχή των αξόνων και
και θέλουμε να δείξουμε ότι τα πέρατά τους είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου.
Για δύο διανύσματα με σταθερό μήκος, το μέγιστο της παράστασης πιάνεται, ενδεχομένως μεταξύ των άλλων, όταν αυτά είναι κάθετα μεταξύ τους. Αυτό μπορούμε να το δείξουμε με πολλούς τρόπους π.χ. με ιδιότητες των ελλείψεων στο σχήμα, ή, υψώνοντας δύο φορές την επόμενη σχέση στο τετράγωνο στην οποία τα διανύσματα έχουν ίσα μέτρα και το είναι κάθετο στο :
Επειδή, τώρα,
συμπεραίνουμε ότι η παράσταση μεγιστοποιείται ακριβώς όταν κάθε διάνυσμα είναι κάθετο στην διαφορά των δύο άλλων, που συμβαίνει μόνον όταν το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου που ορίζουν τα πέρατα των διανυσμάτων, δηλαδή μόνον όταν το τρίγωνο αυτό είναι ισόπλευρο στο οποίο υπολογίζουμε κ.λπ.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Re: Μιγαδικοί και ισόπλευρο τρίγωνο!
Να κάνω λάικ.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Μιγαδικοί και ισόπλευρο τρίγωνο!
Μετά τις ωραίες αποδείξεις του Αλέξανδρου και του Κώστα, παραθέτω και μία πιο γεωμετρική.
Ας είναι το τρίγωνο
Η σχέση γράφεται
.
Η απόδειξη βασίζεται στο γεγονός ότι στον μιγαδικό αντιστοιχεί το κέντρου του κύκλου του Euler, οπότε η προηγούμενη σχέση γράφεται
Επειδή το είναι, ως γνωστόν, το μέσον του από το θεώρημα των διαμέσων έχουμε
Επομένως είναι
()
Διαφορετικά, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα του Leibniz, οπότε
και επειδή θα λαμβάναμε πάλι την ().
Τώρα, επειδή ισχύει λαμβάνουμε
Τέλος, επειδή από την προηγούμενη ανισότητα έχουμε
και η ισότητα ισχύει προφανώς μόνο στο ισόπλευρο τρίγωνο.
Τα υπόλοιπα είναι προφανή.
Υ.Γ. Όταν πρότεινα χθες το πρόβλημα, δεν θυμήθηκα ότι στην πραγματικότητα το είχαμε ξανασυναντήσει εδώ πριν 6,5 περίπου χρόνια .
Ας είναι το τρίγωνο
Η σχέση γράφεται
.
Η απόδειξη βασίζεται στο γεγονός ότι στον μιγαδικό αντιστοιχεί το κέντρου του κύκλου του Euler, οπότε η προηγούμενη σχέση γράφεται
Επειδή το είναι, ως γνωστόν, το μέσον του από το θεώρημα των διαμέσων έχουμε
Επομένως είναι
()
Διαφορετικά, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα του Leibniz, οπότε
και επειδή θα λαμβάναμε πάλι την ().
Τώρα, επειδή ισχύει λαμβάνουμε
Τέλος, επειδή από την προηγούμενη ανισότητα έχουμε
και η ισότητα ισχύει προφανώς μόνο στο ισόπλευρο τρίγωνο.
Τα υπόλοιπα είναι προφανή.
Υ.Γ. Όταν πρότεινα χθες το πρόβλημα, δεν θυμήθηκα ότι στην πραγματικότητα το είχαμε ξανασυναντήσει εδώ πριν 6,5 περίπου χρόνια .
- Συνημμένα
-
- euler.png (20.2 KiB) Προβλήθηκε 1265 φορές
Μάγκος Θάνος
Re: Μιγαδικοί και ισόπλευρο τρίγωνο!
Και άλλο λάικ!!matha έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 05, 2019 9:29 pmΜετά τις ωραίες αποδείξεις του Αλέξανδρου και του Κώστα, παραθέτω και μία πιο γεωμετρική.
Ας είναι το τρίγωνο
Η σχέση γράφεται
.
Η απόδειξη βασίζεται στο γεγονός ότι στον μιγαδικό αντιστοιχεί το κέντρου του κύκλου του Euler, οπότε η προηγούμενη σχέση γράφεται
Επειδή το είναι, ως γνωστόν, το μέσον του από το θεώρημα των διαμέσων έχουμε
Επομένως είναι
()
Διαφορετικά, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα του Leibniz, οπότε
και επειδή θα λαμβάναμε πάλι την ().
Τώρα, επειδή ισχύει λαμβάνουμε
Τέλος, επειδή από την προηγούμενη ανισότητα έχουμε
και η ισότητα ισχύει προφανώς μόνο στο ισόπλευρο τρίγωνο.
Τα υπόλοιπα είναι προφανή.
Υ.Γ. Όταν πρότεινα χθες το πρόβλημα, δεν θυμήθηκα ότι στην πραγματικότητα το είχαμε ξανασυναντήσει πριν 6,5 περίπου χρόνια εδώ.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Μιγαδικοί και ισόπλευρο τρίγωνο!
Καλημέρα:
Απλά και μόνο για να δείξουμε την δύναμη των κατάλληλων αντικαταστάσεων.
Από τη στιγμή που έχουμε αρκεί κατά τα γνωστά να αποδείξουμε Θέτουμε άρα και πάμε στο ισοδύναμο πρόβλημα να θέλουμε από τις σχέσεις δηλαδή να θέλουμε από τις σχέσεις που πλέον είναι γνωστό θέμα.
Απλά και μόνο για να δείξουμε την δύναμη των κατάλληλων αντικαταστάσεων.
Από τη στιγμή που έχουμε αρκεί κατά τα γνωστά να αποδείξουμε Θέτουμε άρα και πάμε στο ισοδύναμο πρόβλημα να θέλουμε από τις σχέσεις δηλαδή να θέλουμε από τις σχέσεις που πλέον είναι γνωστό θέμα.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες