Η πονηρότερη

KARKAR · #1

Δώστε την συντομότερη αλλά προσεκτικότερη λύση για την εξίσωση : $x^2-1=\sqrt{x+1}$ .

Το έπαθλο , πάντως , θα το κερδίσει η "πονηρότερη"

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 27, 2018 11:41 am
Δώστε την συντομότερη αλλά προσεκτικότερη λύση για την εξίσωση : $x^2-1=\sqrt{x+1}$ .

Πεδίο ορισμού $[-1, \infty)$ . Στο [-1, 0]

, φθίνουσα η μία, αύξουσα η άλλη άρα μοναδική λύση η x=-1

. Στο $[0, \infty)$ γράφουμε f(x)=x^2-1

που βέβαια είναι αντιστρέψιμη. Η εξίσωση γράφεται $f(x) = f^{-1}(x)$ που ισοδυναμεί με την f(x)=x

, τουτέστιν x^2-x=x

με ρίζα $x=\phi$ .

#3

: Πονηρότερη.png (22.88 KiB) Προβλήθηκε 893 φορές

Αν $f(x) = \sqrt {x + 1} \,\,\,$ με πεδίο ορισμού $A = [ - 1, + \infty )$ και σύνολο τιμών $f(A) = [0, + \infty )$

τότε αντιστρέφεται και η αντίστροφη της είναι :

${f^{ - 1}}:[0, + \infty ) \to [ - 1, + \infty )$ με ${f^{ - 1}}(x) = {x^2} - 1\,\,$

αμφότερες προφανώς γνήσια αύξουσες συνεπώς οι λύσεις της δεδομένης εξίσωσης είναι :

1. λόγω της προφανούς λύσης , x = - 1

το

και από την

2. $f(x) = {f^{ - 1}}(x) = x$ έχω ${x^2} - x - 1 = 0 \Rightarrow \boxed{x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} = \varphi }$ το $\boxed{C(\varphi ,\varphi )}$

Με πρόλαβε ο κ. Λάμπρου αλλά την αφήνω για τον κόπο πληκτρολόγησης .

Γρηγόρης Σταμέλος · #4

Προφανώς $\displaystyle{\chi \neq 0}$ . Υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνουμε $\displaystyle{\chi ^{4}-2\chi ^{2}+1= \chi +1 \Rightarrow \chi ^{4}-2\chi ^{2}-\chi = 0 \Rightarrow \chi ^{3}-2\chi -1 = 0 \Rightarrow (\chi +1)(\chi ^{2}-\chi -1)= 0 \Rightarrow \chi = -1}$ ή $\displaystyle{\chi = (1 +\sqrt{5} )/2}$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 27, 2018 11:41 am
Δώστε την συντομότερη αλλά προσεκτικότερη λύση για την εξίσωση : $x^2-1=\sqrt{x+1}$ .

Το έπαθλο , πάντως , θα το κερδίσει η "πονηρότερη"

Η εξίσωση έχει την προφανή λύση $\boxed{x=-1}$ και για x> -1

γράφεται $\displaystyle \frac{{{x^2} - 1}}{{\sqrt {x + 1} }} = 1 \Leftrightarrow (x - 1)\sqrt {x + 1} = 1,$

απ' όπου εύκολα προκύπτει ότι $\boxed{x>1}$ Θεωρώ τη συνάρτηση $\displaystyle f(t) = (t - 1)\sqrt {t + 1} ,t > 1$ που είναι " 1-1

"

$\displaystyle f(\phi ) = (\phi - 1)\sqrt {\phi + 1} = (\phi - 1)\sqrt {{\phi ^2}} = {\phi ^2} - \phi = 1 = (x - 1)\sqrt {x + 1} \Rightarrow f(x) = f(\phi )\mathop \Leftrightarrow \limits^{1 - 1}$ $\boxed{x=\phi}$

STOPJOHN · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 27, 2018 11:41 am
Δώστε την συντομότερη αλλά προσεκτικότερη λύση για την εξίσωση : $x^2-1=\sqrt{x+1}$ .

Το έπαθλο , πάντως , θα το κερδίσει η "πονηρότερη"

$x^{2}-1=\sqrt{x+1}\Leftrightarrow x^{2}=\sqrt{x+1}+1\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}- 1}\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=\dfrac{x+1}{x},(2), \sqrt{x+1}=x^{2}-1,(2), (1),(2)\Rightarrow \dfrac{x+1}{x}=x^{2}-1\Leftrightarrow x^{3}-2x-1=0\Leftrightarrow (x-1)(x^{2}-x-1)=0,x=-1,x=\phi =\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$

....και οι περιορισμοί
$x\geq -1,x\geq 1$

δεκτή λύση το φ

Γιάννης

nikkru · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 27, 2018 11:41 am
Δώστε την συντομότερη αλλά προσεκτικότερη λύση για την εξίσωση : $x^2-1=\sqrt{x+1}$ .

Το έπαθλο , πάντως , θα το κερδίσει η "πονηρότερη"

Η εξίσωση έχει νόημα για $x\epsilon A= \left \{ -1 \right \} \cup [1,+\infty )$ . To

είναι προφανής ρίζα, ενώ για $x\epsilon = [1,+\infty )$ έχουμε: $x^2-1=\sqrt{x+1} (1) \Leftrightarrow$

$(x+1)(x-1)=\sqrt{x+1} \Leftrightarrow\sqrt{x+1}^2(x-1)=\sqrt{x+1} \Leftrightarrow\sqrt{x+1}(x-1)=1 \Leftrightarrow$ λόγω της (1)

$(x^2-1)(x-1)=1\Leftrightarrow x^3-x^2-x=0 \Leftrightarrow x^2-x-1=0$ .

Επομένως, λόγω περιορισμών, ρίζες της εξίσωσης: $x^2-1=\sqrt{x+1}$ είναι οι x=-1

και $x=\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$ .

Η πονηρότερη

Η πονηρότερη

Re: Η πονηρότερη

Re: Η πονηρότερη

Re: Η πονηρότερη

Re: Η πονηρότερη

Re: Η πονηρότερη

Re: Η πονηρότερη

Μέλη σε σύνδεση