Επαφή κύκλων

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6494
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Επαφή κύκλων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Δεκ 25, 2018 11:34 pm

Επαφή κύκλων.png
Επαφή κύκλων.png (11.8 KiB) Προβλήθηκε 334 φορές

Σε ισοσκελές τρίγωνο ABC(AB = AC) θεωρώ το σημείο S συμμετρικό του C ως προς το A.

Η κάθετη στο σημείο Sεπί την SC τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας \widehat C στο σημείο K.

Δείξετε ότι ο κύκλος (K,KS) εφάπτεται του κύκλου (A,B,C)



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10609
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Επαφή κύκλων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Δεκ 26, 2018 10:32 am

Εφαπτόμενοι.png
Εφαπτόμενοι.png (18.6 KiB) Προβλήθηκε 300 φορές
Πρόκειται για το ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC ( με αλλαγή κάποιων συμβόλων ) :oops: )

Με ν. συνημιτόνων στο MOC βρίσκουμε R=\dfrac{a^2}{4c} . Επίσης επειδή PA=a-b=r\cos{\hat{C} ,

βρίσκουμε ότι r=\dfrac{a(a-b)}{c} . Τώρα αρκεί να δείξουμε ότι KQ^2+QO^2=(R+r)^2 .

Αλλά : KQ=r+NO=r+R-\dfrac{c}{2} και QO=PN=a-\dfrac{b}{2} .

Οι - ωραίες -πράξεις δίνουν το ζητούμενο .


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1774
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Επαφή κύκλων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τετ Δεκ 26, 2018 12:05 pm

Ας το δούμε με αντιστροφή.

Επειδή η CK είναι διχοτόμος, προφανώς η BC εφάπτεται στον κύκλο (K)

Θεωρούμε την αντιστροφή με κέντρο A και ακτίνα AB.

O κύκλος (K) είναι ορθογώνιος με τον κύκλο αντιστροφής, άρα αντιστρέφεται στον εαυτό του.

Ο κύκλος (A,B,C) αντιστρέφεται στην ευθεία BC, που εφάπτεται στον (K).

Αφού οι εικόνες εφάπτονται, εφάπτονται και τα αρχέτυπα. :lol:


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6494
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Επαφή κύκλων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Δεκ 26, 2018 1:34 pm

Χρόνια πολλά σε όλους .

Και οι δύο λύσεις έχουν την ομορφιά τους . Ευχαριστώ τους Θανάση και Κώστα που μέρες που είναι αφιέρωσαν χρόνο γι αυτή την άσκηση .

Στο συνημμένο αρχείο επιλέξετε από τη πρώτη στήλη εργαλείων την " αντιστροφή κύκλου"

Δείξετε το σημείο A (πόλος ), τον κύκλο (K,KS) και το τμήμα AB (δύναμη αντιστροφής ) .

Θα έχετε το κύκλο αντιστροφής ( κόκκινος) και θα γίνει με γκρίζο χρώμα ο κύκλος (K,KS) αφού αντιστρέφεται στον εαυτό του .

Πάλι με το ίδιο εργαλείο με ίδιο πόλο ( το A) δείξετε τώρα τον κύκλο (A,B,C) και με ίδια δύναμη αντιστροφής θα έχετε την ευθεία BC.

Όπως τα είπε ο αγαπητός Κώστας στην «υψηλής ραπτικής» λύση του .
Συνημμένα
Επαφή κύκλων.ggb
(34.43 KiB) Μεταφορτώθηκε 23 φορές


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1774
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Επαφή κύκλων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τετ Δεκ 26, 2018 9:56 pm

Doloros έγραψε:
Τετ Δεκ 26, 2018 1:34 pm
Χρόνια πολλά σε όλους .

Και οι δύο λύσεις έχουν την ομορφιά τους . Ευχαριστώ τους Θανάση και Κώστα που μέρες που είναι αφιέρωσαν χρόνο γι αυτή την άσκηση .
Νίκο να είσαι πάντα καλά, γερός, θαλερός και επί των επάλξεων! Σε ευχαριστώ, Φίλε!

Να πω ότι όπως εργάστηκε ο Θανάσης μου υπενθύμισε ότι στην πραγματικότητα έχουμε να κάνουμε με εξωτερικό κύκλο M. MANNHEIM του οποίου ακτίνα ισούται με r_c \, sec^2\dfrac{C}{2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες