Διπλασιασμός

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6338
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Διπλασιασμός

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Δεκ 19, 2018 5:52 pm

Διπλασιασμός.png
Διπλασιασμός.png (25.24 KiB) Προβλήθηκε 333 φορές
Κύκλος (C) εφάπτεται ευθείας στο σημείο S.Πάνω στην ευθεία και εκατέρωθεν του S έστω τα σημεία B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C.

Φέρνω το ( άλλο ) εφαπτόμενο τμήμα CA στον κύκλο (C) και τον περιγεγραμμένο κύκλο (L) του τριγώνου ABC που τέμνει, ακόμα , τον (C) στο σημείο T.

Αν D η προβολή του S στην AB, δείξετε ότι : \widehat {BTD} = 2\widehat {ABC}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3901
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Διπλασιασμός

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Δεκ 19, 2018 10:55 pm

Doloros έγραψε:
Τετ Δεκ 19, 2018 5:52 pm
Διπλασιασμός.png

Κύκλος (C) εφάπτεται ευθείας στο σημείο S.Πάνω στην ευθεία και εκατέρωθεν του S έστω τα σημεία B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C.

Φέρνω το ( άλλο ) εφαπτόμενο τμήμα CA στον κύκλο (C) και τον περιγεγραμμένο κύκλο (L) του τριγώνου ABC που τέμνει, ακόμα , τον (C) στο σημείο T.

Αν D η προβολή του S στην AB, δείξετε ότι : \widehat {BTD} = 2\widehat {ABC}.
Έστω M \equiv AB \cap \left( O \right),M \ne A. Τότε \angle ABC + \angle ABT = \angle CBT\mathop  = \limits^{B,C,A,T\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle XAT

\mathop  = \limits^{\upsilon \pi o\,\,\chi o\rho \delta \eta \varsigma \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta \varsigma \,\, - \,\,\alpha \nu \tau \iota \sigma \tau o\iota \chi \eta \,\,\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta } \angle AMT \mathop  = \limits^{\varepsilon \xi \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa \eta \,\,\tau o\upsilon \,\,\vartriangle AMB} \angle ABT + \angle BTM  \Rightarrow \angle ABC = \angle BTM:\left( 1 \right)
Διπλασιασμός.png
Διπλασιασμός.png (37.93 KiB) Προβλήθηκε 281 φορές
Οπότε ο περίκυκλος του τριγώνου \vartriangle BMT εφάπτεται της BC στο B και συνεπώς το BS είναι το (ένα) κοινό εφαπτόμενο τμήμα των κύκλων \left( O \right),\left( B,T,M \right) , άρα η κοινή τους χορδή MT (ριζικός άξονας) διέρχεται από το μέσο του K .

Στο ορθογώνιο τρίγωνο \vartriangle BDS\left( {\angle BDS = {{90}^0}} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{K\,\,\mu \varepsilon \sigma o\,\,\tau \eta \varsigma \,\,\upsilon \pi o\tau \varepsilon \iota \nu o\upsilon \sigma \alpha \varsigma \,\,BS} \angle BDK = \angle KBD \equiv \angle CBA\mathop  = \limits^{\left( 1 \right)} \angle BTM \equiv \angle BTK \Rightarrow

B,K,D,T ομοκυκλικά, άρα \angle BTD = \angle DKS = 2\angle ABC και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6338
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διπλασιασμός

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Δεκ 24, 2018 1:04 am

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Τετ Δεκ 19, 2018 10:55 pm
Doloros έγραψε:
Τετ Δεκ 19, 2018 5:52 pm
Διπλασιασμός.png

Κύκλος (C) εφάπτεται ευθείας στο σημείο S.Πάνω στην ευθεία και εκατέρωθεν του S έστω τα σημεία B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C.

Φέρνω το ( άλλο ) εφαπτόμενο τμήμα CA στον κύκλο (C) και τον περιγεγραμμένο κύκλο (L) του τριγώνου ABC που τέμνει, ακόμα , τον (C) στο σημείο T.

Αν D η προβολή του S στην AB, δείξετε ότι : \widehat {BTD} = 2\widehat {ABC}.
Έστω M \equiv AB \cap \left( O \right),M \ne A. Τότε \angle ABC + \angle ABT = \angle CBT\mathop  = \limits^{B,C,A,T\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle XAT

\mathop  = \limits^{\upsilon \pi o\,\,\chi o\rho \delta \eta \varsigma \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta \varsigma \,\, - \,\,\alpha \nu \tau \iota \sigma \tau o\iota \chi \eta \,\,\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta } \angle AMT \mathop  = \limits^{\varepsilon \xi \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa \eta \,\,\tau o\upsilon \,\,\vartriangle AMB} \angle ABT + \angle BTM  \Rightarrow \angle ABC = \angle BTM:\left( 1 \right)
Διπλασιασμός.png
Οπότε ο περίκυκλος του τριγώνου \vartriangle BMT εφάπτεται της BC στο B και συνεπώς το BS είναι το (ένα) κοινό εφαπτόμενο τμήμα των κύκλων \left( O \right),\left( B,T,M \right) , άρα η κοινή τους χορδή MT (ριζικός άξονας) διέρχεται από το μέσο του K .

Στο ορθογώνιο τρίγωνο \vartriangle BDS\left( {\angle BDS = {{90}^0}} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{K\,\,\mu \varepsilon \sigma o\,\,\tau \eta \varsigma \,\,\upsilon \pi o\tau \varepsilon \iota \nu o\upsilon \sigma \alpha \varsigma \,\,BS} \angle BDK = \angle KBD \equiv \angle CBA\mathop  = \limits^{\left( 1 \right)} \angle BTM \equiv \angle BTK \Rightarrow

B,K,D,T ομοκυκλικά, άρα \angle BTD = \angle DKS = 2\angle ABC και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης
Αν δεν δοθεί άλλη λύση θα γράψω μια τουλάχιστον ακόμη και την πηγή . Η δική μου πάντως δεν είναι τόσο ωραία σαν του ασύγκριτου Στάθη :clap2:


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7823
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διπλασιασμός

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 24, 2018 1:03 pm

Doloros έγραψε:
Τετ Δεκ 19, 2018 5:52 pm
Διπλασιασμός.png

Κύκλος (C) εφάπτεται ευθείας στο σημείο S.Πάνω στην ευθεία και εκατέρωθεν του S έστω τα σημεία B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C.

Φέρνω το ( άλλο ) εφαπτόμενο τμήμα CA στον κύκλο (C) και τον περιγεγραμμένο κύκλο (L) του τριγώνου ABC που τέμνει, ακόμα , τον (C) στο σημείο T.

Αν D η προβολή του S στην AB, δείξετε ότι : \widehat {BTD} = 2\widehat {ABC}.
Καλά Χριστούγεννα σε όλους :mathexmastree:

Για διευκόλυνση όσων τη διαβάσουν, αφήνω τα ίδια γράμματα με το Στάθη. Οι πράσινες γωνίες είναι ίσες με \displaystyle \varphi  = 90^\circ  - \frac{C}{2}
Διπλασιασμός..png
Διπλασιασμός..png (27.42 KiB) Προβλήθηκε 180 φορές
\displaystyle S\widehat TA = \varphi  = \frac{{180^\circ  - \widehat C}}{2} = \frac{{B\widehat TA}}{2}. Άρα η TS είναι διχοτόμος της B\widehat TA

\displaystyle B\widehat TM = B\widehat TA - M\widehat TA = 2S\widehat TA - (180^\circ  - A\widehat SM) = 2\varphi  - (\varphi  + M\widehat AS) = \varphi  - M\widehat AS \Leftrightarrow \boxed{B\widehat TM = \omega }

● Τα τρίγωνα BMK, BTK είναι όμοια, άρα \displaystyle \frac{{BK}}{{KT}} = \frac{{KM}}{{BK}} \Leftrightarrow B{K^2} = KM \cdot KT = K{S^2} και λόγω του ορθογωνίου

τριγώνου DBS θα είναι και \displaystyle K{D^2} = KM \cdot KT \Leftrightarrow K\widehat TD = B\widehat DK = \omega και το ζητούμενο έπεται.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης