Τέλεια ... σχέση

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4256
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Τέλεια ... σχέση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Δεκ 21, 2018 10:49 am

Αν η διαίρεση \left( x^3 + \alpha x + \beta \right): \left( x - \rho \right)^2 είναι τέλεια , τότε να δειχθεί ότι για τους πραγματικούς αριθμούς \alpha, \beta ισχύει η σχέση:

\displaystyle{\left ( \frac{\alpha}{3} \right )^3 + \left ( \frac{\beta}{2} \right )^2 =0 }


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1483
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Τέλεια ... σχέση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Παρ Δεκ 21, 2018 1:12 pm

Η διαίρεση αυτή δίνει πηλίκο x+2r και υπόλοιπο (a+3r^2)x+(b-2r^3).
Αν η διαίρεση είναι τέλεια τότε a=-3r^2 και b=2r^3 οπότε \displaystyle{\left ( \frac{\alpha}{3} \right )^3 + \left ( \frac{\beta}{2} \right )^2 =-r^6+r^6=0 }


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9185
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τέλεια ... σχέση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Δεκ 21, 2018 1:45 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Δεκ 21, 2018 10:49 am
Αν η διαίρεση \left( x^3 + \alpha x + \beta \right): \left( x - \rho \right)^2 είναι τέλεια , τότε να δειχθεί ότι για τους πραγματικούς αριθμούς \alpha, \beta ισχύει η σχέση:

\displaystyle{\left ( \frac{\alpha}{3} \right )^3 + \left ( \frac{\beta}{2} \right )^2 =0 }
Λίγο διαφορετικά.

\displaystyle {x^3} + ax + b = {(x - r)^2}(x - k) = {x^3} - (k + 2r){x^2} + (2kr + {r^2})x - {r^2}k = 0 \Leftrightarrow

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
k + 2r = 0\\ 
\\ 
2kr + {r^2} = a\\ 
\\ 
 - {r^2}k = b 
\end{array} \right. \Rightarrow a =  - 3{r^2} \wedge b = 2{r^3} \Rightarrow {\left( {\frac{a}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} = 0


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12125
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τέλεια ... σχέση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Δεκ 21, 2018 5:57 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Δεκ 21, 2018 10:49 am
Αν η διαίρεση \left( x^3 + \alpha x + \beta \right): \left( x - \rho \right)^2 είναι τέλεια , τότε να δειχθεί ότι για τους πραγματικούς αριθμούς \alpha, \beta ισχύει η σχέση:

\displaystyle{\left ( \frac{\alpha}{3} \right )^3 + \left ( \frac{\beta}{2} \right )^2 =0 }
Και μία εκτός φακέλου: Η υπόθεση είναι ότι το \rho είναι διπλή ρίζα. Συνεπώς είναι ρίζα της παραγώγου, που σημαίνει ότι ισχύει 3\rho ^2+ a =0, ισοδύναμα \rho ^2 = -\frac {a}{3}. Άρα

\displaystyle{\beta ^2 = (-\rho ^3-a\rho )^2= \rho ^2(-\rho ^2 - a) ^2= \left ( -\frac {a}{3} \right )  \left (  \frac {a}{3}- a \right )^2= -\frac {a}{3} \left (-  \frac {2a}{3}\right )^2},

και λοιπά.

Υπάρχουν και άλλοι τρόποι, π.χ. με Vieta.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Τέλεια ... σχέση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Παρ Δεκ 21, 2018 8:51 pm

Μη ξεχνάμε και την διακρίνουσα ...


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12125
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τέλεια ... σχέση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 22, 2018 12:16 am

rek2 έγραψε:
Παρ Δεκ 21, 2018 8:51 pm
Μη ξεχνάμε και την διακρίνουσα ...
Ακριβώς.

Γι' αυτούς που ίσως δεν κατανόησαν τι εννοεί ο Κώστας, επισημαίνω: Αυτό που λέει η αρχική άσκηση είναι "η τριτοβάθμια έχει διπλή ρίζα αν και μόνον αν η διακρίνουσά της είναι 0".

Η παράσταση στην άσκηση είναι ισοδύναμη με την πρόταση αυτή. Υπενθυμίζω, η διακρίνουσα είναι η -4a^3 -27b^2. Βλέπε π.χ. εδώ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες